Maths

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Institution Notre – Dame Classe: 2 S

Prof: MM. Dione – Benga

Année scolaire 2019 – 2020 Mathématiques

Polynômes – Fractions Rationnelles

Exercice 1

Dans chaque cas, trouver des polynômes P et Q vérifiant les conditions données : 1. dP = 2, dQ= 4, d(P + Q) = 1

2. dP = dQ = 3 et P + Q est une constante non nulle.

3. dPQ = 5, P + Q s’annule en 0 mais ni P ni Q ne s’annulent en 0.

Exercice 2

Soit P le polynôme défini par : P(x) = x3+ 3x2− 13x − 15 ∀x, x ∈ R 1. Calculer P(−5). 2. Factoriser P. 3. Résoudre dans R : i. P(x) = 0. ii. P(x) > 0 Exercice 3 On considère : P(x) = x2− 9, Q(x) = x3+ x2− 10x + 8 f(x) = P(x)Q(x) 1. Justifier que −4 est une racine de Q.

2. Factoriser Q(x). 3. Résoudre dans R :

i. f(x) = 0 ii. f(x) < 0

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Exercice 4

Déterminer les réels m et n pour que le polynôme P défini par : P(x) = x4+ mx3+ nx2+ 11x + 30 admette pour racines 3 et −2.

Résoudre alors P(x) = 0 et P(x) ≤ 0.

Exercice 5

On donne les polynômes P et Q définis par :

P(x) = 4x4+ 5x3− 14x2− 9x + 14 Q(x) = −6x3+ 10x2− 2x − 92

1. Montrer que 1 et −2 sont des racines de P, puis factoriser entièrement P. 2. Calculer Q(−2). En déduire une factorisation complète de Q.

3. On considère la fraction rationnelle f définie par :

f(x) = P(x) Q(x)

i. Déterminer le domaine de définition de f . ii. Simplifier f dans son domaine de définition. iii. Résoudre dans R l’inéquation f (x) ≤ 0.

Exercice 6

On considère le polynôme P défini par :

P(x) = 6x3− x2− 20x + 12, x_{∈ R}

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1. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c (à déterminer) tels que :

P(x) = (2x − 3)(ax2+ bx + c) ∀x, x ∈ R 2. Factoriser complètement P(x). 3. Résoudre dans R : a. 6x 3_{− x}2_{− 20x + 12} 3x2_{− 5x + 2} ≥ 0 b. 6x 3_{− x}2_{− 20x + 12} 3x2_{− 5x + 2} = 40 3 c. 6x 3_{− x}2_{− 20x + 12} 3x2_{− 5x + 2} ≥ 40 3 Mercredi 8 avril 2020 3