Examens corrigés d'Analyse de Fourier

Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

1.

Examen 1

Exercice 1. SoientH etK deux espaces de Hilbert, soitF un sous-espace vectoriel arbi- traire deH, et soitLune application linéaire continue quelconque deF dansK. L’objectif est de démontrer qu’il existe (au moins) un prolongement linéaire continu Le: H → K de l’applicationL à H tout entier, i.e.satisfaisant Le

F = L et|||Le||| < ∞, dont la norme d’opérateur reste inchangée :|||Le|||=|||L|||.

(a) Rappeler la définition de la norme d’opérateur|||L|||.

(b) Montrer tout d’abord que L admet un unique prolongement linéaire continu L⁰ ∈ Lin F , K

.

(c) Établir que l’applicationh 7→ π_F(h), deH à valeurs dansF, « projection orthogonale surF », est linéaire continue. Que vaut|||π_F|||?

(d)Considérer l’opérateurLe:=L⁰◦π_F et conclure.

Exercice 2. Soit C1,C2, . . . ,Ck, . . . une suite de sous-ensembles convexes fermés non vides dans un espace de HilbertHqui satisfont :

Ck+1 ⊂Ck (k>1). (a) Montrer par un exemple géométrique simple que l’intersection :

C_∞ :=

\∞ k=1

Ck

peut se réduire à l’ensemble vide.

(b) On suppose dorénavant que C_∞ 6= ∅. Vérifier alors que C_∞ est un sous-ensemble convexe fermé deH.

(c) Fixons à présent un élémenth∈Harbitraire. Pour tout entierk >1, on note : h_k :=π_Ck(h)

le projeté dehsurCk, et aussi :

π_C∞(h) le projeté dehsurC∞. Vérifier alors que :

||h−h_k||² 6||h−h_k+1||² 6||h−π_C∞(h)||².

1

(d) Qu’en déduire sur la suite ||h−h_k||²

k>1?

(e) En utilisant l’identité du parallélogramme (que l’on rappellera ou que l’on reconsti- tuera), établir que la suite (h_k)_k>1 est alors nécessairement de Cauchy dans H pour la distance associée à la norme hilbertienne.

(f) Si on note :

h_∞:= lim

k→∞h_k, montrer que l’on a, pour toutg ∈C∞:

Re hh−h_∞, g−h_∞i60.

(g) En déduire :

h_∞=π_C∞(h),

et énoncer le résultat obtenu sous la forme d’un théorème clair.

Exercice 3. Sif ∈ C⁰(T), alors pour toutn∈ N^∗, lan-ème somme de Fejér est continue sur le cercleTet satisfait :

||σ_n(f)||C⁰ 6||f||C⁰.

Exercice 4. Calculer les coefficients de Fourier de la fonctionf: R→Rdéfinie pour tout θ∈[−π, π]par :

f(θ) := 1− θ² π²,

et prolongée comme fonction2π-périodique (continue) surRtout entier.

Exercice 5. On considère la série de fonctions : X

n>1

sin³(nθ) n! .

(a) Montrer que cette série converge uniformément surR. On noteS(θ)sa somme.

(b) Montrer queSest de classeC^∞et2π-périodique.

(c) En développantsin³(nθ), exprimerS(θ)en fonction de (justifier aussi l’existence) : σ(θ) :=X

n>1

sin(nθ) n! .

(d) Montrer queS(θ)est développable en série de Fourier et trouver son développement.

(e) En considérant aussi :

τ(θ) :=

X∞ n=1

cosnθ n! , calculer explicitementτ(θ) +iσ(θ).

(f) En déduire que pour toutθ∈R, on a la formule explicite : S(θ) = ³₄sin sinθ)e^cosθ−¹₄ ^{sin sin}3θ)e^cos3θ.

1.Examen 1 3

Exercice 6. Soitf ∈ C⁰(T)ayant une série de Fourier de la formeP

n>1 b_nsin(nθ)avec b_n ∈R.

(a)Montrer que ses sommes de Fejérσn(f)(θ)sont impaires et en déduire quefelle-même est impaire.

(b) On considère la fonctionF: R→Rdéfinie par : F(θ) :=−

Z θ 0

f(t)dt.

Montrer que F est 2π-périodique, de classe C¹, et que ses coefficients de Fourier sont

donnés par : 





Fb(0) = Z 2π

0

t f(t) dt 2π, Fb(k) = 1

2|k|b_|k|, ∀k ∈Z^∗. Exercice 7. Soitf ∈C⁰(T). Montrer que la série :

X

k∈Z

f(k)b k est absolument convergente.

—————–

2.

Corrigé de l’examen 1

Exercice 1. On supposeraF 6={0}, car siF se réduit à{0}, l’application linéaire continue H →K identiquement nulle convient comme prolongement de l’application nulle{0} → Kpréservant la norme d’opérateur.

