4.0.3 Calculs d’intégrales

Chapitre 4

Intégration sur un intervalle

4.0.1 Fonctions continues par morceaux, intégrale sur un segment

La fonctionf définie sur[−1,2]par

f(x)=















x² si x∈[−1,0]

1−x si x∈]0,1[

7 si x=1

x³ si x∈]1,2]

est-elle continue par morceaux sur[−1,2]? Qu’en est-il si on remplace1−xpar ¹_x sur]0,1[?

Exercice 4.0.2 ⋆

On considère une fonctiong définie sur[0,1]parg(x)=n si il existen∈N∗tel quex=1/n etg(x)=0sinon est-elle continue par morceaux sur[0,1]?

Exercice 4.0.3 ^⋆

Montrer que la fonctionf définie sur^Rpar : f(x)=

Z_sin²x

0 arcsinp tdt+

Z_cos²x

0 arccosp tdt est constante et calculer sa valeur.

Exercice 4.0.4 ⋆ CCP MP

On considère la fonctionHdéfinie sur]1;+∞[parH(x)= Zx²

x d t lnt. 1. Montrer queHestC¹sur]1;+∞[et calculer sa dérivée.

2. Montrer que la fonctionu définie paru(x)= 1 lnx− 1

x−1 admet une limite finie en x=1.

3. En utilisant la fonctionude la question 2., calculer la limite en1⁺de la fonctionH.

4.0.2 Intégrales généralisées

Exercice 4.0.5 ^⋆ En revenant à la définition

Étudier en revenant à la définition la convergence des intégrales suivantes : 1. ^R_π^+∞³2i−_t¹2

´ e^{i t2}dt; 2. ^R₂^+∞_tln¹_tdt;

3. ^R₃^+∞_tlntln(ln¹ _t)dt; 4. ^R₋¹₁p¹

1−t²dt. Exercice 4.0.6 ⋆

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

1. ^R₀^{1 dt}

(1−t)p t

2. ^R₀^+∞ln(t)e^−tdt

3. ^R₀^{+∞ lnt}

t²+1dt 4. ^R₀^+∞ln(1+t)

t^3/2 dt

5. ^R_−∞^+∞ln(1+t2)

1+t² dt 6. ^R₀^+∞sin³

1 t²

´dt

Exercice 4.0.7 ⋆

Étudier la convergence des intégrales suivantes : 1. ^R₀^{+∞t e−pt}

1+t² dt, 2. ^R₀¹p^lnt

(1−t)³dt, 3. ^R₀^{+∞ dt}

e^t−1,

4. ^R₀^+∞e^−(lnt)2dt, 5. ^R₀^+∞e^−tarctantdt, 6. ^R₀^+∞³t+2−p

t²+4t+1´ dt.

7. ^Z1

0

ln(1−t²) pt(lnt)²dt

8. ^Z+∞

0

argsh(t) sh(t) dt.

Exercice 4.0.8 ^⋆

Étudier la convergence des intégrales impropres suivantes : 1. ^R₀^{1 dt}

t^α−t^β avec0<α<β; 2. ^R₁^{+∞ dt}

t^α+t^β avecαÉβ; 3. ^R₀^{+∞ ln2t}

(1+t²)^αdtavecα∈R.

4. ^R₀^1tα−1

lnt dtavecα∈R; 5. ^R₀^{+∞ln(1+tα)}

t² dtavecα∈R; 6. ^R₀^{+∞arctan(at)−arctan(bt)}

t^α dt avec

α∈R. Exercice 4.0.9 ⋆

Étudier la convergence des intégrales impropres suivantes : 1. ^R₀^+∞¡(t+1)^1/3−t^1/3¢^pt

dt; 2. ^R₀^+∞³¡t³+3at+3b¢1/3´

+

t²ln µ t

t+1

¶

dt; 3. ^R₁^+∞t^αsin²tdt, α ∈ R.

Exercice 4.0.10 ⋆ Étudier l’intégrabilité de :

1. f :t7→e^−t2surI=[0,+∞[, 2. f :t7→_et^t

−1surI=]0,+∞[, 3. f :t7→^cos(mt)_a2

+t² surI=[0,+∞[(a6=0), 4. f :t7→₁₋^p1_1−t surI=]0,1],

5. f :t7→_t^e2^iωt

+1surI=R, 6. f :t7→ln

µ1+t³ 1+t⁴

¶

surI=]−1,+∞[.

