Ladécomposition M = D + N L2Mathématiques.Mathématiques:ALGEBRELINEAIREIICoursElisabethREMM

(1)

L2 Math´ematiques.

Math´ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours Elisabeth REMM

Chapitre 5

La d´ecomposition M = D + N

1. Sous-espaces caractéristiques d’un endomorphisme 1.1. Rappel: Décomposition associée à un endomorphisme diagonalisable.

Dans ce paragraphe, K désigne le corps des complexes ou le corps des réels. Soit E un K- espace vectoriel de dimension n et soit f ∈ End(E) un endomorphisme de E. Supposons que f soit diagonalisable. Ceci est équivalent à dire:

(1) f admet n valeurs propres distinctes ou confondues (condition toujours réalisée si K= C). Soient λ₁,· · · , λ_p les valeurs propres deux-à-deux distinctes de f et r₁,· · · , r_p leur multiplicité respective. Alorsr₁+· · ·+r_p =n.

(2) Soit Eλi l’espace propre de f associ´e `a la valeur propre λi. Alors dimE_λ_i =r_i.

Ces conditions sont ´equivalentes `a

Théorème 1. Soit f ∈ End(E) un endomorphisme de E. Alors f est diagonalisablesi et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées:

(1) f admet n valeurs propres distinctes ou confondues. Soient λ₁,· · ·, λ_p les valeurs propres deux-`a-deux distinctes de f.

(2) E =E_λ₁ ⊕E_λ₂ ⊕ · · · ⊕E_λ_p.

Cette d´ecomposition deE en somme directe des sous-espaces propres def signifie qu’il existe une base{v_λ₁_,1, v_λ₁_,2,· · · , v_λ₁_,r₁}deE_λ₁, une base{v_λ₂_,1, v_λ₂_,2,· · · , v_λ₂_,r₂} deE_λ₂,· · ·, une base {v_λ_p_,1, v_λ_p_,2,· · · , v_λ_p_,r_p} deE_λ_p telles que

{v_λ₁_,1,· · · , v_λ₁_,r₁, v_λ₂_,1,· · · , v_λ₂_,r₂,· · · , v_λ_p_,1,· · ·, v_λ_p_,r_p}

1

(2)

soit une base de E. De plus, la matrice de f relative `a cette base est la matrice diagonale







λ₁ · · · 0 0 · · · 0 · · · 0 ... . .. ... ... ... ... ... ... 0 · · · λ1 0 · · · 0 · · · 0 0 · · · 0 λ₂ · · · 0 · · · 0 ... ... ... ... . .. ... ... ... 0 · · · 0 0 · · · λ₂ · · · 0 ... ... ... ... ... ... . .. ...

0 0 0 0 0 0 0 λ_p







Remarque: Cas o`u f n’est pas diagonalisable. Supposons que f admette n valeurs propres distinctes ou confondues et soitλ₁,· · · , λ_p l’ensemble des valeurs propres deux-`a-deux distinctes. Supposons aussi que ne soit pas diagonalisable. Ceci signifie qu’il existe au moins une valeur propre λ_k pour laquelle

dimE_λ_k < r_k

o`u r_k est la multiplicit´e de λ_k. Or on a vu que si λ_i 6=λ_j, alors E_λ_i\

E_λ_j ={0}

et plus g´en´eralement que la somme des sous-espacesE_λ₁⊕E_λ₂⊕ · · · ⊕E_λ_p est toujours directe.

Sous nos hypoth`eses, dire que f n’est pas diagonalisable signifie que F =E_λ₁ ⊕E_λ₂ ⊕ · · · ⊕E_λ_p

est un sous-espace propre deE.

1.2. Sous-espaces caract´eristiques d’un endomorphisme ayant n valeurs propres.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, K = C ou R. Soit f ∈ End(E) un endomorphisme deE. Supposons quef admette n valeurs propres distinctes ou confondues (condition toujours réalisée si K=C). Soient λ₁,· · · , λ_p les valeurs propres deux-à-deux distinctes de f etr₁,· · · , r_p leur multiplicité respective. Alorsr₁+· · ·+r_p =n. Le polynôme caractéristique def se décompose ainsi:

C_f(X) = (−1)ⁿ(X−λ₁)^r¹(X−λ₂)^r²· · ·(X−λ_p)^r^p.