(a)La norme de l’opérateur linéaire : L: F, || · ||H

−→ K, || · ||K

est classiquement définie par :

|||L|||:= sup

f∈F f6=0

||L(f)||K

||f||H

= sup

||f∈Ff||=1

||L(f)||K.

(b) Tout élémentf ∈ F de l’adhérence du sous-espace vectorielF ⊂H s’obtient comme la limite dansH d’une certaine suite(f_k)_k>1 d’élémentsf_k ∈ F, laquelle est alors néces- sairement de Cauchy. Or la majoration uniforme :

||L(f_k2)−L(f_k1)||K 6|||L||| ||f_k2 −f_k1||H

montre que la suite L(f_k)

k>1est alors aussi de Cauchy dans l’espace de HilbertK, lequel est complet par définition. Donc il existe un uniqueg ∈K tel quelim_k→∞L(f_k) =g.

Maintenant, cette application (noter le léger changement de notation par rapport à l’énoncé, où le prolongement L était noté L⁰) L qui à un tel f ∈ F associe ce g est li- néaire, puisque, sif_k⁰ → f⁰ ∈ F, sig⁰ := L(f⁰), sif_k⁰⁰ → f⁰⁰ ∈ F, sig⁰⁰ := L(f⁰⁰), et si λ⁰, λ⁰⁰ sont deux constantes arbitraires, la suiteλ⁰f_k⁰ +λ⁰⁰f_k⁰⁰converge versλ⁰f⁰ +λ⁰⁰f⁰⁰, et on déduit de la linéarité deLque :

lim

k→∞L λ⁰f_k⁰ +λ⁰⁰f_k⁰⁰

=λ⁰ lim

k→∞L(f_k⁰) +λ⁰⁰ lim

k→∞L(f_k⁰⁰) =λ⁰g⁰+λ⁰⁰g⁰⁰, donc l’unique élément queLassocie àλ⁰f⁰+λ⁰⁰f⁰⁰est bien égal àλ⁰L(f⁰) +λ⁰⁰L(f⁰⁰).

Ensuite, en passant à la limite dans les inégalités :

||L(f_k)||K 6|||L||| ||f_k||H (k>1 ;fk∈F), on obtient :

||L f

||K 6|||L||| ||f||H,

et donc|||L|||6|||L|||, ce qui montre queLest un opérateur linéaire continu. En fait, comme L

F =L, on a même, plus précisément :

|||L|||=|||L|||.

Enfin, si deux applications linéaires continuesL₁: F → K etL₂: F → K prolongent toutes deux L: F → K, à savoir L₁

F = L et L₂

F = L, alors, puisque tout élément

2.Corrigé de l’examen 1 5

élémentf ∈ F de l’adhérence deF peut s’écrire comme la limitef = lim_k→∞f_k d’une suite d’élémentsf_k∈F, et puisqueL₁etL₂sont continues, on voit que :

L1 f

=L1 lim

k→∞fk

= lim

k→∞L1(fk) = lim

k→∞L(fk) =

= lim

k→∞L₂(f_k) = L₂ lim

k→∞f_k

=L₂ f , d’oùL₁ =L₂.

Ainsi l’applicationLdéfinit l’unique prolongement linéaire continuL∈Lin F , K de L, c’est-à-dire satisfaisantL

F =L.

(c) D’après un résultat du cours, puisqueF est fermé, l’espace de HilbertHse décompose comme somme directe orthogonale :

H =F ⊕^⊥ F^⊥ deF avec son orthogonal :

F^⊥ :=

g ∈H: hg, fi= 0, ∀f ∈F ,

lequel est lui aussi fermé. Ainsi, tout élémenth∈H se décompose comme : h=π_F(h) +π_F⊥(h),

où les deux projectionsπ_F(·)etπ_F⊥(·)sont linéaires, et l’orthogonalité assure que le théo- rème de Pythagore est satisfait :

||h||² =π_F(h)²+π

F^⊥(h)².

Mais alors, si on néglige le second terme à droite qui est positif, cette égalité peut être vue comme une inégalité :

||h||² >π_F(h)²,

laquelle exprime que la norme de l’opérateur de projection orthogonaleπ_F(·)est toujours 6 1. Enfin, puisque cet opérateur se réduit à l’identité en restriction à F 6= {0}, on a en fait :

|||π_F|||= 1.

(d) L’opérateur Le := L◦π_F est linéaire continu, puisqueL etπ_F le sont tous deux. De plus, grâce à la majoration connue de la norme d’opérateur d’une composition d’opérateurs continus :

|||Le|||6|||L||| |||| {z }π_F|||

=1

=|||L|||

=|||L|||,

on voit que Le est continu lui aussi, de norme d’opérateur majorée par celle de L. Mais comme sa restrictionLe

F = L à F 6= {0} est clairement égale à L par définition, il se trouve que|||Le|||=|||L|||en fait.