Exercice 4.0.11 ⋆ Étudier l’intégrabilité de :

1. f :t7→_lnt^t surI=]1,+∞[, 2. f :t7→₁^ln₊^k_t^t2 surI=]0,+∞[, 3. f :t7→_et ¹

+t²e^−t surI=R,

4. f :t7→_t(1−^lntt²)surI=]1,+∞[, 5. f :t7→^esint_t surI=[1,+∞[, 6. f :t7→₁₊^e−t_t2 surI=[0,+∞] Exercice 4.0.12 ⋆

Étudier l’intégrabilité des fonctions suivantes sur l’intervalle spécifié : 1. f(t)=lnt

t² surI=[1,+∞[; 2. f(t)= 1

ptlnt surI=[2,+∞[; 3. f(t)= −lnt

pt surI=]0,1];

4. f(t)=t²e^−t2surI=[1,+∞[; 5. f(t)=ln(1−t²)

pt(lnt)² surI=]0,1[; 6. f(t)=argsh(t)

sh(t) surI=]0,+∞[.

Exercice 4.0.13 ^⋆

Déterminez l’intégrabilité des fonctions suivantes sur l’intervalle spécifié : 1. f(t)= 1

psint surI=]0,π/2]; 2. f(t)=⌊t⌋

t³ surI=[1,+∞[; 3. f(t)=e^−t2surI=[0,+∞[;

4. f(t)= 1

p1−t² surI=]−1,1[; 5. f(t) = sin(1/t²)arctan(t²) sur I =

[1,+∞[; 6. f(t)= − tan(p

t) ln(cos(p

t))surI=]0,1]. Exercice 4.0.14 ^⋆

Étudier l’intégrabilité de : 1. f :t7→sin(t)

t² sur[1,+∞[.

2. f :t7→P(t)e^−tsur[0,+∞[oùPest un polynôme.

3. f :t7→ f(t)

p1−t² surI=]−1,1[où f : [−1,1]7→Rune fonction continue.

4. f(t)= 1

p1−t² surI=]−1,1[; 5. f(t) = sin(1/t²)arctan(t²) sur I =

[1,+∞[; 6. f(t)= − tan(p

t) ln(cos(p

t))surI=]0,1]. Exercice 4.0.15 ⋆

Étudier l’intégrabilité des fonctions suivantes sur l’intervalle spécifié : 1. f(t)=^sin(1/t)p_t surI=[1,+∞[;

2. f(t)= 1

tant sur]0,π/2[; 3. f(t)=lnt

t² surI=[1,+∞[;

4. f(t)= 1

ptlnt surI=[2,+∞[; 5. f(t)= −lnt

pt surI=]0,1]; 6. f(t)=t²e^−t2 surI=[1,+∞[. Exercice 4.0.16 ⋆ Intégrales de Bertrand

exo_int_de_Bertrand

Soit(α,β)∈R².

1. Montrer que la fonctionf :t7→ 1

t^α(lnt)^β est intégrable sur[2,+∞[si et seulement si α>1ou alorsα=1etβ>1.

2. Montrer que la fonction f :t7→ 1

t^α|lnt|^β est intégrable sur[0,1/2[si et seulement si α<1ou alorsα=1etβ>1.

Exercice 4.0.17 ⋆ exo_int_impropre_de_moinsx_a_x

1. L’intégrale^R_−∞^{+∞ 1+x}

1+x²dxest-elle convergente ? 2. Calculer lim

x→+∞

Z_x

−x 1+u

1+u²du. Comment expliquer ce résultat ?

3. Calculer lim

x→+∞

Z_2x

−x 1+u 1+u²du. Exercice 4.0.18 ^⋆ Montrer que l’intégrale^Z+∞

1 sin(t²) dtconverge.

Exercice 4.0.19 ⋆ CCP MP N.B : les deux questions sont indépendantes.

1. La fonctionx7−→ e^−x

px²−4 est-elle intégrable sur]2,+∞[? 2. Soitaun réel strictement positif.

La fonctionx7−→ lnx

p1+x^2a est-elle intégrable sur]0,+∞[? Exercice 4.0.20 ^⋆ Centrale PC 2011

1. On considère la fonction f :

( ]0,+∞[ −→ R

x 7−→ sinx

x+sinx .