Définition 1. On appelle sous-espace caractéristique de f attaché à la valeur propre λ_i (i= 1,· · · , p), le sous-espace vectoriel de E, noté C_λ_i(f) défini par:

C_λ_i(f) = ker(f−λ_iI_n)^rⁱ.

Exemple. Soit f l’endomorphisme de R³ ayant pour matrice relative `a la base canonique:

M =





1 −3 4 4 −7 8 6 −7 7





(3)

Son polynˆome caract´eristique est

C_f(X) = C_M(X) = −(X+ 1)²(X−3).

Les valeurs propres sont λ₁ = 3, racine simple et λ₂ = −1, racine double. Calculons les sous-espaces caract´eristiques.

C_λ₁(f) = ker(f −3I₃).

Comme la multiplicité est égale à 1, on a donc

C_λ₁(f) = E_λ₁.

Cet espace est de dimension 1, une base est donn´ee par {v₁ = (1,2,2)}. Concernant la valeur propreλ₂ =−1, on a

Cλ2(f) = ker(f +I3)² alors que le sous-espace propre est

E_λ₂(f) = ker(f +I₃).

On a dimEλ2(f) = 1, une base de ce sous-espace est donn´ee par {v1 = (1,2,1)}. On en d´eduit que

F =E_λ₁(f)⊕E_λ₂(f)

est de dimension 2 et {v₁, v₂}en est une base. D´eterminons C_λ₂(f).

(M+I₃)² =





16 −16 16 32 −32 32 32 −32 32



.

Ainsi le syst`eme

16x−16y+ 16z = 0 32x−32y+ 32z = 0 D’o`u

C_λ₂(f) = ker(f+I₃)² ={(x, y,−x+y), x, y∈R}.

Il est de dimension 2, la famille {v₂ = (1,0,−1), v₃ = (0,1,1)} en est une base. Comme {v₁, v₂, v₃} est une base de R³, on a:

R³ =C_λ₁(f)⊕ C_λ₂(f).

Remarque. Siv est un vecteur propre associé à la valeur propreλ, il vérifie (f−λI_n)(v) = 0 et donc aussi (f −λI_n)^k(v) = 0 pour tout entier k ≥1. Ainsi v ∈ C_λ(f) et donc

E_λ(f)⊂ C_λ(f).

Comme dimE_λ(f)≥1, on en d´eduit que dimC_λ(f)≥1.

(4)

2. Théoème spectral 2.1. Théorème spectral.

Th´eor`eme 2. Soient E un K-espace-vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E ayant n valeurs propres distinctes ou confondues. Soitλ₁,· · ·, λ_p les valeurs propres deux

`

a deux distinctes. Alors

E =C_λ₁(f)⊕ · · · ⊕ C_λ_p(f) où Cλi(f) est l’espace caractéristique attaché à la valeur propre λi. Démonstration. Par hypothèse le polynôme caractéristique s’écrit

C_f(X) = (−1)ⁿ(X−λ₁)^r¹· · ·(X−λ_p)^r^p

PosonsP_i(X) = (X−λ_i)^rⁱ etQ_i(X) = (X−λ₁)^r¹· · ·(X−λi−1)^rⁱ⁻¹(X−λ_i+1)^rⁱ⁺¹· · ·(X−λ_p)^r^p. Ainsi

C_f(X) = (−1)ⁿP_i(X)Q_i(X).

Comme λ_i 6= λ_j quand i 6= j, les polynômes Q_i(X) sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout il existe des polynômes h_i(X)∈K[X] tels que

h₁(X)Q₁(X) +· · ·+h_p(X)Q_p(X) = 1.

