SP ´ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´E • On d´esigne par C l’espace des fonctions continues 2π-p´eriodiques `a valeurs complexes. Si f appartient `a C, on note kf k = sup

SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´ E

• On d´esigne par C l’espace des fonctions continues 2π-p´eriodiques `a valeurs complexes.

Si f appartient `a C , on note kf k = sup

|t| 6 π

|f(t)|, kf k 1 = 1 2π

Z +π

−π

|f(t)| dt et, si 0 < α < π, on pose

I α = [−α, α] et kf k I

= sup

t∈I

|f (t)|.

Un sous-espace E de C est dit associ´e `a α ∈]0, π[ s’il existe un r´eel positif M (d´ependant de E et α) tel que

∀f ∈ E , kfk ⁶ Mkf k I

.

• Si f est un ´el´ement de C, on note f b la fonction de Z dans C d´efinie par

∀n ∈ Z , f b (n) = 1 2π

Z +π

−π

f(t)e ^−int dt et on pose

σ(f ) = {n ∈ Z | f(n) b 6= 0}

P = {f ∈ C | σ(f ) fini } et, pour toute partie A de Z ,

C A = {f ∈ C|σ(f ) ⊂ A} et P A = C A ∩ P.

• Si f et g appartiennent `a C , on pose

∀x ∈ R , f ∗ g(x) = 1 2π

Z +π

−π

f (x − t)g(t) dt.

• Pour tout k de Z , on d´esigne par e k la fonction e k (t) = e ^ikt .

Partie I

I.1. Montrer que, pour f et g dans C,

f ∗ g ∈ C , f ∗ g = g ∗ f, f [ ∗ g = f . b b g.

Montrer que

∀f ∈ C , ∀k ∈ Z , f ∗ e k = f b (k)e k . I.2. Caract´eriser l’ensemble P.

I.3. Montrer que

∀A ⊂ Z , P A ⊂ C A

(o` u l’adh´erence est relative `a la norme k.k sur C).

On admettra pour la suite qu’il y a ´egalit´e de ces deux ensembles.

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2 SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´ E

I.4. Montrer que, si f appartient `a C et P appartient `a P ,

∀λ ∈ Z , f P c (λ) = X

n∈Z

f(λ b − n) P b (n) = X

n∈Z

f(n) b P b (λ − n) o` u les sommes sont, en fait, des sommes finies.

(On regardera d’abord le cas o` u P = e k ).

Dans toute la suite du probl` eme, on d´ esigne par Λ une partie de Z de la forme Λ = {λ k , k ∈ N ^∗ } avec ∀k ∈ N ^∗ , λ k ∈ N ^∗ et λ k+1

λ k

> 3.

Partie II

II.1. Montrer que, si m appartient `a N <sup>∗</sup> et si, pour tout k de N <sup>∗</sup> inf´erieur ou ´egal `a m, ε k est un ´el´ement de Z avec |ε k | ⁶ 2,

X m

k=1

ε k λ k = 0 ⇒ ∀k, ε k = 0 (on montrera tout d’abord que ε m = 0).

En d´eduire que, si m ∈ N ^∗ , un ´el´ement n de Z s’´ecrit au plus d’une fa¸con sous la forme n =

X m

k=1

ε k λ k

avec, pour tout k, ε k dans {−1, 0, +1}.

On fixe, dans toute la suite de cette partie,

m ∈ N ^∗ , δ ∈]0, 1[, ϕ = (ϕ 1 , . . . , ϕ m ) ∈ R ^m , ε ∈]0, π[

et on pose

∀t ∈ R , S(t) = 2 δ

Y m

k=1

[1 + δ cos(λ k t + ϕ k )].

On d´esigne par a l’unique ´el´ement de C v´erifiant

∀t ∈ R , a(t) = a(−t), ∀t ∈ [0, ε], a(t) = 2π ε

1 − 1

ε t

, ∀t ∈ [ε, π], a(t) = 0.

II.2. a. Montrer que S appartient `a P et calculer S(n) pour tout b n de Z . (On distinguera suivant que n est de la forme

P m k=1

ε k λ k avec les ε k dans {−1, 0, +1} ou que n n’est pas de cette forme. Dans le premier cas, on exprimera S(n) en fonction de b ε k ).

b. Montrer que

∀1 ⁶ k ⁶ m, S(λ b k ) = e ^iϕ

, S(−λ b k ) = e ^−iϕ

et

| S(n)| b ⁶ δ

2 si n / ∈ {±λ k , 1 ⁶ k ⁶ m} ∪ {0}.

c. Montrer que kSk 1 = 2 δ .

II.3. a. Calculer b a(n) pour tout n de Z . b. Montrer que

X

n∈Z

b a(n) = 2π

ε .

SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´ E 3

c. Montrer que

∀N ∈ N ^∗ , X

|n|>N

b

a(n) ⁶ 8 Nε ² . II.4. On pose T = aS. Montrer que

∀N ∈ N ^∗ , ∀k ^> N + 1, | S(λ b k ) − T b (λ k )| ⁶ δπ

ε + 16 ε ² Nδ (on pourra d’abord prouver que, pour tout N dans N ^∗ ,

∀k ∈ N ^∗ , ∀n ∈ Z , k ^> N + 1 et 0 < |n| ⁶ N ⇒ λ k − n > 0 et λ k − n / ∈ Λ.) Partie III

On fixe, dans cette partie, ε appartenant `a ]0, π[.

III.1. Montrer qu’il existe un ´el´ement l de N ^∗ et un r´eel M tels que, pour tout entier m ^> l et pour tout ϕ de R ^m , il existe un ´el´ement T de C ayant les propri´et´es suivantes :

(i) La restriction de T `a [−π, π] est nulle hors de [−ε, ε]

(ii) ∀l ⁶ k ⁶ m, | T b (λ k ) − e ^iϕ

| ⁶ 1 (iii) kT k 1 6 M . 2

III.2. Soit m ^> l, on consid`ere un ´el´ement P de P de la forme : P =

X m

k=l

ζ k e ^−iϕ

e λ

avec ∀l ⁶ k ⁶ m, ζ k > 0 et ϕ k ∈ R . a. Montrer que

X m

k=l

ζ k 6 M kP k I

+ 1 2

X m

k=l

ζ k

(on pourra consid´erer P ∗ T (0)).

b. On pose : Λ ^′ = {λ k , k ^> l}.

Montrer que C Λ

est associ´e `a ε.

Partie IV

IV.1. Soit ε, η > 0 avec ε + η < π. On consid`ere une partie A de Z telle que C A soit associ´e `a ε.

a. On suppose qu’il existe un ´el´ement g de C A et un ´el´ement q de Z tels que :

∀t ∈ I ε+η , g(t) = e q (t).

On pose, pour |h| ⁶ η,

g h (t) = g(t + h) − e ^iqh g(t).

Montrer que g h appartient `a C A , puis que g h est identiquement nulle.

En consid´erant b g h , en d´eduire que q appartient `a A.

b. On consid`ere maintenant un entier q n’appartenant pas `a A.

Montrer qu’il existe un r´eel L (d´ependant de ε, η, q) tel que :

∀f ∈ C A , ∀z ∈ C , |z| ⁶ Lkf + ze q k I

(on pourra raisonner par l’absurde).

En d´eduire que C A∪{q} est associ´e `a ε + η.

IV.2. Montrer que, pour tout ε dans ]0, π[, C Λ est associ´e `a ε.