Faisceaux analytiques cohérents

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

1. Définition des faisceaux cohérents

Soit X un espace topologique, et soit A −→ X un faisceau d’anneaux commutatifs unitaires surX, oùA est un espace topologique, où la projection ‘−→’ est un homéomor- phisme local surjectif, et où les espaces de sectionsΓ(U,A)pourU ⊂ X ouvert ont une structure d’anneau.

Soit aussi un faisceau deA-modules surX: M −→ X,

où M est un espace topologique, où la projection ‘−→’ est un homéomorphisme local surjectif, et où les espaces de sectionsΓ(U,M)sont desΓ(U,A)-modules.

Comme l’a fait comprendre la théorie générale des faisceaux, on peut envisager A et M alternativement et simultanément comme une réunion topologisée de germes :

A = a

x∈X topologisée

Ax, et M = a

x∈X topologisée

Mx,

sachant que ces germesAxetMxs’identifient aux fibres des projections ‘−→’ respectives.

La prise de germe d’une sectionM ∈Γ(U,M)en un pointx∈ U d’un ouvertU ⊂X sera notée :

M 7−→ M_x ∈ Mx.

Des élément fixés de ces fibres Ax et Mx seront notés ax ∈ Ax et mx, nx ∈ Mx. La théorie générale des faisceaux dit que ce sont en fait des germes de sections locales continues définies dans des voisinages ouverts de x; rappelons en effet deux propriétés fondamentales établies au chapitre précédent.

Principe d’extension germique 1.1. Tout germem_x ∈ Mx possède toujours un certain représentantlocalM ∈ Γ(U,M), à savoir une sectioncontinueM deM définie dans un certain voisinage ouvertx∈U ⊂Xqui redonne le germe :

M_x = m_x.

De plus, si m_x ∈ Mx et n_x ∈ Mx ont pour représentants M ∈ Γ(U,M) et N ∈ Γ(U,M)dans un ouvert communx∈U ⊂X, alors :

mx = nx (dansM^x) ⇐⇒ ∃x ∈ V ⊂ U sous-ouvert tel que M

V = N

V (dansV). Le plus souvent, une hypothèse de noethérianité est satisfaite, qui peut être conceptuali- sée abstraitement comme suit.

1

Définition 1.2. Un faisceau M de A-modules est dit localement finiment engendré lorsque, en tout pointx ∈ X, il existe un nombre fini K > 1de sections M₁, . . . , M_K ∈ Γ(U,M)définies dans un certain voisinage ouvertx∈U ⊂Xdont les germes engendrent toutes les fibres :

My = Ay ·M1y+· · ·+Ay·MKy (∀y∈U). Exemple 1.3. [Oka 1950] Toutefois, l’engendrement fini local peut parfois être mis en défaut. DansC², prenons en effet deux boules ouvertes concentriques emboîtées de rayons 0< s < r :

B_s :=

(z, w)∈C²: |z|²+|w|² < s et B_r :=

(z, w)∈C²: |z|²+|w|² < r , prenons la diagonale :

∆ :=

z =w ,

et attribuons un nom à son intersection avec la différence entre ces boules : A := ∆∩ B_r\B_s

.

On doit pouvoir se convaincre visuellement que A est un anneau contenu dans la droite complexe{z =w} ∼=C∼=R².

C² w

U z

Br

A

A

zoom

Bs

a b

∆ V

Observons aussi que la partie du bord deB_squi est dans cette diagonale :

∂B_s∩∆ ⊂ A est un cercle ‘spécial’ de rayons√

2entièrement contenu dans l’anneauA, de telle sorte queAest fermé du côté de∂B_s, tandis qu’il est ouvert du côté de∂B_r.

Introduisons maintenant le faisceau des fonctions holomorphes s’annulant sur A, dont les sections pour tout ouvertU ⊂B_rsont :

IA(U) :=

f ∈O(U) : f(z, z) = 0, ∀(z, z)∈A∩U ; le fait qu’il s’agit d’un vrai faisceau a déjà été vu dans un exercice qui précède.

Le principe des zéros isolés montre alors que siU∩∆est connexe, et s’il existe un point (z0, z0)∈A∩U, alorsf(z, z)≡0partout dansU∩∆, doncf est localement factorisable par(z−w). On en déduit (exercice aisé) qu’en tout pointb∈Br, les germes de ce faisceau valent :

IA,b =

(Ob(z−w)

b si b ∈A,

Ob si b 6∈A.

(1.4)

Assertion 1.5. En tout point a ∈ A ∩∂B_s du cercle spécial, le faisceau IA n’est pas localement finiment engendré.