Consid´erons alors les endomorphismes suivants:







f_i =P_i(f), g_i =Q_i(f) l_i =h_i(f) Comme

h₁(X)Q₁(X) +· · ·+h_p(X)Q_p(X) = 1 on a

h₁(f)◦Q₁(f) +· · ·+h_p(f)◦Q_p(f) =I_n c’est-´a-dire

l1◦g1 +· · ·+lp◦gp =In. Ainsi pour tout veceurv ∈E on a

(l₁◦g₁+· · ·+l_p◦g_p)(v) = v.

Mais les endomorphismesf_i et g_i v´erifient

f_i◦g_i =C_f(f) = 0 d’après le théorème de Cayley-Hamilton. On en déduit

f_i◦g_i◦l_i = 0.

Mais fi◦gi ◦li = Pi(f)◦Qi(f)◦hi(f) = (PiQihi)(f). Comme le produit des polynˆomes est commutatif, (PiQihi)(f) = (PihiQi)(f) =fi◦li◦gi et donc

fi◦gi◦li =fi◦li◦gi = 0.

Ainsi pour tout v ∈E on a

(l_i◦g_i)(v)∈Ker(f_i) = C_λ_i.

(5)

Mais le vecteurv admet la d´ecomposition

v = (l₁◦g₁+· · ·+l_p◦g_p)(v).

On en d´eduit que

E =Cλ1(f) +· · ·+Cλp(f).

Montrons que cette décomposition est directe. Comme E est la somme des sous-espaces car- actéristiques, tout vecteur v de E se décompose sous la forme

v =v₁+v₂+· · ·+v_p

avec vi ∈ Cλi(f) , i = 1,· · · , k. Pour montrer que la somme des sous-espaces caract´eristiques est directe, il faut montrer que cette d´ecomposition est unique. Calculons g1(v). Comme

g₁ =Q₁(f) = (f −λ₂I_n)^r² ◦(f−λ₃I_n)^r³ ◦ · · · ◦(f−λ_pI_n)^r^p et comme les facteurs (f−λ_iI_n)^rⁱ commutent deux-`a-deux, on a

g₁(v_i) = 0, i6= 1.

En effet v_i ∈ C_λ_i(f) = ker(f−λ_iI_n)^rⁱ.Ainsi

g1(v) =g1(v1).

On en d´eduit

(l1◦g1)(v) = (l1◦g1)(v1).

Or, nous avons vu que pour tout vecteurv ∈E, on a (l₁◦g₁+· · ·+l_p◦g_p)(v) =v.En particulier (l₁◦g₁+· · ·+l_p◦g_p)(v₁) = v₁.Mais g_i(v₁) = 0 d`es que i6= 1. Ainsi

v₁ =l₁◦g₁+· · ·+l_p◦g_p)(v₁) = (l₁◦g₁)(v₁).

On obtient donc

v₁ = (l₁◦g₁)(v).

De mˆeme, nous aurons

v_i = (l_i◦g_i)(v), i= 1,· · · , p.

La décomposition v =v₁+v₂+· · ·+v_p est donc égale à v = (l₁◦g₁+· · ·+l_p◦g_p)(v) et cette décomposition est bien unique.

2.2. Dimension des sous-espaces caract´eristiques.

`

a deux distinctes de multiplicit´e respective r₁,· · ·, r_i. Alors dimC_λ_i(f) = r_i pour tout i= 1,· · · , p.

Démonstration. D’après la définition de l’endomorphisme fi on a Cλ(f) = Ker(fi). Comme f◦f_i =f_i◦f l’espace caractéristique C_λ(f) est invariant par f:

f(C_λ(f))⊂ C_λ(f).

(6)

La restriction fe_i de f a C_λ(f) est donc un endomorphisme de C_λ(f). Or le polynˆome caract´eristique C_f_e

i(X) divise C_f(X). Ainsi le polynˆome C_f_e

i(X) a toutes ses racines dans Kil est donc trigonalisable dans Cλi. Il existe donc une base de Cλi par rapport `a laquelle la matrice defe_i est du type







λ_i ? ? ? 0 λ_i ? ? ... ... . .. ...