La fonctionf est-elle intégrale sur^R∗₊? 2. L’intégrale^R₀^{+∞ x}

x+sinxdxest-elle convergente ? Exercice 4.0.21 ⋆⋆⋆ X PC 2007 Montrer l’intégrabilité sur^R₊def :x7→ x

1+x⁹sin²(x). Exercice 4.0.22 ^⋆⋆

1. adésigne un réel strictement supérieur à−1. En posantx=tant, montrer Z_π/2

0

dt

1+asin²(t)= ^π

2p 1+a

2. Donner en fonction deα>0, la nature de la série XZπ

0

dt 1+(nπ)^αsin²(t)

3. Même question pour

X Z_(n+1)π

nπ

dt 1+t^αsin²(t)

4. Donner la nature de l’intégrale

Z_+∞

0

dt 1+t^αsin²(t)

Exercice 4.0.23 ⋆⋆

La fonctionx7→Rx

0 sin(e^t) dtadmet-elle une limite en_+∞?

4.0.3 Calculs d’intégrales

Calculer les intégrales suivantes après avoir justifié leur convergence :

1. ^R₀^+∞arctant

1+t² dt, 2. ^R₁^+∞ln_tn^tdt, 3. ^R₀¹p ¹

t(1−t)dt,

4. ^R_−∞^{+∞ 1} (1+t²)²dt, 5. ^R₀^+∞t e^−ptdt, 6. ^R₀^{+∞ t3lnt}

(1+t⁴)²dt.

Pour cette dernière intégrale, on pourra couper l’intégrale en deux intégrales sur]0,1]et [1,+∞[puis faire le change- ment de variablet→1/t. Exercice 4.0.25 ⋆

Calculer les intégrales suivantes :

1. ^R₀^+∞_(t+1)(t^dt₊₂₎, 2. ^R₀^+∞_(et ^dt

+1)(e^−t+1) ,

3. ^R₀^+∞ln³ 1+_t¹2

´dt, 4. ^R₀^+∞e^−ptdt, 5. ^R₀^+∞₍₁^lnt

+t)²dt Exercice 4.0.26 ⋆

Calculer les intégrales suivantes :

1. ^R₀^+∞ep^−pt t dt,

2. ^R₀^π/2sinxln(sinx)dx,

3. ^R₀¹p^lnt 1−tdt, 4. ^R₀^{+∞ dx}

(x+1)p³ x,

5. ^R₀^+∞p_x(1^1+x−1

+x) dx, 6. ^R₀^+∞(1+_x(1^x)1/3−1

+x)^2/3 dx, Exercice 4.0.27 ^⋆

1. Établir

I= Z_+∞

0 dx x³+1=

Z_+∞

0 x x³+1dx 2. En déduire la valeur deI.

Exercice 4.0.28 ⋆

1. À quelle condition surα∈Rl’intégraleI(α)=R_+∞

0 arctanx

x^α dxest-elle convergente ? 2. CalculerI(3/2)en admettant que^R₀^+∞₁¹

+t⁴dt=₂^pπ₂. Exercice 4.0.29 ^⋆ Intégrales d’Euler On pose

I= Z_π/2

0 ln(sint)dtetJ= Z_π/2

0 ln(cost)dt 1. Montrer que les intégralesIetJsont bien définies et égales.

2. CalculerI+Jet en déduire les valeurs deIetJ. Exercice 4.0.30 ⋆ CCP PC

Montrer que l’intégrale suivante est convergente et la calculer : Z_+∞

0 ln³ 1+ ¹

t²

´dt.

Exercice 4.0.31 ⋆ 2 Nature et calcul de l’intégrale

Z_+∞

0

dt t³+1. Exercice 4.0.32 ⋆

Justifier l’existence et calculer l’intégrale généralisée : I=

Z_+∞

1

arctan(t) t² dt Exercice 4.0.33 ⋆ Classique

exo:2004:Sep:Wed:18:18:28

On considère l’intégrale :

I= Z_+∞

0

dt t⁴+1 1. Justifier l’existence deI.

2. Factoriser dans^R[X]le polynômeX⁴+1. 3. Montrer queI=

Z_+∞

0

t² t⁴+1dt. d. En développant^Z+∞

0

t²−p 2t+1

t⁴+1 dt, calculerI. Exercice 4.0.34 ⋆

exo:2004:Sep:Tue:18:52:59

Existence et calcul deI= Z₁

0

ln(1−x²) x² dx. Exercice 4.0.35 ^⋆

On considère la fonction f :







R₊ −→ R

t 7−→ 1

p1+t³|sint|

.