En conclusion, il existe (au moins) un prolongement linéaire continu Le: H → K de l’application L à H tout entier, i.e. satisfaisant Le

F = L et |||Le||| < ∞, dont la norme d’opérateur reste inchangée : |||Le||| = |||L|||. Ce théorème est vrai plus généralement dans

n’importe quel espace vectoriel normé (espace dit de Banach), d’après le fameuxThéorème de Hahn-Banach(cours de M1).

Exercice 2. (a) DansH =R²(x, y), une famille de demi-espaces fermés à bords parallèles qui est poussée à l’infini telle que, disons,Ck :={x>k}, offre un exemple simple de suite de sous-ensembles convexes fermés non videsC1,C2, . . . ,Ck, . . . emboîtés les uns dans les autres :Ck+1 ⊂Ckmais dont l’intersectionT_∞

k=1 Ck =∅est vide.

(b) L’intersection T_∞

k=1 Ck =: C_∞ est toujours un fermé, car au niveau abstrait de la topologie générale, une intersection quelconque d’ensembles fermés est encore fermée, sachant que l’ensemble vide est un fermé lui aussi.

SiC∞est non vide, soientf, g ∈ C∞. Alors pour tout entierk, ces deux élémentsf et gappartiennent àCk. Mais puisqueCkest convexe, le segment fermé{tf + (1−t)g: 06 t 6 1}qu’ils délimitent est contenu dansCk, et ce, pour toutk > 1. Donc ce segment est aussi contenu dans l’intersectionC∞de tous lesCk, d’où il découle queC∞est convexe.

(c) D’après un résultat du cours, sih ∈H est un élément arbitraire, ses projectionshk :=

π_Ck(h) (k > 1) et π_C∞(h) sur les convexes fermés Ck (k > 1) et C∞ existent et sont uniques. Or à cause des deux inclusions :

C∞ ⊂Ck+1 et Ck+1 ⊂Ck, on a immédiatement :

π_C∞(h)∈Ck+1 et h_k+1 ∈Ck, et alors grâce aux deux propriétés de minimisation de la distance :

||h−h_k+1||= min

g∈Ck+1

||h−g|| et ||h−h_k||= min

g∈Ck

||h−g||

on peut en déduire, si l’on poseg := π_C∞(h) puis g := h_k+1, respectivement, les deux inégalités désirées :

||h−h_k+1||² 6||h−π_C∞(h)||² et ||h−h_k||² 6||h−h_k+1||². (d) On en déduit que la suite de nombre réels tous positifs ||h−h_k||²

k>1, qui est croissante et majorée par||h−π_C∞(h)||admet une unique limite, disonsd_∞>0, dansR+.

(e) L’identité du parallélogramme, qui remonte à Pythagore et à Euclide, stipule que pour tousu, v ∈H, on a :

||u||²+||v||² = 2^u+v

2 ²+¹₂||u−v||².

Appliquons donc cette identité àu:=h−h_k1 et àv :=h−h_k2 pour deux entiersk₁ 6k₂, en plaçant||u−v||² seul à gauche, ce qui nous donne :

1

2||h_k2 −h_k1||² =||h−h_k1||²+||h−h_k2||²−2h− ^hk1+h₂ ^k22.

Or, puisqueh_k1 eth_k2 appartiennent tous deux àCk1 ⊃Ck2, leur milieu ^hk1+h₂ ^k2 appartient aussi au convexeCk1, et donc encore grâce à la propriété de minimisation, on a :

||h−h_k1||6h− ^hk1+h₂ ^k2, c’est-à-dire de manière équivalente en multipliant par−1:

−h−^hk1+h₂ ^k26−||h−h_k1||.

2.Corrigé de l’examen 1 7

En revenant à l’égalité précédente, on en déduit alors une inégalité :

1

2||h_k2 −h_k1||² 6||h−h_k2||²− ||h−h_k1||²

qui implique que la suite double||h_k2 −h_k1||satisfait la condition dite de Cauchy pour la distance associée à la norme hilbertienne, puisque nous venons de voir que la suite dé- croissante positive ||h−h_k||²

k>1 converge. Par complétude de l’espace de Hilbert H, la suite desh_k converge donc vers une certaine limite dansH. Soith_∞ cette limite. Puisque h_k∈C^kpour toutk, on ah_∞∈C^∞.

(f) D’après un résultat du cours (Théorème 5.2), pourk fixé quelconque, le projetéhk = π_Ck(h)dehsur le convexe ferméCkest caractérisé par la propriété que :

Re hh−h_k, g−h_ki60,

pour tout autre élément g ∈ Ck. En particulier puisque C∞ est contenu dans Ck, cette inégalité est satisfaite pour toutg ∈C∞. Mais d’après la question précédente, la limite :

h_∞ := lim

k→∞h_k

existe, et par continuité du produit scalaire, en passant à la limite quandk→ ∞, la famille d’inégalités précédentes devient :

Re hh−h_∞, g−h_∞i60, pour toutg ∈C∞, ce qu’il fallait démontrer.