0 0 · · · λ_i







En effet tous les éléments de la diagonale sont égaux à λ_i car (fe_i −λ_iI)^rⁱ = 0, par définition de l’espace caractéristiqueC_λ_i(f).Ainsi l’ordre de cette matrice, qui est la dimension deC_λ_i(f) est inférieure ou égale àr_i:

dimC_λ_i(f)≤r_i. Or, d’après le Théorème 5

r1+r2+· · ·+rp =n

dimCλ1(f) +· · ·+ dimCλp(f) = n.

Ainsi

dimC_λ_i(f) = r_i pouri= 1,· · · , p.

3. Un critère de diagonalisation donné par le polynôme minimal 3.1. Sous-espaces caractéristiques et polynôme minimal.

`

a deux distinctes. Alors si

m_f(X) = (X−λ₁)^s¹(X−λ₂)^s²· · ·(X−λ_p)^s^p

est le polynôme minimal de f, les sous-espaces caractéristiques attachés aux valeurs propres de f vérifient:

Cλi(f) = ker(f −λiIn)^sⁱ pour tout i= 1,· · · , p.

Démonstration. Soit Cf(X) le polynôme caractéristique de f:

C_f(X) = (−1)ⁿ(X−λ₁)^r¹(X−λ₂)^r²· · ·(X−λ_p)^r^p etC_λ_i(f) = ker(f−λ_iI_n)^rⁱ.Par hypothèse, le polynôme minimal de f s’écrit:

m_f(X) = (X−λ₁)^s¹(X−λ₂)^s²· · ·(X−λ_p)^s^p

et 1≤s_i ≤r_i pour tout i= 1,· · · , p.Montrons que C_λ_i(f) = ker(f−λ_iI_n)^sⁱ. La dmonstration se calque sur celle tablie au paragraphe pr´ec´edent. Notons D_λ_i le sous-espace ker(f −λ_iI_n)^sⁱ.

(7)

PosonsPei(X) = (X−λi)^sⁱ etQei(X) = (X−λ1)^s¹· · ·(X−λi−1)^sⁱ⁻¹(X−λi+1)^sⁱ⁺¹· · ·(X−λp)^s^p. Ainsi

m_f(X) = Pe_i(X)Qe_i(X).

Comme λi 6= λj quand i 6= j, les polynômes Qei(X) sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout il existe des polynômeseh_i(X)∈K[X] tels que

eh1(X)Qe1(X) +· · ·+ehp(X)Qep(X) = 1.

Consid´erons alors les endomorphismes suivants:







fe_i =Pe_i(f), eg_i =Qe_i(f) el_i =eh_i(f) Comme

eh₁(X)Qe₁(X) +· · ·+eh_p(X)Qe_p(X) = 1 on a

eh₁(f)◦Qe₁(f) +· · ·+eh_p(f)◦Qe_p(f) =I_n c’est-´a-dire

el₁◦eg₁ +· · ·+el_p◦eg_p =I_n. Ainsi pour tout veceurv ∈E on a

(el1◦eg1+· · ·+elp◦egp)(v) = v.

Posons

Π_i =el_i◦eg_i. L’identité précédente s’écrit alors

Π1 +· · ·+ Πp =In. Lemme 1. Les endomorphismes Π_j v´erifient

(1)











Π₁+· · ·+ Π_p =I_n, Πj ◦Πk= 0 si i6=j

Π_j ◦Π−j = Π−j,:j = 1,· · · , p.

Démonstration. On a déjà montré la première identité. Montrons la deuxième. Soient j et k deux indices distincts. On a







Π_j ◦Π_k =ej_i◦eg_j◦el_k◦eg_k

=egj ◦egk◦eji◦elk

En effet nous avons vu que tous les endomorphismes dfinis `a partir de polynˆomes, commutent.

Mais on vérifie facilement que eg_j ◦eg_k s’ćrit m_f(f)T(f) oùT(f) est un polynôme en f. Ainsi, commem_f(f) = 0, on a

Π_j◦Π_k = 0.