1. Étudier la nature de la série de terme généralun=R_(n+1)π

nπ f(t)dt; 2. En déduire la nature de l’intégraleI=R_+∞

0 f(t)dt. Exercice 4.0.36 ⋆⋆⋆

Prouver la convergence de^R₀¹x¥₁

x

¦dxpuis calculer cette intégrale.

Exercice 4.0.37 ⋆⋆⋆ Centrale PC

Soit f[0,1[→Rdéfinie à partir du développement décimal propre : f : 0,a0a1a2a3a4...7→0,a1a0a2a3a4...

1. Étudier la continuité def. 2. Calculer^R₀¹f(t)dt.

Exercice 4.0.38 ^⋆⋆⋆ Centrale PC 2016

Soientaetbdeux fonctions définies et continues sur^R₊à valeurs dans^R₊. Montrer que les solutions de l’équation différentielle(ε) :y^′−a y=bsont bornées si et seulement siaetbsont intégrables sur^R₊.

Exercice 4.0.39 ^⋆⋆⋆ X PC 2011 Calculer

Z_+∞

0

e^−ax−e^−bx

x dx

poura,b∈R∗

+après avoir justifié sa convergence.

Exercice 4.0.40 ⋆⋆⋆ X MP

Soient(a,b)∈R²aveca<bet f ∈C⁰(R,R)admettant une limite finieℓen−∞et telle que R_+∞

0 f existe.

Justifier l’existence, puis calculer : Z_+∞

−∞

¡f(a+x)−f(b+x)¢ dx

Exercice 4.0.41 ^⋆⋆

Soitf : ]0,1]→Rcontinue, décroissante et positive. On pose pourn∈N∗

S_n=¹

n

Xn k=1

f³_k

n

´.

Montrer que f est intégrable sur]0,1]si, et seulement si, la suite(Sn)est convergente et que

si tel est le cas _Z

]0,1]f(t) dt= lim

n→+∞Sn. Exercice 4.0.42 ⋆⋆⋆

Poura>0, calculer

I(a)= Z_+∞

0 (t− ⌊t⌋)e^−atdt.

Exercice 4.0.43 ⋆⋆⋆

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue telle que l’intégrale suivante converge : Z_+∞

1 f(t)

t dt.

On se donne deux réels0<a<b. 1. Établir que pour toutx>0

Z_+∞

x

f(at)−f(bt)

t dt=

Z_bx

ax f(t)

t dt.

2. En déduire convergence et valeur de Z_+∞

0

f(at)−f(bt)

t dt.

4.0.4 Comportement asymptotique et intégrabilité

Soit f : [0,+∞[→Rune fonction continue par morceaux. On suppose que f est intégrable.

Montrer

Zx+1 x

f(t) dt−−−−−→_x

→+∞ 0 Exercice 4.0.45 ⋆⋆

Soitf : [0,+∞[→Rde classe^C1.

On suppose quef²etf^′2sont intégrables sur[0,+∞[. Déterminer la limite def en_+∞. Exercice 4.0.46 ⋆⋆⋆ CCP MP

Soitf de classe^C2sur[0,+∞[telle quef^′′est intégrable sur[0,+∞[et telle que l’intégrale R_+∞

0 f(t) dtsoit convergente.

1. Montrer que :

x→+∞lim f^′(x)=0 et lim

x→+∞f(x)=0 2. Étudier les séries :

Xf(n) et ^Xf^′(n) Exercice 4.0.47 ⋆⋆ Centrale PC

Soitf ∈C²([0,+∞[ ,R). On suppose quef etf^′′sont intégrables sur[0,+∞[. 1. Montrer quef^′(x)→0quandx→ +∞.

2. Montrer quef.f^′est intégrable.

Exercice 4.0.48 ^⋆⋆⋆ ENS CACHAN PC Trouver un équivalent en_+∞de

f(λ)= Z₁

0 e^iλx2dx.

4.0.5 Suites d’intégrales (propres ou) impropres

Étudier les limites des suites définies par les intégrales suivantes : In=

Z₁

0

xⁿ 1+x²dx

Jn= Z₁

0 xⁿarctan(1−nx) dx

Exercice 4.0.50 ^⋆ Déterminer

x→+∞lim Z_x²

x

lnt 1+t⁴dt

alim→0

Z₁

0 x²p

1+a²x²dx

Exercice 4.0.51 ^⋆

Soit une fonctionf : [0,1]7→Rcontinue. Étudier la limite de la suite de terme général : I_n=

Z1 0 f¡x

n

¢dx.

