Anneaux, corps
1 Structure d’anneau
1.1 D´efinition
D´efinition. Soit Aun ensemble non vide muni de deux lois de composition interne, not´ees et. Si (a) pA, q est un groupe commutatif ;
(b) est associative ;
(c) a un ´el´ement neutre not´e 1A;
(d) est distributive `a droite et `a gauche sur
alors on dit que pA, ,q est unanneau.
Il est dit anneau commutatif si de plus est commutative.
Exemple.
1.2 R`egles de calcul dans un anneau Propri´et´e.
• @xPA, 0Axx0A0A
• @px, yq PA2, x pyq pxq y pxyq
• @px, yq PA2,@nP Z, x pnyq pnxq ynpxyq
• @px, yq PA2, pxq pyq xy Propri´et´e. @px1, , xn, yq PAn 1 y
n
¸
k1
xk
¸n k1
pyxkqet de mˆeme `a droite.
Corollaire. SoitA un anneau commutatif, px, yq PA2 etnP N. On a : xnyn pxyq
n¸1 k0
xn1kyk
Corollaire. Somme desnpremiers termes d’une suite g´eom´etrique r´eelle ou complexe.
Th´eor`eme.
La formule du binˆome de Newton est valable dans tout anneau commutatif, ou si a et b com-
mutent :
si abbaalorspa bqn
¸n p0
n p
apbnp
Attention. Ce n’est pas vrai siaetb ne commutent pas. Ainsi
pa bq2 pa bq pa bq pa bq a pa bq b
a2 ba ab b2
1.3 Sous-anneaux
D´efinition. Soit pA, ,q un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau de A si et seulement si :
(a) B sous-groupe de A
(b) 1APB
(c) B stable pour Remarque.
Exemple.
Contre-exemple.
1.4 Morphismes d’anneaux
D´efinition.Soitf : AÑA1 une application entre deux anneaux. On dit quef est unmorphisme d’anneaux si et seulement si :
(a) @x, yPA, fpx yq fpxq fpyq
(b) @x, yPA, fpxyq fpxqfpyq
(c) fp1Aq 1A1
Exemple.
2 Corps, ´ el´ ements inversibles d’un anneau
2.1 Inversibles d’un anneau
Rappel.
Remarque.
Th´eor`eme.
L’ensemble des ´el´ements inversibles d’un anneau est un groupe multiplicatif.
Exemple.
2.2 Structure de corps
D´efinition. Soit pK, ,q un anneau commutatif non nul. On dit que c’est un corps si et seulement si tout
´
el´ement non nul est inversible pour . Remarque.
Exemple.
D´efinition. Soit K un corps etL une partie de K.L s’appelle unsous-corps de K si et seulement si :
(a) L K
(b) L∅ etL t0u
(c) @x, yPL, xyPL
(d) @x, yPL, x y1 PL
D´efinition. SoitK etK1 deux corps, f : K Ñ K1 une application. On dit que c’est unmorphisme de corpssi et seulement si :
(a) fp1q 1
(b) @x, yP K, fpx yq fpxq fpyq (c) @x, yP K, fpxyq fpxqfpyq
2.3 Anneau int`egre
D´efinition. Un anneauAest dit int`egresi et seulement si il est commutatif etn’a pas de diviseur de z´ero, i.e.
@px, yq PA2, xy0 ùñ x0 ouy0
Th´eor`eme.
Un corps est un anneau int`egre.
Remarque.
25.1Onconsid`ereZr? 2sdef ab? 2,pa,bqPZ2( R.Onmunit Zr? 2sdesloisusuellesetdeR.V´erifierquecesontdesloisde compositioninterneetqu’ellesconf`erent`aZr? 2sunestructured’an- neaucommutatif.anneau_1.tex 25.2Onconsid`ereZrisdef aib,pa,bqPZ2( C.Onmunit ZrisdesloisusuellesetdeC.V´erifierquecesontdesloisde compositioninterneetqu’ellesconf`erent`aZrisunestructured’anneau commutatif,appel´eanneaudesentiersdeGauss.anneau_2.tex 25.3OnnoteRrXsl’ensembledespolynˆomes`acoefficientsr´eels. Montrerques’ilestmunidesloisethabituelles,c’estunanneau. anneau_3.tex 25.4D´emontrerquel’ensembledessuitesr´eellesRN ,munidesop´e- rationsusuelles,estunanneau.anneau_4.tex 25.5L’anneaunul (a)SoitunensembleAnecomportantqu’unseul´el´ement:Atau. Aestmunidedeuxloisdecompositioninterneet.Combien peutvaloiraa,aa?pA,,qest-ilunanneau? (b)EtsidansunanneauB,ona1B0B,quepeut-ondire? anneau_5.tex 25.6Unit´esd’unanneau SoitpA,,qunanneau.OnrappellequeuPAestuneunit´e deAs’iladmetuninversepour,i.e.s’ilexisteu1 PAtelque uu1 u1 u1A.OnnoteUpAql’ensembledesunit´esdeA. (a)D´eterminerUpZq; (b)D´eterminerUpRN q; (c)Chercherlesunit´esdeRrXs; (d)MontrerquepUpAq,qestungroupe; anneau_6.tex 25.7Int´egrit´e SoitpA,,qunanneau.Onrappellequ’ilestint`egres’ilestcommu- tatifetsi @pa,bqPA2 a0Aetb0Aùñab0A (a)Donnerlacontrapos´eedelapropositionci-dessus; (b)Donnerdeuxexemplesd’anneauxint`egres; (c)
´ Etudierl’int´egrit´edeZ; (d)
N´ Etudierl’int´egrit´edeR; (e)
´ Etudierl’int´egrit´edeRrXs; (f)D´emontrerquetoutcorpsestint`egre; (g)SoitAunanneauint`egrefini.PourtoutaPA,ond´efinit f:AÑAa xÞÑax D´emontrerquesia0,alorsfestunebijection.End´eduirea queAestuncorps. anneau_7.tex 25.8 ? (a)MontrerqueZr2sestunsous-anneaudeR. (b)D´eterminertouslessous-anneauxdeZ. 11 (c)D´eterminerlepluspetitsous-anneaudeQcontenantet. 34 anneau_8.tex 25.9Sous-corps ?( 2SoitExy2,px,yqPQ.D´emontrerqueEestunsous-corps deR.anneau_9.tex 6n6n 25.10MontrerquepourtoutnPN,32estdivisiblepar19 etpar35.anneau_10.tex 25.11SoitEunensemble. (a)MontrerquepPpEq,∆,Xqestunanneaucommutatif.Est-ilin- t`egre?Quelssontses´el´ementsinversibles? (b)PourXE,montrerquet∅,X,AX,Euestunsous-anneaudeE PpEq.
anneau_11.tex 25.12SurR,ond´efinitlesloisetJpar: # abab1 aJbabab pR,,Jqest-ilunanneau?uncorps? anneau_12.tex 25.13SoitAunanneaucommutatif.PourxPA,onditquexest nilpotents’ilexistenPN telquexn 0A.Montrerquesixetysont nilpotents,alorsxyetxysontnilpotents.anneau_13.tex
25.14SoitAunanneaucommutatif.PourxPA,onditquex estnilpotents’ilexistenPN telquexn 0A.Montrerquesixest nilpotent,alors1xestinversible.anneau_14.tex 25.15 (a)
´ Etudierl’int´egrit´edesanneauxZ{4ZetZ{5Z. (b)Cesanneauxsont-ilsdescorps. (c)Peut-ong´en´eraliser? anneau_19.tex
