Réseaux unimodulaires

E

VA

B

AYER

-F

LUCKIGER

Réseaux unimodulaires

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

1, n

o

_{1 (1989),}

p. 189-196

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Réseaux

unimodulaires.

par EVA BAYER-FLUCKIGER

Résumé 2014 Soit _f un _produit de polynômes cyclotomiques. Existe-t-il une

forme bilinéaire _{symétrique entière,} unimodulaire et définie _{positive ayant}

une isométrie de polynôme caractéristique f? Ce travail donne une _réponse

partielle à cette _question.

Abstract - Let _f be a _product of _{cyclotomic polynomials.} Does there

exist an _integral, unimodular and positive definite symmetric bilinear form that has an _isometry with characteristic polynomial f ? The present paper gives a _partial answer to this question.

1 - Isométries

_parfaites

Le

_point

de

_départ

de ce travail est une

_question

de Claude

_Weber,

mo-tivée _par la théorie des noeuds

_{[4], [5] :}

Soit L un Z-module libre de _{rang n,} et soit S : L K L - Z une forme bilinéaire

_{c-symétrique}

_(E

= 1 ou -

1)

unimodulaire et

_paire

_{(c’est-à-dire}

S(x, x) -

0

_(mod2)

pour tout x

_{E L).}

Question

1 :

Existe-t-il une forme bilinéaire unimodulaire A : L X L - Z telle _que

S(x, y~

=

A(x, y~

₊

pour tout x, y E L ?

Michel Kervaire a étudié cette

_question

_[5].

_Lorsque

c

_{= -1,}

la

_réponse

est affirmative. Si c = 1 _et S _est

indéfinie,

Kervaire _a montré

que la

réponse

est encore

_positive

sauf si n = 2. Il _a utilisé _pour cela la classification des

formes bilinéaires

_{symétriques entières,}

unimodulaires et indéfinies

_{[6], [9].}

Pour aborder le cas où S est

_symétrique

et

_défini,

il a introduit la notion

d’isométrie parfaite :

DÉFINITION. Un

_isomorphtsme

de Z-modules t : L ~ L est une isométrie de S si

_{S(tx, ty~}

=

S(x, y~

pour tout x, y E L. Une isométrie t : L -&#x3E; L de

(5~

telle _que

_{S(x, y)}

=

A(x, y)

₊

fA(y,x)

_{pour tout x, y} E L si et seulement si

S a une isométrie

parfaite.

"

DÉMONSTRATION:

Etant

donné A,

on définit t : L --&#x3E; L par

On vérifie _{que t est} bien une isométrie de

S,

et _que

S(x,

y)

=

A((1-t)x, y).

Comme A est

_{unimodulaire,}

1 - t est un

isomorphisme. Réciproquement,

si t est une isométrie

parfaite

de

S,

_posons =

S((1 -

On vérifie _que

_{S(x, y)}

=

A(X,Y)+fA(y,x).

Une démonstration détaillée se

trouve dans

_[5],

_page 178.

Remarque

Le lemme et sa démonstration sont

_inspirés

_par la théorie des noeuds

_[5].

On

peut

donc reformuler la

_question

1 comme suit :

Question

2 :

Est-ce _que S admet une isométrie

parfaite ?

Supposons

désormais S

_symétrique

et définie

_positive.

Comme S est

paire,

il est bien connu _que le _rang de S est divisible _par 8

_(voir

_par

_exemple

[9],

chapitre V,

Corollaire

_2).

_{Rappelons qu’il}

existe une

_unique

classe

d’isomorphisme

de formes bilinéaires

_symétriques

unimodulaires de _rang

8,

notée

_rg.

Il _y en a deux de _rang

16,

une

indécomposable

notée

Fie

et la somme

_orthogonale

de deux

_copies

de

_r8.

Pour n =

24,

Niemeier a démontré

_qu’il

existe exactement 24 classes

_{d’isomorphisme}

de telles formes

[7].

L’une de ces

formes, appelée

forme de

Leech,

a une

propriété

parti-culière :

DÉFINITION.

Le minimum de S est le

_{plus petit}

entier non nul rrt tel

qu’il

existe x E L avec

_{S(x, x)}

= m.

La forme de Leech est de minimum

_4,

alors que les formes de Niemeier

sont de minimum 2.

