ECRICOME
Voie E
Mercredi 12 avril 2017
La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
L’usage de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdit. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre.
Exercice 1
Dans tout l’exercice, on noteraM3(R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 et I la matrice identité d’ordre 3.
On considère la matrice A définie par :
A=
0 1 2
−1 2 2
−3 3 1
L’objectif de cet exercice est de déterminer l’ensemble des matrices M deM3(R) telles que M2=A.
Partie A : Etude de la matrice A
1. Calculer les matrices (A−I)2et (A−I)3.
2. En déduire l’ensemble des valeurs propres de A.
3. La matrice A est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? Partie B : Recherche d’une solution particulière
On note pour toutx∈]−1, 1[,ϕ(x)=p 1+x.
4. Justifier que la fonctionϕest de classeC2sur ]−1, 1[, et déterminer les valeurs deϕ0(0) etϕ00(0).
5. En utilisant la formule de Taylor-Young pourϕen 0 à l’ordre 2, déterminer un réelαnon nul tel que : p1+x=1+1
2x+αx2+x2ε(x) avec lim
x→0ε(x)=0
6. On note P(x)=1+12x+αx2la fonction polynomiale de degré 2 ainsi obtenue. Développer (P(x))2. 7. Soit C=A−I. En utilisant les résultats de la question 1, vérifier que (P(C))2=A.
Expliciter alors une matrice M telle que M2=A.
Partie C : Résolution complète de l’équation
On munit l’espace vectorielR3de sa base canoniqueB=(e1,e2,e3).
Soitf l’endomorphisme deR3dont la matrice représentative dans la baseBest la matrice A.
Dans cette partie, on pose T=
1 1 0
0 1 1
0 0 1
.
8. Soientu,vetwles vecteurs définis par :w=(1, 0, 1),v=f(w)−w,u=f(v)−v.
(a) Calculer les vecteursvetu.
(b) Démontrer que la familleB0=(u,v,w) est une base deR3. (c) Déterminer la matrice représentative def dans la baseB0.
(d) En déduire qu’il existe une matrice P∈M3(R) inversible telle que T=P−1AP.
9. Soit N∈M3(R).
(a) Montrer que si N2=T, alors NT=TN. En déduire que N est de la forme
N=
a b c
0 a b
0 0 a
oùa,betcsont trois réels.
(b) Démontrer alors que l’équation matricielle N2=T admet exactement deux solutions : N1et N2. 10. Montrer que l’équation matricielle M2=A d’inconnue M∈M3(R) admet exactement deux solutions que
l’on écrira en fonction de P, P−1, N1et N2.
11. L’ensemble E des matrices appartenant àM3(R) telles que M2=A est-il un espace vectoriel ?
Exercice 2
Dans tout l’exercice,aest un réel strictement positif.
Partie A
On considère la fonctionϕdéfinie surR+∗par :∀x>0,ϕ(x)=ln(x)−ax2a. 1. Déterminer lim
x→0ϕ(x) et lim
x→+∞ϕ(x).
2. Etudier les variations de la fonctionϕet dresser son tableau de variations.
On fera apparaitre dans ce tableau le réelx0= µ 1
2a2
¶2a1 . 3. Démontrer que sia<
r 1
2e, l’équationϕ(x)=0 admet exactement deux solutionsz1etz2, vérifiant : z1<x0<z2.
Que se passe-t-il sia= r1
2e ? Sia>
r 1 2e ? Partie B
Soit f la fonction définie sur l’ouvert U=(R+∗)2par :
∀(x,y)∈U, f(x,y)=ln(x) ln(y)−(x y)a 4. Justifier quef est de classeC2sur U.
5. Calculer les dérivées partielles premières def. 6. Démontrer que pour tout (x,y)∈U :
(x,y) est un point critique de f ⇐⇒
½ x=y, ϕ(x)=0.
7. Démontrer que sia<
r 1
2e, la fonctionf admet exactement deux points critiques : (z1,z1) et (z2,z2), où z1etz2sont les réels définis dans la partie A.
Déterminer aussi les éventuels points critiques def dans les cas oùa= r 1
2eeta>
r 1 2e Partie C
Dans cette partie, on suppose quea<
r1
2e. On rappelle alors que la fonctionf admet exactement deux points critiques : (z1,z1) et (z2,z2), oùz1etz2sont les réels définis dans la partie A.
8. Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de la fonctionf.
9. Calculer la matrice hessienne def au point (z1,z1). Vérifier que cette matrice peut s’écrire sous la forme :
∇2(f)(z1,z1)=
à −a2z12a−2 z12
1−a2z12a−2
1
z21−a2z12a−2 −a2z2a−21
!
10. On pose M= ∇2(f)(z1,z1), X1= µ1
1
¶ et X2=
µ−1 1
¶ .
Calculer MX1et MX2, et en déduire les valeurs propres de M.