Montrons la troisi`eme identit´e. On a

Π_j = Π_j ◦I_n= Π_j◦(Π₁+· · ·+ Π_p) = Π_j◦Π₁+· · ·+ Π_j◦Π_p) = Π_j ◦Π_j.

(8)

D’o`u le lemme.

Lemme 2.

(2) ImΠi = ker(f−λiIn)^sⁱ

D´emonstration. Les endomorphismesfe_i et eg_i v´erifient

fe_i◦eg_i =eg_i◦fe_i =m_f(f) = 0 On en d´eduit

fe_i◦Π_i = Π_i◦fe_i =el_i◦eg_i◦fe_i = 0.

Ainsi

ImΠ_i⊂keref_i= ker(f−λ_iI_n)^sⁱ.

Inversement, soit v ∈ker(f −λ_iI_n)^sⁱ.. Si k est un indice diff´erent de i, alors eg_k(v) = 0, ∀k 6=i

car eg_k =Qe_k(f) et ce dernier polynˆome contient le facteur fe_i et que tous les facteurs de Q(fe ) commutent. Mais nous avons vu que







v = (el₁◦eg₁+· · ·+el_p◦eg_p)(v)

= (el_i◦eg_i(v)

= Π_i(v).

Ainsiv ∈ImΠi.

On d´eduit directement de ces deux lemmes que

E = ker(f −λ1In)^s¹ ⊕ · · · ⊕ker(f−λpIn)^s^p.

Comme chacun des sous-espaces ker(f −λ_iI_n)^sⁱ est un sous-espaces de C_λ_i(f), on en déduit que la décomposition précédente correspond à la décomposition spectrale, soit

ker(f−λ_iI_n)^sⁱ =C_λ_i(f).

D’où le théorème.

3.2. Crit`ere de diagonalisation et polynˆome minimal.

Théorème 5. Soient E un K-espace-vectoriel de dimensionn et f un endomorphisme de E ayant n valeurs propres distinctes ou confondues. Soit λ₁,· · · , λ_p les valeurs propres deux à deux distinctes. Alorsf est diagonalisable si et seulement si les racines du polynôme minimal de f sont simples, c’est-à-dire si et seulement si

mf(X) = (X−λ1)(X−λ2)· · ·(X−λp).

Démonstration. Supposons que les racines du polynôme minimal soient simples. D’après le Théorème 5, les sous-espaces caractéristiques vérifient

C_λ_i(f) = ker(f −λ_iI_n).

(9)

Ils sont donc ´egaux aux espaces propres E_λ_i. Comme dimC_λ_i(f) = r_i la multiplicit´e de la valeur propreλ_i, on a

dimE_λ_i =r_i

et f est diagonalisable. Inversement, supposons que f soit diagonalisable. Il existe une bese deE, {v₁,· · · , v_p}constituée de vecteurs propres de f. Considérons le polynôme

P(X) = (X−λ₁)· · ·(X−λ_p) Alors pour tout vecteur propre v_i de la base choisie, on a

P(f)(v_i) = (f −λ₁I_n)· · ·(f−λ_pI_n)(v).

Mais les facteurs commutent et comme vi est un vecteur propre, il est associé à une valeur propre λl et donc (f −λlIn)(vi) = 0. D’où P(f)(vi) = 0 pour tout vecteur vi de la base choisie. Ainsi l’endomorphismeP(f) est nul et P(X) est un polynôme annulateur de f. C’est le polynôme minimal et toutes ses racines sont simples.

4. La d´ecomposition M =D+N 4.1. Matrices nilpotentes.

D´efinition 2. Une matrice M ∈ M_n(K) est dite nilpotente s’il existe un entier k ≥ 0 tel que

M^k = 0.