Démonstration. Sinon, il existerait un voisinage ouverta ∈ V qu’on peut supposer, après réduction, être une petite boule ouverte centrée ena, de telle sorte que V ∩ {z = w}est connexe, et il existerait un nombre fini J > 1 de fonctions f1, . . . , fJ ∈ IA(V) ⊂ O(V) satisfaisant :

IA,b = Obf₁

b+· · ·+Obf_J

b (∀b∈V).

Mais le principe mentionné des zéros isolés forcerait cesf_j(z, z)≡0à s’annuler en tout (z, z)∈∆∩V, doncf_j(b) = 0en des pointsb∈B_s∩∆∩V de la diagonale intérieurs à la petite boule, d’oùb6∈A, ce qui, en se remémorant (1.4), conduirait à l’inclusion impossible de l’anneau local dans son idéal maximal :

IA,b = Ob ?⊂! m_b :=

g_b ∈Ob: g_b(b) = 0 . Lemme 1.6. Si un faisceauM deA-modules est localement finiment engendré, et si, en un point x ∈ X, il existe des sections N₁, . . . , N_L ∈ Γ(U,M) définies dans un ouvert U 3xdont les germes engendrent :

Mx = Ax·N1x+· · ·+Ax·NLx,

alors en fait, il existe un sous-voisinage ouvertx∈V ⊂U dans lequel ces mêmes sections engendrent toutes les fibres :

My = Ay·N_1y +· · ·+Ay ·N_Ly (∀y∈V). Démonstration. L’hypothèse que M est localement finiment engendré s’exprime donc, quitte à réduireU 3x, comme dans la Définition 1.2 :

My = Ay ·M_1y+· · ·+Ay·M_Ky (∀y∈U). Mais alors, comme N_1x, . . . , N_Lx engendrentMx surAx, il existe des germesa_k,`,x ∈ Axtels que :

M_{k x} = a_k,1,xN_1x+· · ·+a_k,L,xN_Lx (16k6^K). Le Principe d’extension germique 1.1 fournit alors pour ces germesak,`,xdes représentants Ak,` ∈ Γ(V,A)tous définis dans un certain sous-voisinage ouvert communx ∈ V ⊂ U tout en garantissant que :

M_{k y} = X

16`6^L

Ak,`

yN_`y (∀y∈V,16k6^K).

Pour touty∈V, il vient alors par simple remplacement : My = X

16k6^K

Ay ·M_{k y}

= X

16k6^K

X

16`6^L

Ay·A_k,`

yN_`y

⊂ X

16`6^L

Ay·N_`y,

et comme l’inclusion inverse ‘⊃’ est évidente, on a l’égalité annoncée.

Étant donné un faisceau M de A-modules et étant donné un nombre fini arbitraire

Q >1de sections quelconques :

M₁, . . . , M_Q ∈ Γ(U,M)

définies dans un voisinage ouvertU ⊂ X, les problèmes qu’ont étudié (et résolu) Cousin puis Oka ont montré qu’il était nécessaire de comprendre les relations existant entre leurs germes, ce qui conduit en théorie générale des faisceaux à introduire, en tout pointy∈ U, l’ensemble desrelations germiques:

Ry(M₁, . . . , M_Q) :=

n

(a_1,y, . . . , a_Q,y

∈(Ay)^Q: 0 = a_1,yM_1y+· · ·+a_Q,yM_Q

y

o .

On peut vérifier (exercice) que ∪yRy(M₁, . . . , M_Q) constitue un sous-faisceau de la restriction (A)^Q

U, les sections continues étant alors représentées dans des sous-ouverts V ⊂U :

V 3 y 7−→ A1(y), . . . , AQ(y) , au moyen de sections continuesA1, . . . , AQ ∈Γ(V,A)satisfaisant :

0 = A_1yM_1y +· · ·+AQ yMQ

y (∀y∈V).

Mais en général, ces diverses fibresRy peuvent être si découplées les unes des autres lorsquey ∈ U varie, qu’il n’est pas vrai, en général, qu’elles soient localement finiment engendrées même lorsque M l’est, et ce phénomène justifie — après production d’un exemple simple — l’introduction d’un nouveau concept.

Exemple 1.7. DansCⁿavecn >1, soient une boule ouverteB ={|z1|²+· · ·+|zn|² < r²} de rayonr >0, de fermetureB ={|z₁|²+· · ·+|z_n|² 6r²}, et soit la fonction indicatrice :

1B(z) :=

z lorsque z ∈B, 0 lorsque z ∈Cⁿ\B.

SiO = O_Cⁿ désigne le faisceau des (germes de) fonctions holomorphes surCⁿ, considé- rons les relations engendrées en divers pointsz ∈Cⁿpar cette unique fonction :

Rz(1_B) :=

f_z ∈Oz: f_z1_z = 0 .

Alors le principe d’unicité pour les fonctions holomorphes permet de se convaincre (exercice) que :

Rz(1_B) =

(0 lorsque z ∈B, Oz lorsque z ∈Cⁿ\B,

ce qui empêche (exercice) ces relations d’être localement finiment engendrées en tout point du bordz ∈∂B =B\B.