(g) Toujours d’après le même résultat du cours, ce jeu d’inégalités caractérise uniquement la projection dehsur le convexe ferméC∞, donc il en découle que :

h_∞=π_C∞(h).

Pour conclure, le théorème « clair » énonce : 1) que la limite des projetés orthogonaux sur des convexes fermés emboîtés en famille dénombrable dont l’intersection totale est non vide existe ; 2) qu’elle est unique ; et 3) qu’elle coïncide avec la projection orthogonale sur le convexe fermé qui est l’intersection totale de tous ces convexes fermés ; ce résultat pourra aussi être considéré comme mathématiquement plus « clair » si on l’exprime sous la forme d’une seule équation :

lim

k→∞π_Ck(h) =π_∩^∞

k=1Ck(h).

Exercice 3. Si f ∈ C⁰(T), alors pour tout n ∈ N^∗, la n-ème somme de Fejér (exercice subsidiaire : établir que :

K_n(θ) =

k=+nX

k=−n

1−|k| n

e^ikθ et que : σ_n(f)(θ) =

k=+nX

k=−n

1− |k| n

fb(k)e^ikθ)

qui est par définition la n-ème somme de Cesàro des sommes partielles de la série de Fourier def :

σ_n(f)(θ) = S0(f)(θ) +S1(f)(θ) +· · ·+Sn−1(f)(θ)

n = 1

n Xn−1 k=0

l=+kX

l=−k

fb(l)e^ilθ

est évidemment continue sur le cercleT, puisque c’est un polynôme de degré6 n en les exponentielles complexes e^iθ, e^−iθ. D’après un calcul du cours, cette somme s’exprime comme la convolution avec len-ème noyau de FejérF_n:

σn(f)(θ) = Fn∗f(θ) = Z π

−π

Fn(η)f(θ−η)dη 2π, donc on peut alors majorer aisément :

σ_n(f)(θ)6 ^max

|η|6π

f(θ−η) Z π

−π

|F_n(η)|dη 2π

=||f||_C⁰,

en se souvenant de la propriété cruciale que, pour tout entier n ∈ N^∗, l’intégrale sur [−π,+π]de ce noyaupositifest toujours égale à1:

1 = Z _π

−π

F_n(θ) dθ

2π =||F_n||L¹,

ce qui démontre finalement l’inégalité désirée en prenant le maximum surθà gauche :

||σ_n(f)||C⁰ 6||f||C⁰.

Exercice 4. Le zéro-ème coefficient de Fourier complexe de la fonctionf: R→R, définie pour toutθ ∈[−π, π]par :

f(θ) := 1− θ² π²,

et prolongée comme fonction2π-périodique (continue) surRtout entier est égal à : f(0) =b 1

2π Z π

−π

1− θ²

π²

dθ = 1 2π

2π− 1 π² 2π³

3

= 2 3. Pourk ∈ N^∗, si l’on se souvient que queR_π

−π e^ilθdθ = 0pour tout entierl 6= 0, lek-ème coefficient de Fourier complexe de ladite fonction f se calcule grâce à deux intégrations par parties dont la nécessité ne fait pas de doute :

fb(k) = 1 2π

Z _π

−π

1_◦− ^θ_π²2

e^−ikθdθ

= 1 2π

− θ² π²

1

−ik e^−ikθ π

−π◦

− 1 2π

Z π

−π

2θ π²

1

ike^−ikθdθ

=− 1 2π

2θ π²

1 k² e^−ikθ

π

−π

+ 1 2π

Z _π

−π

2 π²

1

k²e^−ikθdθ

◦

=− 2 π²

1

k² (−1)ⁿ. Exercice 5. (a) La série de fonctions :

X

n>1

sin³(nθ) n! .

2.Corrigé de l’examen 1 9

converge uniformément surR vers une fonction continue S(θ), puisque qu’elle converge normalement (et même très rapidement) :

X

n>1

^sin3(nθ) n!

6 X∞ n=1

1

n! <∞, sachant quen! ∼ ⁿ_en√

2πncroît plus vite, lorsque n tend vers l’infini, que toute puis- sance fixen^a.