Soit λ une valeur propre de la matrice nilpotente M. On sait alors que λ^p est une valeur prore de M^p. Il s’en suit que λ^k est une valeur propre de M^k. Or par hypothèseM^k = 0. On en déduit que λ^k = 0 et donc λ = 0. De plus, il est clair que le polynôme P(X) = X^k est un polynôme annulateur de M. Comme tout polynôme qui divise P(X) = X^k est du type X^p avec p ≤ k, le polynôme minimal de M est donc du type X^p. Soit n_M le plus petit entier k tel que M^k = 0. Cet entier est appelé l’indice de nilpotence de la matrice nilpotente M. Le polynôme minimal deM est donc

m_M(X) = Xⁿ^M.

En particulier, ce polynôme n’a que des racines simples seulement si n_M = 1. Dans ce cas m_M(X) = X et doncm_M(M) =M = 0. En résumé:

Proposition 1. Soit M ∈ M_n(K) une matrice nilpotente. Alors les valeurs propres de M sont toutes nulles. Si n_M est son indice de nilpotence, alors le polynˆome minimal de f est m_M(X) = Xⁿ^M. En particulier une matrice nilpotente est diagonalisable si et seulement si elle est nulle.

Il est ´egalement clair que si M est nilpotente, toute matrice sembleble M4 = P⁻¹M P est aussi nilpotente et de mˆeme indice de nilpotence.

(10)

D´efinition 3. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme f de E est dit nilpotent s’il existe un entier k tel que

f◦f· · · ◦f =f^k = 0.

SiM est la matrice def relative `a une base deE donn´ee, alorsM est une matrice nilpotente.

4.2. La d´ecomposition M =D+N, cas complexe K=C.

Th´eor`eme 6. SoitM ∈m_n(C)une matrice complexe. Il existe un unique couple de matrices (D, N) de m_n(C) tel que

(1) D est une matrice diagonalisable, (2) N est une matrice nilpotente (3) M =D+N

(4) DN =N D.

Au lieu de démontrer ce résultat, on propose une méthode pratique de détermination directe des matricesA etN. Cette méthode est basée sur la détermination des projecteurs Π_k définis dans la relation (1).

M´ethode de calcul des matrices A et N.

(1) On d´etermine le polynˆome minimal m_M(X) de la matrice M et on le factorise:

mM(X) = (X−λ1)^s¹(X−λ2)^s²· · ·(X−λp)^s^p. (2) On décompose en éléments simples la fraction rationnelle 1

mM(X):

(3) 1

mM(X) = R₁(X)

(X−λ1)^s¹ + R₂(X)

(X−λ2)^s² +· · ·+ R_p(X) (X−λp)^s^p

où R_i(X) est un polynôme de degré inférieur ou égal às_i−1, pour i= 1,· · · , p.

(3) Posons

Qei(X) = (X−λ1)^s¹· · ·(X−λi−1)^sⁱ⁻¹(X−λi+1)^sⁱ⁺¹· · ·(X−λp)^s^p Alors m_M(X) = Qe_i(X)(X−λ_i)^sⁱ pour touti= 1,· · · , p.

(4) Multiplions les deux membres de l’´equation (3) par m_M(X):

(4) 1 = R1(X)mM(X)

(X−λ₁)^s¹ +R2(X)mM(X)

(X−λ₂)^s² +· · ·+ Rp(X)mM(X) (X−λ_p)^s^p et simplifions

(5) 1 = R₁(X)Qe₁(X) +R₂(X)Qe₂(X) +· · ·+R_p(X)Qe_p(X).

(11)

(5) Posons

N_i(X) = R_i(X)Qe_i(X) pour i= 1,· · · , pet consid´erons les matrices

Π_i =N_i(M).

(6) La matrice A est la matrice

A=λ₁Π₁(M) +λ₂Π₂(M) +· · ·+λ_pΠ_p(M).

(7) La matice N est la matrice

N =M −A.

Exemple. Soit la matrice

M =





1 −3 4 4 −7 8 6 −7 7



 Son polynˆome caract´eristique est

C_f(X) = C_M(X) = −(X+ 1)²(X−3).