Définition 1.8. Un faisceauM deA-modules est ditcohérentlorsqu’il satisfait les deux conditions suivantes.

(i) M est localement finiment engendré.

(ii) Dans tout ouvertU ⊂X, pour tout nombre finiQ >1de sections : M₁, . . . , M_Q ∈ Γ(U,M),

la réunion disjointe de leurs relations germiques : a

y∈U

Ry(M₁, . . . , MQ)

est elle aussilocalement finiment engendrée dansU, c’est-à-dire que pour toutx ∈ U, il existe un sous-ouvertx∈V ⊂U et il existe un nombre finiK>1de sections :

A_k = A_k,1, . . . , A_k,Q

∈ Γ V,A^Q

(16k6^K)

telles que dansV :

Ry = Ay ·A1y+· · ·+Ay·AKy (∀y∈V). Autrement dit, les relations germiques en divers pointsy près dex sont en fait engen- drées d’une manière «cohérente» par de vraies sections locales deA^Qdéfinies de manière

«cohérente» dans un vrai voisinage dex.

Observation 1.9. SiM est un faisceau cohérent deA-modules, alors tout sous-faisceau N ⊂M localement finiment engendré est encore cohérent.

Démonstration. Il reste à vérifier que des relations germiques quelconques deN sont lo- calement finiment engendrées, mais comme elles se plongent dans celles de M, cela est

automatiquement vrai.

La proposition suivante montre qu’on pourrait, dans la Définition 1.8, requérir de ma- nière plus générale mais en fait équivalente, que pour toutP>1, et tous :

M₁, . . . , M_Q ∈ Γ(U,M^P), M_q = M_q,p

16p6^P, la collection desPrelations germiques simultanées :

n

(a_1,y, . . . , a_Q,y

∈(Ay)^Q: 0 = a_1,yM_1,p

y +· · ·+a_Q,yM_Q,p

y, ∀16p6^Po , soit localement finiment engendré.

Proposition 1.10. SiM est un faisceau cohérent deA-modules, alorsM^N est aussi co- hérent pour tout entierN >1.

Démonstration. Au moyen de sections deΓ(U,M^N)du type(0, . . . , M_n, . . . ,0)avec16 n6^N, on voit queM^Nest localement finiment engendré.

Raisonnons par récurrence surN > 2en supposant que les relations germiques deMⁿ sont localement finiment engendrées pour tout 1 6 n 6 ^N−1. Soit maintenantU ⊂ X ouvert, soitQ >1, et soient des sectionsM₁, . . . , M_Q ∈Γ(U,M^N)qui comportent doncN

composantes :

M_q = M_q,n

16n6^N (16q6^Q).

La réunion disjointe sury ∈U des relations germiques : a

y∈U

Ry M₁, . . . , M_Q

⊂ a

y∈U

Ry M_1,1, . . . , M_Q,1

requiert, au sujet de germes(a1,y, . . . , aQ,y)∈Ay^Q, qu’il satisfassentNéquations scalaires :

0 = a_1,yM_1y+· · ·+aQ,yMQ

y = X

16q6^Q

a_q,yM_q,n

y

16n6^N

,

donc en particulier la première qui concerne seulementM^N=1: 0 = a_1,yM_1,1

y +· · ·+a_Q,yM_Q,1

y (y∈U).

Fixons un point quelconque x ∈ U. PuisqueM est cohérent, il existe un sous-ouvert x∈V ⊂U, il existeK > 1, et il existeA₁, . . . , A_K ∈ Γ(V,A^Q)qui engendrent toutes ces relations de manière cohérente dansV :

a_1,y, . . . , a_Q,y

∈ X

16k6^K

Ay· A_k,1

y, . . . , A_k,Q

y

,

à savoir il existe des germesb_1,y, . . . , bK,y ∈Ay tels que :

a_q,y = X

16k6^K

b_k,yA_k,q

y (16q6^Q, y∈V).

Puisque le germe a_y ∈ A_y^Q satisfait déjà par construction la première équation, il lui reste à satisfaire lesN−1équations restantes :

0 = X

16q6^Q

a_q,yM_q,n

y

= X

16q6^Q

X

16k6^K

b_k,yA_k,q

yM_q,n

y

= X

16k6^K

b_k,y X

16q6^Q

A_k,qM_q,n

y

| {z }

=:N_k,n

y

(26n6^N),

ce qui fait apparaître certaines sectionsN₁, . . . , NK ∈Γ(V,M^N−1).

