LEZIONI DISTATISTICAElaborazione dei dati Valori medi

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CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA

LEZIONI DI STATISTICA

Elaborazione dei dati

Valori medi

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VALORI MEDI

In una serie di valori si definisce medio (o intermedio) un valore compreso tra il più piccolo ed il più grande;

esistono diversi tipi di valori medi (o medie) Media aritmetica semplice

_

x

¹ +

x

² +...+

x

ⁿ

∑ x

ⁱ

X = --- = ^--- N N

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Esempi di media aritmetica semplice

_

a) 2,4,6 x = (2+4+6):3 = 4

_

b) 1,4,7 x = (1+4+7):3 = 4

_

c) 4,4,4 x = (4+4+4):3 = 4

_

d) 2,3,7 x = (2+3+7):3 = 4

La media aritmetica semplice non tiene conto della distribuzione dei valori nella serie(esempi a,b,e c) e può corrispondere ad un valore inesistente(es.d)

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Proprietà della media aritmetica

1)La somma algebrica degli scarti dei singoli termini della serie rispetto alla media

aritmetica è sempre uguale a 0

Data la serie di valori 2,4,6 la somma degli scarti rispetto alla media 4 sarà

(2 – 4) + (4 – 4) + (6 – 4) = - 2 + 2 = 0

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segue Proprietà della media aritmetica

2) La somma dei quadrati degli scarti tra i singoli termini e la media aritmetica corrisponde ad un valore minimo nei confronti di quelli che si

otterrebbero calcolando gli scarti rispetto a qualsiasi altro valore

2 2 2 2 2

(2- 4) + (4- 4) + (6- 4) =

-

2 + 2 = 8

2 2 2 2 2 2

(2 – 3) + (4 – 3) + (6 – 3) =

-

1 + 1 + 3 = 11

2 2 2 2 2

(2 – 6) + (4 – 6) + (6 – 6) =

-

4 – 2 = 20

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Media aritmetica ponderata

Quando ai singoli termini della serie corrispondono più di una osservazione e quando si tratta di valori raggruppati in classi invece della media aritmetica semplice si calcola la media aritmetica ponderata _

∑

^xⁱ

.

ⁿ ⁱ

∑

^xⁱ

.

ⁿ ⁱ

x

^{p =}--- = --- N

∑

ⁿ ⁱ

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Esempi di media aritmetica ponderata

Statura N.osserv. Statura N.osserv. Statura N.osserv.

1,60 . 10 = 16 + 1,60 . 2 = 3,2 + 1,60 . 18= 28,8 + 1,70 . 10 = 17 + 1,70 . 10 =17 + 1,70 . 10= 17 + 1,80 . 10 = 18 = 1,80 . 18= 32,4= 1,80 . 2= 3,6 =

--- --- ---

51 52,6 49,4 Media aritmetica ponderata =

51 : 30 = 1,70 52,6 : 30 = 1,75 49,4:30 : 1,65

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segue Media aritmetica ponderata

Se si tratta di valori raggruppati in classi la media aritmetica ponderata si calcola moltiplicando i valori centrali delle

classi per il corrispondente numero

delle osservazioni,sommando i risultati ottenuti e dividendo per il numero

totale delle osservazioni

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Media aritmetica ponderata per valori raggruppati in classi

Valori della P.A. Valori centrali N.osserv.

(a) (b) (c) (b) . (c)

fino a 140 135 1 135 +

141 – 150 145 3 435 +

151 – 160 155 3 465 +

161 – 170 165 4 660 +

171 – 180 175 5 875 +

181 – 190 185 4 740 +

191 – 200 195 4 780 +

oltre 200 205 1 205 = --- --- N.tot.delle osservazioni 25 4.295

Media aritmetica ponderata = 4.295:25 = 171,8

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Media geometrica e media armonica

La media geometrica si ottiene calcolando la radice ennesima della produttoria degli n valori della serie

_ n __________________ n _____

x

^{g =}

√ x

¹

. x

2 ...