(b)-(c) Pour toutt∈R, on a :

4sin³t= 3sint−^sin(3t),

d’après une formule classique de trigonométrie que l’on peut retrouver et re-deviner — au cas où l’on ne s’en souvienne pas — en développant tout simplement ^eiθ−e_2i^−iθ3

. Si donc l’on pose :

σ(θ) :=X

n>1

sin(nθ) n! ,

série qui converge à nouveau uniformément grâce au même argument que ci-dessus, on voit que :

S(θ) = ³₄σ(θ)− ¹₄σ(3θ),

formule que l’on pouvait aussi re-deviner en examinant un peu à l’avance l’équation qui était écrite à la dernière question(f). Pour montrer que S(θ)est C^∞, il suffit visiblement de montrer queσ(θ)est de classeC^∞. Mais si l’on dérive pfois terme à terme la sérieσ, on obtient une série :

X

n>1

n^{p sin}(nθ) n!

qui est à nouveau normalement convergente, puisquen!croît plus vite que toute puissance fixen^a. D’après le théorème classique d’existence d’une série dérivée, il en découle par récurrence surpque la dérivéep-ème deσexiste, qu’elle est continue et2π-périodique et qu’elle est donnée par cette série infinie normalement convergente dérivée terme à terme :

σ^(p)(θ) = X∞ n=1

n^psin(nθ) n! .

(d) Puisqueσ(θ)est de classeC^∞sur le cercleT=R/2πZ, donc en particulier de classe C¹, le théorème connu de Dirichlet — En fait, le théorème le plus élémentaire de Dini s’applique aussi directement, non pas seulement aux fonctions höldériennes de classeC^α avec0 < α 6 1, mais aussi bien entendu aux fonctions de classe C¹ qui sont beaucoup plus régulières — montre qu’elle s’identifie, en tout point du cercle, à sa série de Fourier :

σ(θ) = X∞ n=1

sin(nθ) n! =

X∞ n=1

1 n!

e^inθ−e^−inθ

2i =

X∞ k=−∞

b

σ(k)e^ikθ.

Mais comme σ(θ) s’écrit déjà sous la forme d’une série trigonométrique absolument convergente, on en déduit sans aucun calcul — grâce à un résultat du cours qui dit qu’une

série trigonométrique normalement convergente est la série de Fourier de la fonction conti- nue qu’elle définit sur le cercle — queσ(0) = 0b et que :

b

σ(k) = 1 2i

sign(k)

|k|! pour |k|>1, Maintenant, en remplaçantθpar3θ:

σ(3θ) = X∞ n=1

1 n!

e^i3nθ−e^−i3nθ

2i ,

et en revenant à la relationS(θ) = ³₄σ(θ)− ¹₄σ(3θ), il vientS(0) = 0b et enfin pour tout k>1:

S(3kb −2) = _2i^{1 3}_4(3k¹_−2)!

, S(3kb −1) = _2i^{1 3}_4(3k¹_−1)!

, S(3k) =b _2i^{1 3}_4(3k)!¹ − ¹_4k!¹ , S(b −3k+ 2) = _2i^{1 3}_4(3k−2)!⁻¹

, S(b −3k+ 1) = _2i^{1 3}_4(3k−1)!⁻¹

, S(b −3k) = _2i^{1 3}_4(3k)!⁻¹ −¹₄⁻_k!¹ . (e)-(f) Pour le calcul explicite deτ(θ)+iσ(θ), si l’on introduit, comme cela a été suggéré :

τ(θ) :=

X∞ n=1

cosnθ n! ,

on observe en posantz :=e^iθ, que l’on peut écrireτ +iσsous une forme simple : τ(θ) +iσ(θ) =

X∞ n=1

e^inθ n! =

X∞ n=1

zⁿ

n! =e^z −1 qui fait naturellement apparaître l’exponentielle complexee^z. Donc on a :

τ(θ) +iσ(θ) = e^z =e^eiθ =e^cosθ+isinθ =e^cosθe^isinθ =e^cosθ

cos(sinθ) +isin(sinθ) , ce qui donne en identifiant les parties imaginaires à gauche et à droite :

σ(θ) = e^cosθsin(sinθ).

Enfin, on obtient bien la formule explicite annoncée :

S(θ) = ³₄sin sinθ)e^cosθ−¹₄ ^{sin sin}3θ)e^cos3θ. Exercice 6. Soitf ∈ C⁰(T)ayant une série de Fourier de la formeP

n>1 b_nsin(nθ)avec b_n ∈R.

(a) Par hypothèse, pour toutn ∈ N^∗, lan-ème somme partielle de la série de Fourier def est donc égale à :

S_n(f)(θ) = Xn k=1

b_ksin(kθ),

fonction qui est visiblement impaire. Il en découle que lan-ème somme de Fejérσ_n(f)(θ) est elle aussi impaire, puisque :

σ_n(f)(θ) = S₀(f)(θ) +S₁(f)(θ) +· · ·+S_n−1(f)(θ)

n .

Or d’après le théorème de Fejér, la suite σ_n(f)(θ)

n>1 converge uniformément, lorsquen augmente jusqu’à l’infinu, versf. Doncf elle-même est impaire.