DÉFINITION. On

_appelle

réseau une forme bilinéaire

_symétrique

entière et définie

_positive.

Kervaire

_[5]

a donné une

réponse complète

à la

Question

2 _pour les

réseaux de rang au

plus

24. Le réseau

r8

a une isométrie

parfaite,

F16

n’en

a _pas. Parmi les réseaux unimodulaires de _rang

24,

10 ont une isométrie

parfaite

(dont

le réseau de

_Leech),

14 n’en _{ont pas.} Kervaire a aussi obtenu des résultats concernant des réseaux de _rang arbitrairement

_grand

et de minimum 2

_{(voir [5]).}

On dit

qu’un

réseau est

_{indécomposable}

s’il n’est _pas

_isomorphe

à une somme

_orthogonale

de réseaux non triviaux. Le résultat suivant est une

conséquence

du Théorème 1 et de la

_Proposition

2

_{(voir 2) :}

PROPOSITION 1. Il existe une infinité de classes

d’isomorphisme

de réseaux

unimodulaires, indécomposables

et de minimum au moins 4

qui

ont une

isométrie

_parfaite.

Soit

_{(L, S)}

un réseau et soit t : L - L une isométrie de S. Soit

_f

le

_{polynôme caractéristique}

de t. Alors t est

_parfaite

si et seulement si

f ( 1 )

= ±1. Au lieu de chercher des réseaux

_ayant

une isométrie

parfaite,

on

_peut

se _poser une

question

plus précise

et s’intéresser aux réseaux

_ayant

une isométrie de

polynôme caractéristique

donné. Ceci fera

l’ob jet

du

para-graphe

suivant.

2. Réseaux unimodulaires

_ayant

une isométrie de

polynôme

caractéristique

donné

Soit

_f

un

polynôme

unitaire à coefficients entiers. Un

_f-réseau

est un

réseau

_ayant

une isométrie de

polynôme caractéristique f .

Le _groupe des

isométries d’un réseau est fini. Donc s’il existe un

f-réseau,

alors

_f

est un

produit

de

_{polynômes cyclotomiques.}

Notons

_~~

le

_{polynôme cyclotomique}

correspondant

aux racines

mièmes

de l’unité.

THÉORÈME

1

_{~2~. :}

Soi t

_f

=

0- .

Alors

I~

Si m est une

_puissance

de

_2,

alors il existe un

f -réseau

unimodulaire.

2)

Si m n’est _pas une

_puissance

de

_2,

alors il existe un

f -

réseau

unimo-dulaire si et seulement si le

_degré

de

_f

est divisible _par

_8,

et

_{f ( 1 ) f ( -1 )}

est

[2].

Soit

f

= avec m sans facteur carré. Alors tout

f-réseau

est

indécom-posable.

Si m n’est _pas un nombre

premier

et si

deg( f )

&#x3E;

_8,

alors tout

f -réseau

est de minimum au moins 4.

DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 1:

Soit m = _pqr, avec _{p, q} et r des nombres

_{premiers impairs}

distincts.

Po-sons

_f

=

om.

Alors

deg( f )

=

(p -1)(q -1)(r-1),

donc

deg( f )

est divisible

par 8. On a

f(1)

=

f (-1)

= 1. Les conditions du théorème 1 sont

remplies,

il existe donc un

_f-réseau

unimodulaire

_{(L, S).}

Soit t : L - L une isométrie de S de

_{polynôme caractéristique f .}

On a

_{f (1)}

=

1,

donc t est

parfaite.

La

_proposition

2 entraîne _que

_{(L, S)}

est

_{indécomposable}

et de minimum au moins 4.

On dit _que deux

_{polynômes f,g}

E

_Z[X]

sont

_premiers

entre eux s’il existe

LEMME 2

_([2],

REMARK

_~1.3~~.

La somme

orthogonale

d’un

_f-réseau

et d’un

_g-réseau

est un

(fg)-réseau.

_{Réciproquement,}

si

_f

et _{g sont}

_premiers

entre eux alors tout

(fg)-réseau se

_décompose

en la somme

orthogonale

d’un

f -réseau

et d’un g-réseau.