Au paragraphe1.2 nous avons vu que cette matrice n’´etait pas diagonalisable. On a donc mM(X) = (X+ 1)²(X−3).

Posons

1

m_M(X) = 1

(X+ 1)²(X−3) = R₁(X)

(X+ 1)² + R₂(X) (X−3)

les polynômes R₁(X) étant de degré inférieur ou égal à 1 etR₂(X) de degré 0, c’est donc une constante. On détermine directement R₂(X) en multipliant toute l’identité par X−3 puis en faisantX = 3. On en déduit

R₂(X) = 1 16.

PosonsR₁(X) =aX +b. On d´etermine les constantes a et b (comme on veut): par exemple, on multiplie l’identit´e par X et on fait tendre X vers l’infini, ceci donne

0 =a+ 1 16 soit

a=− 1 16 et si X = 0:

−1

3 =b− 1 48 soit

b=−15 48 ce qui donne

1

m_M(X) = 1

(X+ 1)²(X−3) = −₁₆¹ X−¹⁵₄₈ (X+ 1)² +

1 16

(X−3). Multiplions les deux membres par (X+ 1)²(X−3). Il vient

1 = (− 1

16X−15

48)(X−3) + 1

16(X+ 1)².

(12)

Ainsi











N₁(X) = (− 1

16X−15

48)(X−3) = − 1

16X²−1

8X+15 16 N₂(X) = 1

16(X+ 1)² = 1

16X²+1

8X+ 1 16. On pose











Π₁ =N₁(M) = − 1

16M²− 1

8M +15 16I₃ Π₂ =N₂(M) = 1

16(M +I₃)². et

D=λ₁Π₁+λ₂Π₂ =−Π₁+ 3Π₂. On obtient

Π₁ =





0 1 −1

−2 3 −2

−2 2 −1



 Π₂ =





1 1 1

2 −2 2 2 −2 2





et donc

D=





3 −4 4 8 −9 8 8 −8 7



 N =





−2 1 0

−4 2 0

−2 1 0



.

5. Exponentielle d’une matrice complexe 5.1. Rappel.

D´efinition 4. Soit M ∈ m_n(K) une matrice `a coefficients dans K. Alors Exp M =I_n+M+ 1

2!M²+· · ·+ 1

n!Mⁿ+· · ·=

+∞

X

n=0

1 n!Mⁿ.

Nous avons vu que cette série convergeait pour toute matriceM. Donc l’exponentielle d’une matrice carrée existe toujours. De plus c’est une matrice inversible qui vérifie

(Exp M)⁻¹ =Exp(−M).

Nous avons vu ´egalement que si M etM⁰ commutent, alors Exp(M +M⁰) =Exp(M)·Exp(M⁰).

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5.2. Exponentielle d’une matrice nilpotente.

Soit M ∈ M_n(K) une matrice nilpotente. Soit p son indice de nilpotence:

M^p = 0.

Dans ce cas, l’exponentielle de la matriceM se calcule à partir de la définition, le développement en série se réduisant ici à un simple développement polynomial:

Exp M =I_n+M + 1

2!M²+· · ·+ 1 p!M^p. Exemple. Soit la matrice

N =





−2 1 0

−4 2 0

−2 1 0



. Elle v´erifie

N² =





0 0 0 0 0 0 0 0 0





et doncN est une matrice nilpotente d’indice de nilpotence égal à 2. On en déduit Exp N =I₃+N =





−1 1 0

−4 3 0

−2 1 1



.

5.3. Exponentielle d’une matrice M =D+N.

SoitM inM_n(C) etM =D+N sa d´ecomposition. CommeD est diagonalisable, nous savons calculer son exponentielle: SoitD⁰ =P⁻¹DP une matrice diagonale sembleble `aD. Alors

ExpD=P ·ExpD⁰·P⁻¹.

CommeN est nilpotente, nous venons de voir comment calculer son exponentielle. Comme les matrices D etN commutent, on en d´eduit

ExpM =ExpD·ExpN.

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EXERCICES

Exercice 1