2.Corrigé de l’examen 1 11

(b) La primitiveF: R→Rdef définie par : F(θ) := −

Z _θ

0

f(t)dt

est de classeC¹ surR tout entier puisquef est continue, et elle est aussi2π-périodique, puisque l’on a grâce à la règle de Chasles :

F(θ+π)−F(θ−π) =− Z θ+π

θ−π

f(t)dt = 0, cette dernière intégrale s’annulant automatiquement par imparité def.

Maintenant, calculons en appliquant le théorème de Fubini à la fonction continue (dont intégrable)(t, θ)7−→f(t)le zéro-ème coefficient de Fourier deF :

Fb(0) =− 1 2π

Z _2π

0

Z θ 0

f(t)dt

dθ =− 1 2π

Z _2π

0

f(t)dt Z _2π

t

dθ

= 1 2π

Z 2π 0

f(t) (t−2π)dt = 1 2π

Z 2π 0

tf(t)dt− Z 2π

0

f(t)dt

| {z }

=f(0)=0b

Ensuite, calculons, à nouveau grâce au théorème de Fubini, le k-ème coefficient de Fourier deF, pour unk∈Z^∗ arbitraire :

Fb(k) =− 1 2π

Z _2π

0

Z θ 0

f(t)dt

e^−ikθdθ =− 1 2π

Z _2π

0

f(t) Z 2π

t

e^−ikθdθ

dt

= 1 2ikπ

Z 2π 0

(1−e^−ikt)f(t)dt = 1

ik fb0◦−f(k)b

=−1 ik f(k).b Mais comme on a par hypothèse :

fb(k) =

( −₂ⁱ b_k pour k >1, +₂ⁱ b_−k pour k 6−1, on obtient bien comme voulu :

Fb(k) = 1

2|k|b_|k| ∀k∈Z^∗.

Exercice 7. D’après la formule de Parseval, la série de terme général|fb(k)|² converge et est égale au carré de la normeL² de la fonctionf ∈C⁰(T)⊂L²(T), à savoir l’on a :

X

k∈Z

bf(k)² = Z _π

−π

|f(θ)|² dθ 2π

=||f||²_L² <∞.

Mais par ailleurs, l’inégalité de Cauchy-Schwarz permet alors, pour chaque n ∈ N^∗, de majorer la somme partielle à étudier :

X

|k|6n k6=0

|fb(k)|

k 6 X

|k|6n k6=0

|fb(k)|²

1/2 X

|k|6n k6=0

1 k²

1/2

6||f||L²(T)· 2^π₆²1/2

<∞,

par une quantité qui est bornée uniformément par rapport àn, ce qui montre que la série à termes positifsP

k∈Z^∗ |f(k)b |

k est effectivementabsolumentconvergente,cqfd.

—————–

3.Examen 2 13

3.

Examen 2

Exercice 1. Soitf ∈L¹_loc(R)telle que : 0 =

Z _∞

−∞

f(x)ϕ(x)dx,

pour toute fonction ϕ ∈ Cc^∞(R). Soit (ρ_j)_j>1 une suite régularisante, c’est-à-dire plus précisément une suite de fonctionsρ_j ∈ Cc^∞(R)telles que ρ_j > 0, R_∞

−∞ ρ_j(x)dx = 1 et suppρ_j ⊂ [−ε_j,+ε_j]pour une certaine suite de réels ε_j tels que0 < ε_j 6 1 satisfaisant

lim_j→∞εj = 0.

(a) Montrer que toutes les régulariséesf ∗ρ_j de la fonctionf sont identiquement nulles.

(b) Soitaun réel strictement positif et posonsb :=a+ 1. Montrer que, pour tout réelxtel que|x|6aet pour tout entierj >1, on a :

ρ_j∗f(x) =ρ_j ∗ 1_[−b,b]f

(x) = 0.

(c) Montrer que :

1_[−b,b]f−ρ_j ∗ 1_[−b,b]f

L¹ >

Z _+a

−a

|f(x)|dx.

(d)En déduire quef = 0presque partout.

Exercice 2. On considère l’espace C := C⁰([−1,1], C) des fonctions continues sur le segment[−1,1]⊂Rà valeurs complexes, et on le muni du produit sesquilinéaire :

hf, gi :=

Z 1

−1

f(x)g(x)dx (f, g∈C).

(a) Justifier en quelques mots le caractère sesquilinéaire deh·,·i, et expliquer brièvement pourquoi||f||:=p

hf, fidéfinit une norme sur les élémentsf ∈C.

(b) En les énonçant soigneusement, rappeler au moins trois théorèmes fondamentaux du cours concernant l’espaceL² [−1,1], C

.

(c) On s’intéresse à la suite, indexée par un entier n > 1, de fonctions (impaires) f_n: [−1,1]−→RdeC qui sont définies par :

f_n(t) :=

(n t lorsque |t|< ¹_n sgn(t)·1 lorsque _n¹ 6|t|61.