X

^{n ==}

√ π x

ⁱ

La media armonica si calcola dividendo il numero totale delle osservazioni per la sommatoria dei reciproci dei valori della serie

_ n n

X a = --- = --- 1 1 1 1 --- + ---- + ...+ ----

∑

^----

x

¹

x

2 Xn Xn

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Applicazioni dei diversi valori medi

Progressione aritmetica = media aritmetica Progressione geometrica = media

geometrica Progressione esponenziale = media

armonica

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Esempi di applicazione dei diversi valori medi

Media

Valori aritmetica geometrica armonica 2,4,6 4 3,63 3,27 2,4,8 4,66 4 3,43 2,4,16 7,33 5,04 3,69

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Esempio di applicazione della media geometrica

Costo delle prestazioni di previdenza sociale(INPS) Anni 1973-1981 – Medie triennali(in miliardi di lire) 1973-75 = 9.494

1976-78 = 17.828 (=9.494 . 1,88) 1979-81 = 34.760 (=17.828 . 1,95) Media aritmetica = 20.670

Media geometrica = 18.037

Poiché la distribuzione approssima una progressione geometrica si deve utilizzare la media geometrica

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Esempio di applicazione della media armonica

Tre pazienti vengono sottoposti a terapia con un

nuovo farmaco per la cura di una malattia molto grave.

Nel primo paziente si ottiene una sopravvivenza di due anni dopo la terapia,

nel secondo una sopravvivenza di 4 anni e nel terzo la completa guarigione.

Per calcolare la sopravvivenza media dei tre pazienti e valutare l’efficacia del farmaco si calcola la media armonica.

(15)

segue

Esempio di applicazione della media armonica

_ 3 3

X a = --- = --- = 4 anni 1 1 1 0,5 + 0,25

---- + ---- + --- 2 4 ∞

Nel calcolo della sopravvivenza media la guarigione viene considerata come infinito; per una regola

matematica quando il denominatore di una frazione tende all’infinito la frazione tende a 0

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Definizione di Moda

In una serie di valori si definisce MODA o

«VALORE MODALE» o «NORMA» la modalità o il valore (o la classe di

valori) a cui corrisponde la

MAGGIORE FREQUENZA(= il maggior

numero di osservazioni)

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Esempio di applicazione della moda

Valori centrali

Peso in Kg. delle classi N.di osservazioni

fino a 60 55 8

61-70 65 20

71-80 75 50

81-90 85 20

oltre 90 95 2

La Moda è 75(valore centrale della classe alla quale

corrisponde il maggior numero di osservazioni)

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DEFINIZIONE DI MEDIANA

LA “MEDIANA” È DATA

- DAL VALORE CHE BIPARTISCE UNA SUCCESSIONE DI VALORI ORDINATA SECONDO GRANDEZZA

SE IL NUMERO DEI VALORI È DISPARI;

- DALLA SEMISOMMA DEI DUE VALORI CENTRALI

SE IL NUMERO DEI VALORI È PARI.

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Esempi di applicazione della mediana

Età di 5 persone (in anni) 35,15,20,56,61

si dispongono i valori in una serie ordinata secondo grandezza

15,20,35,56,61

L’età mediana è 35 anni

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segue Esempi di applicazione della mediana

Età di 6 persone (in anni) 35,15,20,56,61,37

si dispongono i valori in una serie ordinata secondo grandezza

15,20,35,37,56,61

si calcola la media dei due valori centrali

(35+37) : 2 = 36 (=età mediana)

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segue Esempi di applicazione della mediana Valori centrali

Peso in Kg. delle classi N.di osservazioni

fino a 60 55 8

61-70 65 20

71-80 75 50

81-90 85 20

oltre 90 95 2

_____________________________________

Totale 100

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segue Esempi di applicazione della mediana

Poiché il numero delle osservazioni è pari si divide per due e si ottengono due valori 50 e 51; il 50° valore della serie considerata si trova nella classe 71 – 80.

Infatti se si somma il numero di osservazioni delle

prime due classi si ottiene 8+20=28,per arrivare a 50 occorrono altre 22 osservazioni (50 – 28 = 22) e

quindi il 50° valore non può che essere compreso nella classe 71-80 alla quale appartengono 50

osservazioni.

Quindi la mediana corrisponde al valore centrale della classe 71-80 cioè a 75 anni.

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segue Esempi di applicazione della mediana

Se si vuol calcolare con più esattezza il valore della mediana si può ricorrere ad

un’equazione:

10:50 = x : 22 (dove 10 è il numero di Kg.

nell’intervallo di classe, 22 è il posto che

occupa la 50esima osservazione nella classe considerata);quindi x = 4,4 che deve essere sommato al limite inferiore della classe cioè 71+4,4 = 75,4 che è il valore esatto della