Comme cesN−1équations constituent des relations germiques pourM^N−1, l’hypothèse de récurrence s’applique pour produire un sous-ouvert :

x ∈ W ⊂ V ⊂ U,

ainsi qu’un nombre finiL > 1de sections B₁, . . . , B_L ∈ Γ(W,A^K)telles que, au moyen de certains germesc_1,y, . . . , c_L,y ∈Ay, on ait :

b_k,y = X

16`6^L

c_{`,y</sub>·B<sub>`,k}

y (16k6^K, y∈W).

Ceci conduit à effectuer un remplacement pour obtenir, toujours avecy∈W :

a_q,y = X

16k6^K

b_k,yA_k,q

y

= X

16k6^K

X

16`6^L

c_{`,y</sub>B<sub>`,k}

yA_k,q

y

= X

16`6^L

c_`,y X

16k6^K

B_`,kA_k,q

y

| {z }

=:C`,q y

(16q6^Q),

ce qui signifie que les sectionsC₁, . . . , C_L∈Γ(W,A^Q)ainsi définies : a_1,y, . . . , aQ,y

= X

16`6^L

c_`,y

C_`,1

y, . . . , C_`,Q y

,

engendrent les relations de manière cohérente surW.

Proposition 1.11. Si deux sous-faisceaux R,S ⊂ M d’un faisceau cohérent de A- modules sont cohérents, alors leur intersectionR∩S est elle aussi cohérente.

Démonstration. Pour établir que R ∩S est localement finiment engendré, soit un point quelconquex∈Xet soitU 3xun voisinage ouvert dans lequel il existe des sections :

R₁, . . . , R_K ∈ Γ(U,R) et S₁, . . . , S_L ∈ Γ(U,S) qui, en tout pointy∈U, engendrent :

Ry = X

16k6^K

Ay ·R_{k y} et Sy = X

16`6^L

Ay ·S_`y.

Alors des germest_y ∈Ry ∩Sy appartiennent à l’intersection si et seulement si : X

16k6^K

a_k,yR_ky = t_y = X

16`6^L

b_{`,y</sub>S<sub>`y},

pour certainsa_k,y, b_`,y ∈Ay.

Or ces égalités peuvent être ré-interprétées comme faisceau de relations :

0 = X

16k6^K

a_k,yR_{k y}+ X

16`6^L

b_{`,y</sub> − S<sub>`y}

entreK+Lsections du faisceauM. Grâce à la cohérence de M, sur un sous-ouvertx ∈ V ⊂U, il existe un nombre finiJ>1de sections :

A_j,1, . . . , A_j,K, B_j,1, . . . , B_j,L

∈ Γ V,A^K+L

(16j6^J)

dont les germes engendrent ces relations en tout pointy∈V : a_1,y, . . . , aK,y, b_1,y, . . . , b_`,y

∈ X

16j6^J

Ay · A_j,1

y, . . . , A_j,K y, B_j,1

y, . . . , B_j,L y

,

et ceci offre (exercice mental) les deux représentations : Ry ∩Sy = X

16j6^J

Ay· X

16k6^K

A_j,kR_k

y

= X

16j6^J

Ay· X

16`6^L

B_{j,`</sub>S<sub>`}

y

,

dont l’une seule suffit à exhiber l’engendrement fini local deR ∩S.

Pour ce qui est des faisceaux de relations de R ∩ S, l’Observation 1.9 a déjà fait comprendre qu’ils sont alors automatiquement localement finiment engendrés.

2. Faisceaux analytiques cohérents

Définition 2.1. Un faisceauM deA-modules sur un espace topologiqueX est ditlocale- ment librelorsqu’il existe un entierr > 1tel que tout pointx ∈ X a un voisinage ouvert x∈U ⊂X dans lequel :

M

U ∼= A

U

r

.

Un cas spécial mérite attention, lorsqueX est une variété complexe etA = OX est le faisceau des germes de fonctions holomorphes sur X. Tout faisceau localement libre est alors localement isomorphe à(OX)^r.

Théorème 2.2. [Oka]Tout faisceau localement libre deOX-modules sur une variété com- plexeXest cohérent.

Démonstration. En effet, X ∼= Cⁿ localement avec n = dimX, donc OX ∼= OCⁿ est cohérent d’après le théorème standard d’Oka, puis la Proposition 1.10 donne la cohérence

de(OX)^r.

3. Exercices

Exercice 1. Comme dans l’Exemple 1.7, soitB ⊂Cⁿune boule ouverte de rayonr >0, et soitχ:Cⁿ−→

R+ une fonction C^∞ telle queχ > 0surB tandis que χ ≡ 0dans le complémentaireCⁿ\B. En divers pointsz∈Cⁿ, on regarde :

Rz :=

(f_z, g_z)∈Oz²: 0 =f_zχ

z+g_z(1−χ)

z . (a) Déterminer explicitementRzen fonction de la position dez.

(b) Discuter les cas oùRzest, ou n’est pas, finiment engendré.

Exercice 2. EE