Exercice 4.0.52 ⋆

Déterminer un équivalent lorsquex→0de la fonction définie par : F(x)=

Zx² x

e^t t dt.

Exercice 4.0.53 ⋆ exo:2004:Sep:Fri:17:47:47

Existence et calcul pourn∈N^⋆deIn= Z_+∞

0

dt (t²+1)ⁿ. Exercice 4.0.54 ⋆

On pose

J_n= Z_+∞

0

dx (1+x³)ⁿ⁺¹

1. Montrer que pour toutn∈N,J_n converge.

2. CalculerJ₀.

3. Former une relation de récurrence engageantJnetJn+1. 4. Établir qu’il existeA>0tel que

J_n∼ _p3^A

n

Exercice 4.0.55 ⋆ CCP PC, calcul de l’intégrale de Gauss^R₀^+∞e^−t2dt 1. Montrer que

∀x∈R, e^xÊ1+x.

En déduire

∀t∈R, 1−t²Ée^−t2É 1 1+t².

2. Soitn∈N∗. Établir l’existence des intégrales suivantes I=

Z_+∞

0 e^−t2dt, I_n= Z₁

0 (1−t²)ⁿdt et J_n= Z_+∞

0

1

¡1+t²¢ndt puis établir

InÉ I pnÉJn. 3. On pose

W_n= Zπ/2

0 cosⁿxdx.

Établir

I_n=W_2n+1 et J_n+1=W_2n. 4. Trouver une relation de récurrence entreWnetWn+2.

En déduire la constance de la suite de terme généralun=(n+1)W_nW_n+1. 5. Donner un équivalent deWnet en déduire la valeur deI.

Exercice 4.0.56 ⋆ Calcul de l’intégrale de Dirichlet^R₀^+∞sinx_x dx 1. Soitf : [a,b]→Rde classe^C1. Déterminerlimn→+∞

R_b

a f(t)sin(nt)dt. 2. Montrer que la fonctiong: [0,π/2]→Rdéfinie par

g(x)= ( ₁

sinx−_x¹ si0<xÉπ/2

0 sinon

est de classe^C1. 3. Justifier queIn=R_π/2

0 sin(2n+1)t

sint dtest convergente puis montrer que(In)est constante.

4. En déduire la valeur de^R₀^+∞sinx_x dx. Exercice 4.0.57 ^⋆

Pour toutn∈N, on noteI_n=R_+∞

0 e^−xsin²ⁿxdx.

1. Montrer que pour toutn∈N, l’intégraleIn est convergente.

2. CalculerInpour toutn∈N. 3. SoitAn=

Yn k=1

³1− ¹

2k

´. Montrer que pour toutn∈N∗, on a0<In<An. 4. Étudier la limite de(An)et en déduire celle de(In).

Exercice 4.0.58 ^⋆ On considère l’intégrale^R₀^{1 lnx}

1+x²dx.

1. Montrer que cette intégrale est convergente. On noteIsa valeur.

2. Montrer que, pour toutn∈N, l’intégraleI_n=R₁

0x²ⁿlnxdxest convergente et la calcu- ler.

3. Justifier que l’on a :

∀n∈N^∗, ∀x∈[0,1] , 1 1+x²=

n

X

k=0

(−1)^kx^2k+(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺² 1+x² .

4. Déduire des questions précédentes queI=^+∞X

k=0

(−1)^k+1 (2k+1)². Exercice 4.0.59 ⋆⋆ TPE 2009

Pour toutn∈N^∗, on poseI_n=R_+∞

0 arctan(npx(n++x)x)dx. 1. Montrer queInest bien définie.

2. Étudier la convergence de(I_n)_n∈N. 3. Calculer^R₀^+∞px(n^dx+x).

4. En déduire par encadrement un équivalent deIn. Exercice 4.0.60 ^⋆⋆ TPE 2011 Pour toutn∈N∗etx∈R∗, on pose :

I_n(x)= Z_+∞

0

dt

¡t²+x²¢n.