11. La fonctionf présente-t-elle un extremum local en (z1,z1) ? Si oui, est-ce un minimum ? Un maximum ?
12. La fonctionf présente-t-elle un extremum local en (z2,z2) ? Si oui, est-ce un minimum ? Un maximum ?
Exercice 3
Soitnun entier naturel non nul.
On effectue une série illimitée de tirages d’une boule avec remise dans une urne contenantnboules numérotées de 1 àn. Pour tout entier naturelknon nul, on note Xkla variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue auk-ième tirage.
Pour tout entier naturelknon nul, on note Skla somme des numéros des boules obtenues lors deskpremiers tirages :
Sk=
k
X
i=1
Xi.
On considère enfin la variable aléatoire Tnégale au nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, la somme des numéros des boules obtenues soit supérieure ou égale àn.
Exemple : avecn=10, si les numéros obtenus aux cinq premiers tirages sont dans cet ordre 2, 4, 1, 5, 9, alors on obtient : S1=2, S2=6, S3=7, S4=12, S5=21 et T10=4.
Partie A
1. Pourk∈N∗, déterminer la loi de Xkainsi que son espérance.
2. (a) Déterminer Tn(Ω).
(b) CalculerP(Tn=1).
(c) Montrer que :
P(Tn=n)= µ1
n
¶n−1
3. Dans cette question,n=2. Déterminer la loi de T2.
4. Dans cette question,n=3. Donner la loi de T3. Vérifier queE(T3)=169. Partie B
5. Déterminer Sk(Ω) pour toutk∈N∗. 6. Soitk∈ 1,n−1.
(a) Exprimer Sk+1en fonction de Sket de Xk+1.
(b) En utilisant un système complet d’évènements lié à la variable aléatoire Sk, démontrer que :
∀i∈ k+1,n, P(Sk+1=i)=1 n
i−1
X
j=k
P(Sk=j)
7. (a) Pourk∈N∗etj∈N∗, rappeler la formule du triangle de Pascal liant les nombres :¡j−1 k−1
¢,¡j−1 k
¢et¡j k
¢. (b) En déduire que pour toutk∈N∗et pour tout entier naturelisupérieur ou égal àk+1 :
i−1
X
j=k
Ãj−1 k−1
!
= Ãi−1
k
!
(c) Pour tout entierk∈ 1,n, on noteHkla proposition :
“∀i∈ k,n, P(Sk=i)= 1 nk
Ãi−1 k−1
!00
Démontrer par récurrence que pour tout entierk∈ 1,n,Hkest vraie.
8. (a) Soitk∈ 1,n−1. Comparer les évènements [Tn>k] et [Sk6n−1].
(b) En déduire que :∀k∈ 0,n−1,P(Tn>k)=n1k
¡n−1
k
¢. 9. Démontrer queE(Tn)=
n−1X
k=0
P(Tn>k), puis queE(Tn)= µ
1+1 n
¶n−1
. 10. Calculer lim
n→+∞E(Tn).
Partie C
Dans cette partie, on fait varier l’entiern et on étudie la convergence en loi de la suite de variables (Tn)n>1
obtenue.
11. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dansN∗telle que :∀k∈N∗, P(Y=k)=k−1 k! . (a) Vérifier par le calcul que
+∞X
k=1
P(Y=k)=1.
(b) Montrer que Y admet une espérance et calculer cette espérance.
12. Pour tout entier naturelknon nul, démontrer que :
n→+∞lim P(Tn>k)= 1 k!
13. Démontrer alors que (Tn)n>1converge en loi vers la variable aléatoire Y.
14. On rappelle qu’en langage Scilab, l’instructiongrand(1,1,’uin’,1,n)renvoie un entier aléatoire de1,n. Compléter la fonction ci-dessous, qui prend en argument le nombrende boules contenues dans l’urne, afin qu’elle simule la variable aléatoire Tn :
Programme Scilab 1 : Loi de T
function y=T(n)
S=...
y=...
while ...
tirage = grand(1,1,'uin',1,n) S=S+tirage
y=...
end endfunction
15. On suppose déclarée la fonction précédente et on écrit le script ci-dessous : Programme Scilab 2 : Convergence en loi
function y=freqT(n) y=zeros(1,n) for i=1:100000
k=T(n) y(k)=y(k)+1 end
y=y/100000 endfunction
function y=loitheoY(n) y=zeros(1,n)
for k=1:n
y(k)=(k-1)/prod(1:k) end
endfunction clf
n=input('n=?')
plot2d(loitheoY(6),style=-2) x=freqT(n)
bar(x(1:5))
L’exécution de ce script pour les valeurs denindiquées a permis d’obtenir les graphes ci-dessous :
n=5 n=10
n=20 n=50
n=100 n=1000
(a) Expliquer ce que représentent les vecteurs renvoyés par les fonctionsfreqTetloitheoY. Com- ment ces vecteurs sont-ils représentés graphiquement dans chaque graphique obtenu ?
(b) Expliquer en quoi cette succession de graphiques permet d’illustrer le résultat de la question 13.