Montrer que pour tous entiers16n6m, on a la majoration (non optimale) : f_m−f_n 6 ^√2_3n.

Indication:Majorer séparémentR ¹

m

0 etR ¹_n

1 m

, ou trouver une majoration alternative simple qui pourra interpréter le rôle qu’on attend d’elle.

(d) Montrer que cette suite(f_n)^∞_n=1converge pour la norme|| · ||sur l’espaceL²([−1,1],C) vers une fonction qui vaut presque partout1sur]0,1]et presque partout−1sur[−1,0[.

(e) L’espaceC muni de la norme||·||est-il un espace de Hilbert ? Interpréter intelligemment la réponse proposée.

Exercice 3. Sur la droite numérique complète R, on considère l’équation de la chaleur définie en tempst >0par :

∂u

∂t(x, t) = ∂²u

∂x²(x, t) (x∈R, t >0), d’inconnueu∈C²(R×R^∗₊), avec distribution de températureu(x,0)prescrite à l’origine des temps comme étant une certaine fonction intégrable donnéef ∈L¹(R):

0 = lim

t−→

>0u(·, t)−f(·)

L¹(R).

Jusqu’à la Question (g)incluse, on suppose qu’il en existe une solutionu =u(x, t)de classeC² par rapport à (x, t)pourx ∈ Rett > 0, s’amenuisant ainsi que ses dérivées à l’infini :

0 = lim

|x|→∞u(x, t) = lim

|x|→∞

∂u

∂x(x, t) (∀t >0), et qui est de plus contrôlée ainsi que sa dérivée temporelle en termes d’une certaine fonction-majorante positive intégrable fixéeg ∈L¹(R,R+):

u(x, t) 6 g(x) et

∂u

∂t(x, t)

6 g(x) (pour presque toutx∈R), uniformément pour toutt > 0. On rappelle que la transformée de Fourierd’une fonction h∈L¹(R,C)est définie pour toutξ ∈Rpar :

bh(ξ) :=

Z _∞

−∞

h(x)e^−2iπξxdx.

(a) La transformée de Fourier deupar rapport àxs’exprimant alors comme : b

u(ξ, t) = Z _∞

−∞

u(x, t)e^−2iπξxdx, vérifier qu’elle est bien définie et qu’elle prend des valeurs finies.

(b) Montrer, pour toutξ∈Ret toutt >0, que :

∂bu

∂t(ξ, t) = Z _∞

−∞

∂²u

∂x²(x, t)e^−2iπξxdx.

(c) Concocter une équation différentielle du premier ordre satisfaite parbu(ξ, t).

(d) Montrer que la fonctiont 7−→ bu(ξ, t) est continue en t = 0, t > 0, pour tout ξ ∈ R fixé.

(e) Montrer que :

b

u(ξ, t) = bu(ξ,0)e^−4π2ξ2t (∀ξ∈R,∀t>0). (f) Soient deux fonctions intégrables h₁, h₂ ∈ L¹(R,C). Comment s’exprime la trans- formée de Fourier h\₁∗h₂ du produit de convolution — dont on rappellera la définition précise — en termes debh₁et debh₂?

3.Examen 2 15

(g) Montrer que :

u(x, t) = Z _∞

−∞

f(x−y) 1

√4πte^−y

2 4t dy.

Indication:On rappelle que pour tout paramètre réel σ > 0, la transformée de Fourier de la fonctionx7−→ ^√_2πσ¹ 2 e^{− x}

2

2σ2 est la fonctionξ 7−→e^{−2π2σ2ξ2}.

(h) Conclure en démontrant que cette expression pour une fonctionu résout le problème de la chaleur,i.e.satisfait les conditions requises.

Exercice 4. Soit l’espaceC défini dans l’Exercice 2.

(a) Pour un entier n ∈ N quelconque, on note Pn le sous-espace vectoriel de C qui est constitué des fonctions polynomiales de degré 6 n restreintes à [−1,1], et on note π_n: C −→ Pnle projecteur orthogonal, pour le produit scalaire h·,·i. À l’aide du cours, justifier soigneusement que :

0 = lim

n→∞f −πn(f) (∀f∈C).

(b) Soit (p_n)^∞_n=0 une famille infinie d’éléments p_n ∈ Pn qui est de plus orthonormale.

Justifier que la sous-famille finie{p₀, . . . , p_n}est libre pour toutn ∈N, et montrer ensuite que{p₀, . . . , p_n}forme une base dePn, quel que soitn.

(c) Montrer, pour tout entiern ∈Net toute fonctionf ∈C, que : πn(f) =

Xn i=0

hf, pii ·pi

puis que :

π_n(f)² = Xn

i=0

hf, p_ii².