Il est bien connu _que

_çJn

et

_Om

ne sont _pas

_premiers

entre eux si et seulement si n = où _p est un nombre

_premier

et r un nombre entier. Par

_exemple,

_çJpn

et ne sont pas

premiers

entre eux si _{p est} un nombre

premier.

Le théorème 1 _{montre que} si _{p est} un nombre

_premier

_impair,

alors il n’existe _pas de réseau unimodulaire.

PROPOSITION 3. Soit p un nombre

premier impair,

et posons

f

=

op-op-où n et m sont des nombres entiers

_positifs.

Les

_propriétés

suivantes sont

équivalentes :

(a)

Il existe

_{un f-réseau}

unimodulaire

(b) deg(f)

est divisible _{par 8}

(c)

p - 1

(mod 4)

ou n ₊ m - 1

_(mod

_2).

DÉMONSTRATION:

_{L’équivalence}

de

_(b)

et de

_(c)

résulte de

_propriétés

élé-mentaires des

_{polynômes cyclotomiques.}

Si

_{(L, S)}

est un

f-réseau

rang de L est divisible par 8. Mais

rang(L)

=

deg( f ).

Donc

(a)

entraîne

(b).

Il reste à montrer que

(c)

entraîne

(a).

La démonstration de ce fait sera donnée dans le

_5,

_{après quelques préliminaires}

sur les formes de torsion.

3 - Formes de torsion

Soit C un _groupe

(dans

la

suite,

nous

_prendrons

_pour C le groupe trivial ou le _groupe

cyclique

infini Une forme Z- bilinéaire

symétrique

S :

G x G -&#x3E;

Q/Z

sur un _{groupe abélien fini G} est non

dégénérée

si

l’homomor-phisme S:

G -

_Homz(G,Q/Z),

défini _par

_S(x)(y)

=

S(x,y),

est un

isomorphisme.

Si on a de

plus

S(tx, ty)

=

S(x, y)

_{pour tout x, y E} G

et t E

_C,

alors

_{(G, S)}

est

_appelée

une C-forme de torsion. La somme

orthogonale

de deux formes de torsion

_{(G, S)}

et

_{(G’, S’)}

_{est par} définition

G’,

S e

_S’),

où

_{(S e}

_S’)(x

+

_{x’, y}

+

_y’)

=

y’).

Si _{t E}

C,

_on

pose

(tx, tx~~.

Soit

_(G,

_S)

une forme de torsion. Pour tout

_{sous-groupe H}

de

_G,

_posons

=

lx

_E G

1 S(x, y~

= 0 _pour tout _y On dit _que

(G, S~

est neutre

s’il existe un _sous-groupe U de G tel _que =

U,

et

t(U)

= U _pour tout

t E C. Deux formes de torsion

_{(G, S)}

et

_{(G’, S’)}

sont

_isomorphes

s’il existe un

_isomorphisme

de Z-modules

_{f :}

G -

G’

tel _que t o

_{f = f}

o t _pour tout t e

_C,

et = _pour tout _{x, y E} G.

Soit

_G(Q/Z,

_C)

le _groupe de Grothendieck des classes

_{d’isomorphisme}

des C-formes de _{torsion par}

_rapport

à la somme

_orthogonale.

Soit

le

_quotient

de

_{G(Q/Z, C)}

_par le _sous-groupe

_{engendré par}

les formes neutres.

Ce

_groupe est

_appelé

_groupe de Witt des C-formes de

tor-sion. Si C est _{le groupe}

_trivial,

on _pose

W(Q/Z,C)

=

W(Q/Z).

On dit

que deux formes de torsion sont

_{équivalentes}

si elles sont dans la même classe de

_{W (tl/Z, C).}

Il est facile de vérifier _que

_{(G, S)}

et

_{(G~, S’)}

sont

équivalents

si et seulement s’il existe des formes neutres

_{(N, T)}

et

_{(N’, T’)}

telles _que

_(G,

_(N,T)=(G’,

_(N’,T’).

Le lemme suivant est bien connu :

LEMME 3

_{[8], (5.1.3).}

Soit

_{(G, S)}

une forme de

_torsion,

et soit H un

sous-groupe de G tel

que H

C et

_t(H)

= H _pour tout t E C. Alors

(G, S)

et

_{(H-L IH, S)}

sont

_{équivalentes.}

4. Construction de

_f-réseaux

unimodulaires

Soit

_{(M, S)}

un

f-réseau,

et soit t : M -~ M une isométrie de S de

polynôme

caractéristique f.