1. Prouver que pour tout(n;x)∈N∗×R∗,In(x)est bien définie.

2. Montrer que pour toutn∈N^∗,I_nest dérivable sur^R₊et calculer sa dérivée.

3. En déduire^R₀^{+∞ dt} (^t2+1)³.

Exercice 4.0.61 ⋆ CCP 2016 Premier exercice :

SoitPun polynôme de^R5[X]. On poseI(P)=R₁

−1

pP(x) 1−x²dx.

1. Donner une primitive dex7→ 1

p1−x² sur]−1,1[. En déduire l’existence deI(1)et le calculer.

2. (a) Soitk entier entre0et5. Justifier queI(X^k)converge absolument (b) Justifier l’intégrabilité dex7→ P(x)

p1−x². 3. On suppose qu’il existe trois réelsa,b,ctels que

I(P)=aP µ

−

p3 2

¶

+bP(0)+cP µp

3 2

¶ .

(a) CalculerI(X). En déduire deux relations entrea,betc. (b) Montrer queI(X²)=^π₂ et déterminera,betc.

4. Soitn∈ ‚2,5ƒ. Montrer queI(Xⁿ)=n−1

n I(Xⁿ⁻²). 5. Conclure.

Exercice 4.0.62 ^⋆⋆ CCP MP On pose

In= Z_+∞

0 dx

1+xⁿ pourn∈N, nÊ2.

1. Déterminer une suite de fonctions(f_n)telle que In=

Z₁

0 fn(t) dt.

2. Déterminer deux réelsaetbtels que I_n=a+^b

n+ o

n→+∞

³₁

n

´.

Exercice 4.0.63 ^⋆⋆⋆ Centrale MP

1. Soitf ∈C¹([a,b],R). Déterminer les limites des suites

³Zb

a f(t)sin(nt) dt´

n∈N et ^³ Zb

a f(t)cos(nt) dt´

n∈N. 2. Calculer, pourn∈N∗,

Z_π/2

0

sin(2nt)cost sint dt (on procédera par récurrence)

3. En déduire

Z_+∞

0 sint

t dt.

4. Étudier la limite puis un équivalent de

³Z_π/2

0 ln(2sin(t/2))cos(nt) dt´

n∈N.

4.0.6 Intégration et structure euclidienne

Exercice 4.0.64 ⋆ Convergence en moyenne quadratique

Soit E l’espace vectoriel des fonctions réelles continues de carré intégrable sur I. On note

¡f |g¢

=R

If gle produit scalaire usuel surEet_k.k2la norme associée à ce produit scalaire. On dit qu’une suite(f_n)de fonctions deEconverge en moyenne quadratiquevers une fonction f deEsi et seulement siN₂(f_n−f)−−−−−→

n→+∞ 0. 1. Prouver les inégalités

∀(f,g)∈E²,¯

¯

¡f |g¢¯

¯É Z

I

¯

¯f g¯

¯ÉN₂(f)N₂(g)..

2. En déduire que si (fn) et (gn) sont deux suites de fonctions de E convergeant en moyenne quadratique versf etgalors(¡

fn|gn¢

)−−−−−→_n

→+∞

¡f |g¢ . Exercice 4.0.65 ⋆

On considèreEl’espace vectoriel des fonctions réelles continues de carré intégrable sur^R. On note^¡f |g¢

=R

Rf gle produit scalaire usuel surE. Montrer que le sous-espace^P des fonctions paires de carré intégrables sur^Ret le sous-espace^I des fonctions impaires de carré intégrable sur^Rsont supplémentaires orthogonaux.

Exercice 4.0.66 ⋆ On rappelle l’intégrale de Gauss :

Z_∞

−∞e^−t2dt=p π.

1. Montrer que l’intégraleIn=^p1_2πR_+∞

−∞tⁿe^−t

2

2 dtconverge.

2. Que vautI_2p+1?

3. Trouver une relation de récurrence entreI_2p+2etI_2pet finir le calcul desI_p en admet- tant queI₀=1.

4. Soit

ϕ:

( R_n[X]×R_n[X] −→ R (P,Q) 7−→ ^p1_2πR_+∞

−∞P(t)Q(t)e^−t

2 2 dt . Montrer queϕest un produit scalaire.

5. Construire une base orthonormée de ^R2[X]pour ce produit scalaire en appliquant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à(1,X,X²).

Exercice 4.0.67 ⋆ CCP MP Soitaetbdeux réels tels quea<b.

1. Soithune fonction continue et positive de[a,b]dans^R. Démontrer que

Z_b

a

h(x)dx=0=⇒h=0.