Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme.

(1)

Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme.

Exemples

Dans toute ce chapitre, nous allons nous intéresser aux fonctions 2π-périodiques. Notons que si une fonction f est T-périodique (avec T > 0), on se ramène à une fonction 2π-périodique en définissant une fonction g par :g(x) =f

T 2πx

.

1 L’espace pr´ ehilbertien D

Notation 1.1

On note Dl’ensemble des applications f définies sur R, à valeurs dans C,2π-périodiques, continues par morceaux, vérifiant :

∀x∈R, f(x) = f(x⁺) +f(x⁻)

2 ,

f(x⁺)désignant la limite à droite enxet f(x⁻)désignant la limite à gauche enx.

Proposition 1.2

(i) Dest unC-espace vectoriel ;

(ii) L’applicationh. , .id´efinie surD², `a valeurs dansCpar

∀f, g∈ D,hf, gi= 1 2π

Z 2π

0

f(t)g(t)dt

est un produit scalaire surD(on notek.k2 la norme associ´ee).

D´efinition 1.3

Soitf ∈ D. On appelle coefficients de Fourierdef les nombres complexes d´efinis par : (i) ∀n∈Z, cn(f) =hen, fi= 1

2π Z 2π

0

f(t) e⁻ⁱ^ntdt; (ii) ∀n∈N, an(f) =cn(f) +c_−n(f) = 1

π Z 2π

0

f(t) cos(nt)dt; (iii) ∀n∈N, bn(f) = i(cn(f)−c−n(f)) = 1

π Z 2π

0

f(t) sin(nt)dt.

Remarque 1.4

Sif est paire, alors pour toutn∈N^∗,bn(f) = 0. Sif est impaire, alors pour toutn∈N,an(f) = 0. En effet, sif est paire, alors pour toutn∈N^∗,b_n(f) = 1

π Z π

−π

f(t) sin(nt)dt.t7→f(t) sin(nt)´etant impaire, on abn(f) = 0. Mˆeme raisonnement sif est impaire.

(2)

Séries de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples

D´efinition 1.5

Sif ∈ D, on appelle série de Fourierassociée àf la série de fonction définie pourx∈Rpar c0(f) + X

n∈N^∗

(cn(f) eⁱ^nx+c−n(f) e⁻ⁱ^nx) = a₀(f)

2 + X

n∈N^∗

(an(f) cos(nx) +bn(f) sin(nx)).

Notation 1.6

Pour tout k ∈Z, on noteek l’élément de D défini pour tout t ∈R parek(t) = eⁱ^kt. Si n∈N, on note Pn= Vect{ek,−n6k6n}.

Proposition 1.7

(i) (ek)_k∈_Zest une famille orthonorm´ee ;

(ii) Pour toutn ∈N, D=Pn⊕ P_n^⊥ et si p_n d´esigne la projection orthogonale surPn, on a, pour tout f ∈ D:p_n(f) =

n

X

k=−n

c_k(f)e_k;

(iii) ∀f ∈ D,∀n∈N,kf−pn(f)k2= inf

g∈Pn

kf−gk2; (iv) Pour toutf ∈ D,X

n>1

|cn(f)|² et X

n>1

|c_−n(f)|² convergent et

|c0(f)|²+

+∞

X

n=1

(|cn(f)|²+|c−n(f)|²)6 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt.

2 Convergences

D´efinition 2.1

(i) On appelle noyau deDirichletla suite (Dn)n∈Nd´efinie par :

∀n∈N,∀x∈R, D_n(x) =

n

X

k=−n

eⁱ^kx.

(ii) On appelle noyau deF´ejerla suite(K_n)_n∈_N^∗ d´efinie par :

∀n∈N^∗,∀x∈R, K_n(x) = 1 n

n−1

X

k=0

D_k(x).

S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr 2/4

(3)

Proposition 2.2

(i) Pour toutn∈N,Dn et Kn sont paires ; (ii)

∀n∈N, 1 2π

Z 2π

0

Dn(x)dx= 1et∀n∈N^∗, 1 2π

Z 2π

0

Kn(x)dx= 1;

(iii)

∀n∈N,∀x∈R\2πZ, Dn(x) =sin (2n+ 1)^x₂ sin ^x₂ ; (iv)

∀n∈N^∗,∀x∈R\2πZ, Kn(x) = sin² n^x₂ nsin² ^x₂.

Th´eor`eme 2.3 (de Dirichlet)

Soitf ∈ D. Sif est de classeC¹par morceaux surR, alors la s´erie deFourierdef converge simplement surRet a pour sommef :

∀x∈R, c0(f) +

+∞

X

n=1

(cn(f) eⁱ^nx+c−n(f) e⁻ⁱ^nx) =f(x) = 1

2(f(x⁺) +f(x⁻))

∀x∈R, a0(f)

2 +

+∞

X

n=1

(an(f) cos(nx) +bn(f) sin(nx)) =f(x) = 1

2(f(x⁺) +f(x⁻))

Th´eor`eme 2.4 (de Parseval)

Pour toutf ∈ D,kf−p_n(f)k2−−−−−→

n→+∞ 0. Autrement dit :

∀f ∈ D, |c₀(f)|²+

+∞

X

n=1

(|c_n(f)|²+|c_−n(f)|²) = 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt

∀f ∈ D, a0(f)² 4 +1

2

+∞

X

n=1

(a_n(f)²+b_n(f)²) = 1 2π

Z 2π

0

|f(t)|²dt.

Th´eor`eme 2.5

Soit f ∈ D, continue et de classe C¹ par morceaux sur R. Alors la s´erie de Fourier de f converge normalement surRet a pour sommef.

3 Exemples

3.1 Calcul de sommes

Exemple 3.1

+∞

X

n=1

1 n² =π²

6 ;

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² =π² 8 ;

+∞

X

n=1

1 n⁴ =π⁴

90 ;

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)⁴ =π⁴ 96

(4)

3.2 In´ egalit´ e de Wirtinger

Th´eor`eme 3.2

Soitf une application2π-p´eriodique, continue, de classeC¹par morceaux surRtelle que Z 2π

0

f(t)dt= 0.

Alors

Z 2π

0

|f(t)|²dt6 Z 2π

0

|f⁰(t)|²dt.

Il y a ´egalit´e si et seulement si f :t7→αeⁱ^t+βe⁻ⁱ^t, avecα, β∈C.

3.3 In´ egalit´ e isop´ erim´ etrique

Proposition 3.3

SoitΓ un arc paramétré fermé de classeC¹dans le plan euclidien, paramétré par une abscisse curviligne s, sdécrivant [0 ;L], L désignant la longueur de la courbe. Pour tout s ∈[0 ;L], x(s)et y(s) désignent les coordonnées dans un repère orthonormal du pointM(s) de paramètres, tel que

Z L

0

x(s)ds= 0. On

rappelle que l’aire du plan délimité parΓ est donnée par A= Z L

0

x(s)y⁰(s)ds. Alors 4πA6L² et on a

´egalit´e si et seulement si Γest un cercle.