Soit V =

M

_0x

Q.

On obtient S : V _X

V - Q

M}.

t(M’)

M’~M.

forme

_symétrique

S : G x G ~

Q/Z

et une isométrie t : G -~ G de cette forme. Alors

_{(G, S)}

est une C =

Coo-forme

de torsion.

Supposons

_que

(G,

S)

soit neutre. Il existe alors un _{sous-groupe U de G tel que}

Ul.

= U

et

_t(U)

= U. Notons _{p :} M’ -&#x3E; G =

M’/M

la

projection.

Soit L =

Alors L’ = L et

t(L)

= L. Donc L _{est un}

f-réseau

unimodulaire.

5. Démonstration de la

_Proposition

3

Soit

_{(el, ... ,}

_ep)

la base standard de RP. On munit RP du

_produit

scalaire

canonique

Soit

le réseau de _{rang p -} 1

_engendré

_par le

_système

de racines

_(voir

_par

exemple

~7~, 4).

On a Notons rA la somme

orthogonale

de r

copies

de A. Posons

Mn

= La base

canonique

du RP _contenant la

jème

copie

de A sera notée

(e1, ~ ~ ~ ep).

Soit _tn:

_{Mn - Mn}

l’isométrie de

Mn

définie _par

où i est un indice modulo _p. Alors le

polynôme caractéristique

de tn

est

cppn.

Soit M la somme

orthogonale

de

Mn

et de

_Mm,

muni de l’isométrie

t = _{tn Et) ta. Alors} M _{est un}

CPpncppm-réseau.

Posons

_{G~ -}

La

_C,,,,,-forme

de torsion

_{(Gn, Sen)}

associée à

_Mn

est la somme

orthogonale

de

pn-l

copies

de

(voir [7], §4),

munie de

_{l’isométrie tn :}

Gn.

Dans

_{W(Q /Z ) ,}

la somme

orthogonale

de 4

copies

de T est

_toujours

_nulle,

et celle de 2

_copies

de T l’est si et seulement _{si p - 1}

_{(mod 4).}

Donc dans

Remarquons

que la

Coo-

forme de torsion

(Gn,

s’identifie à l’anneau

de _groupe

_(où

_Fp

est le _corps fini

_{à p}

éléments et

_Cr

est le groupe

cyclique

d’ordre

_r)

muni de

_l’opposée

de la forme standard. Soit I =

(tn -

l’idéal

_{d’augmentation}

de cet anneau de _{groupe. Posons}

k =

2 ,

et U =

Ik.

Alors U _C

U1 - Ik-1.

Par le lemme

3,

les

Coo-formes

de torsion

_{(Gn , Sn)}

et sont

_{équivalentes.}

On a et

l’isométrie induite

_{par tn}

est l’identité. Donc

_(Gn,

_{Sn )}

est

_équivalente

à

_Tn

en tant _que

Coo-tormes

de torsion.

Soit

_{(G, S) _}

la

_Coo-forme

de torsion associée à

M. Cette forme est donc

_équivalente

à

_Tn

0153

Tm.

Si _{p -}

_{1(mod4), Tn ®}

_Tm

est neutre. Si p - 3

(mod 4),

alors

Tn

0153

Tm

est neutre

_si

et seulement si

n + m est

_impair.

Donc

_{l’hypothèse}

_(c)

entraîne _que

_{(G, S)}

est neutre. La construction du 4 nous fournit donc un -réseau unimodulaire.

Remarque

Au cours d’une étude de la forme trace d’une extension

_cyclique

d’ordre

p2

dans

_laquelle

_p est totalement ramifié

_~1~,

Christine Bachoc et Boas Erez

obtiennent des

_{Opop2-réseaux}

unimodulaires. Le

_système

des racines de leurs réseaux est tout comme celui des

_{/&#x3E;p/&#x3E;p2-réseaux}

construits

dans la démonstration ci-dessus.

BIBLIOGRAPHIE

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U.A. 741 du C.N.R.S.

Laboratoire de Mathématiques Faculté des Sciences de _Besançon 25030 _{Besançon Cedex,} FRANCE.