(d) Montrer, pour une fonctionf ∈C quelconque, que la série de terme général|hf, p_ni|² est convergente.

(e) Montrer en fait que :

X∞ n=0

hf, p_ni² = ||f|| ⁽∀f∈C).

(f) Tout en établissant son existence, déterminer la limite :

nlim→∞

Z 1

−1

f(t)pn(t)dt.

—————–

4.

Corrigé de l’examen 2

Exercice 1. (a) Les régulariséesf ∗ρ_j(x) = R_∞

−∞ f(y)ρ_j(x−y)dyde la fonctionf sont identiquement nulles, puisque chaque fonctiony7→ρj(x−y)appartient àCc^∞(R).

(b) Soitaun réel strictement positif, soitb :=a+ 1, et soitx ∈Rtel que|x| 6a. Alors, puisque le support chaque fonctionρ_j est contenu dans[−1,1](par hypothèse,0< ε_j 61), le support dey7→ρ_j(x−y)est contenu dans[−b, b], donc :

0 =ρ_j ∗f(x) = Z _∞

−∞

ρ_j(x−y)f(y)dy= Z _+b

−b

ρ_j(x−y)f(y)dy

= Z _∞

−∞

ρ_j(x−y)f(y)1_[−b,b](y)dy

=ρ_j∗ 1_[−b,b]f (x).

(c) Sachant que pour toute fonction g ∈ L¹(R), et pour tout a > 0 quelconque, on a trivialement :

||g||L¹ = Z _∞

−∞ |g(x)|dx= Z +a

−a

|g(x)|dx+ Z

|x|>a

|g(x)|dx

>

Z +a

−a

|g(x)|dx, on voit immédiatement que :

1_[−b,b]f −ρ_j∗ 1_[−b,b]f

L¹ >

Z _+a

−a

1_[−b,b]f −ρ_j∗ 1_[−b,b]f

◦dx

>

Z _+a

−a

|f(x)|dx.

(d) Observons que 1_[−b,b]f appartient à L¹(R), puisque f ∈ L¹_loc(R) par hypothèse.

D’après un théorème du cours, le membre de gauche de la dernière inégalité tend vers zéro quantj tend vers∞. Ainsi,R_+a

−a |f(x)|dx = 0, et puisque le réel positifaétait arbitraire, on en déduit, comme demandé, quef = 0presque partout.

Exercice 2. (a) Soientf, f⁰, f⁰⁰, g, g⁰, g⁰⁰ ∈ C⁰ [−1,1],C

et soientλ, µ ∈ C. Le produit h·,·idéfini par :

hf, gi :=

Z 1

−1

f(x)g(x)dx satisfait manifestement :

hf⁰+f⁰⁰, gi = hf⁰, gi+hf⁰⁰, gi, hf, g⁰+g⁰⁰i = hf, g⁰i+hf, g⁰⁰i,

4.Corrigé de l’examen 2 17

ainsi que :

hλf, gi = Z 1

−1

λ f(x)g(x)dx = λhf, gi, hf, µgi =

Z ₁

−1

f(x)µg(x)dx = µhf, gi, ce qui montre qu’il est bien sesquilinéaire.

Ensuite, la quantité positive :

||f|| :=

Z 1

−1

f(t)²dt ¹₂

= p hf, fi,

satisfaisant ||λf|| = |λ| ||f||, qui s’annule si et seulement si f(t) = 0 pour presque tout t ∈ [−1,1], donc pour toutt ∈ [−1,1]puisque f est continue, constitue unenorme sur C = C⁰ [−1,1],C

— d’après un théorème du cours qui démontre que l’inégalité de Minkowski s’en déduit :

||f +g|| 6 ||f||+||g||.

(b) ^• Premier théorème fondamental. L’espace L² [−1,1],C

est un C-espace vectoriel normé muni du produit scalaire standard :

hf, giL² :=

Z 1

−1

f(x)g(x)dx (∀f, g∈L²[−1,1]), et sa norme associée :

||f||L² := p hf, fi satisfait l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

hf, giL² 6 ||f||L²||g||L² (∀f, g∈L²[−1,1]).

• Deuxième théorème fondamental. Cet espace muni de la distance associée à sa norme : d(f, g) := ||f −g||L²

estcomplet :toutes les suites de Cauchy y sont convergentes vers des limites qui lui appar- tiennent.

• Troisième théorème fondamental. Enfin,L² [−1,1],C

estséparable, à savoir il contient une suite (dénombrable !) de fonctions(f_n)^∞_n=1 qui estdense :

∀g ∈L² [−1,1],C

∀ε >0 ∃^N(ε)1 fN(ε)−g

L² 6ε.

(c) Soit donc la suite(f_n)^∞_n=1de fonctionsf_n∈C définies par : fn(t) :=

(nt lorsque |t|6 _n¹,

sign(t)·1 lorsque ¹_n 6t61.