Parte II

(1)

CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA

LEZIONI DI STATISTICA Parte II

Elaborazione dei dati

Variabilità

(2)

Lezioni di Statistica

VARIABILITA’

Si definisce variabilità la proprietà di alcuni fenomeni di assumere valori o modalità diverse.

I fenomeni che posseggono tale proprietà di definiscono variabili,quelli che non

variano si definiscono costanti.

Tutti i fenomeni biologici sono variabili.

(3)

Lezioni di Statistica

La variabilità può essere studiata a livello individuale (es.in una stessa persona) al variare di determinate

condizioni o circostanze oppure nel collettivo (es.in una determinata popolazione)nelle medesime

condizioni o circostanze.

E’ possibile studiare la forma e la misura della variabilità.

Per studiare la forma della variabilità si ricorre alla

rappresentazione grafica dei dati mediante diagrammi cartesiani.

Le caratteristiche delle linee (in genere curve) rappresentano la forma della variabilità.

(4)

Lezioni di Statistica

Forma della variabilità a livello individuale Si ricorre ad un diagramma cartesiano indicando sull’asse delle ascisse le

condizioni o circostanze nelle quali si

effettua la misurazione e nell’asse delle

ordinate i diversi valori che la variabile

assume

(5)

(6)

(7)

Lezioni di Statistica

Forma della variabilità nel collettivo

Si ricorre ad un diagramma cartesiano indicando

sull’asse delle ascisse i diversi valori che la variabile assume e sull’asse delle ordinate il numero di

osservazioni (o la frequenza relativa)corrispondente ai singoli valori (in questo caso tutte le misure

devono essere eseguite nelle stesse condizioni e circostanze).

In alcuni casi, e sempre quando si tratta di fenomeni biologici, la forma della variabilità assume un

aspetto caratteristico che si definisce curva normale (o gaussiana).

(8)

Curva normale o gaussiana

Così per esempio per studiare la

distribuzione secondo la statura di un collettivo di giovani di 18 anni occorre riportare sull’asse delle ascisse i

diversi valori che la variabile assume (statura m.1,50;1,60;1,70;ecc..) e

sull’asse delle ordinate le frequenze

assolute o percentuali corrispondenti ai

singoli valori (es.numero o percentuale

di giovani alti m.1,50; 1,60;1,70;ecc..)

(9)

(10)

(11)

Principali caratteristiche della curva normale

• La curva di Gauss è simmetrica

• Se un fenomeno si distribuisce secondo una curva normale la media aritmetica,la moda e la mediana coincidono

• La curva di Gauss tende all’infinito (da – infinito a + infinito)

• Ai due lati della moda la curva decresce

rapidamente fino ad un punto in cui la

rapidità di diminuzione è molto minore

(punti di flesso)

(12)

segue Principali caratteristiche della curva normale

• L’area compresa tra la curva di Gauss e l’asse delle ascisse (che si definisce area sottesa alla curva di Gauss) corrisponde al 100% delle osservazioni

• La curva di Gauss è definita da una funzione matematica che consente di calcolare le

frequenze(y) corrispondenti ai singoli valori

che la variabile assume(x).

(13)

Funzione della curva normale

_

²

1 x

ⁱ

^- x

- -- ---

1 2 σ

y = --- e

σ 2π

(14)

segue Funzione della curva normale dove e e π rappresentano due costanti

matematiche

e = 2,71828

π = 3,14159...

(15)

Lezioni di Statistica

Misure di variabilità _

²

Devianza ∑ ( x

^{i –}

x )

_

²

2

∑ ( x

^{i –}

x ) Varianza σ

= ---

N

(16)

Lezioni di Statistica

segue Misure di variabilità

_

²

DEVIAZIONE ∑ ( x i - x ) STANDARD σ = ---

N (o scarto quadratico medio)

La formula serve a calcolare la deviazione

standard di una serie di valori e corrisponde

alla radice quadrata della varianza .

(17)

Lezioni di Statistica

Deviazione standard

Molto spesso, negli studi bio-medici, i

dati vengono riassunti attraverso il più comune indice di tendenza centrale: la media. In questo caso, per descrivere compiutamente la popolazione, è

sempre necessario dichiarare anche, come indice di variazione, il valore

della deviazione standard.

(18)

Lezioni di Statistica

• La deviazione standard (o scarto quadratico medio) rappresenta la distanza media dei dati dalla loro media.

• La deviazione standard è un ottimo indice di variazione dei dati quando essi sono

distribuiti normalmente e rappresenta la

misura di variabilità più usata nella ricerca

scientifica e in campo clinico.

(19)

CALCOLO DELLA DEVIAZIONE STANDARD QUANDO IL NUMERO DELLE OSSERVAZIONI E’ LIMITATO

_

²

DEVIAZIONE ∑ ( x i - x ) STANDARD σ = ---

N - 1 (o scarto quadratico medio)

La formula serve a calcolare la deviazione standard quando il numero di osservazioni è limitato(<30).

In questi casi si divide la «devianza» per i «gradi di libertà» che sono ottenuti dal numero di

osservazioni (N) di cui è composto il campione,

meno 1

(20)

CALCOLO DELLA DEVIAZIONE STANDARD QUANDO IL NUMERO DELLE OSSERVAZIONI E’ LIMITATO

Quando si studia la variabilità in un campione e si applica tale misura (variabilità osservata)all’intera popolazione dalla

quale il campione è stato estratto(variabilità stimata)si commette un errore più o meno grande a seconda della numerosità del campione.

Lo Student ha dimostrato che per ridurre la differenza tra

variabilità stimata e variabilità reale occorre moltiplicare la varianza per un fattore di correzione

_ 2 _ ²

2 ∑(xi – x) n _ ² 1 n ∑(xi – x)

σ=

---

.

^--- ^{= ∑ ( x}ⁱ – x) . --- . --- = --- n n-1 n n-1 n-1

(21)

Lezioni di Statistica

Calcolo della deviazione standard Esempio

Supponiamo di avere il seguente

campione, di cui vogliamo calcolare l’età media e la deviazione standard:

19, 21, 24, 21, 17

somma dei valori della serie

19 + 21 + 24 + 21 + 17 = 102

media = 102:5 = 20,4

(22)

Lezioni di Statistica

Ora calcoliamo la differenza di ogni valore dalla media, cioè il valore

_ x

ⁱ

– x

detto anche scarto o deviazione, e

quindi eleviamo al quadrato gli scarti e

sommiamo tali quadrati.

(23)

Lezioni di Statistica

Differenza tra i valori e la media

2

scarto scarto 19-20,4 = - 1,4 1,96 21-20,4 = 0,6 0,36

24-20,4 = 3,6 12,96 21-20,4 = 0,6 0,36 17-20,4 = - 3,4 11,56

--- 27,20

La devianza è 27,20;i gradi di libertà sono N-1 cioè 4.

(24)

Dividiamo la devianza per i gradi di libertà 27,2 : 4 = 6,8

ed estraiamo la radice quadrata.

Radice quadrata di 6,8 = 2,61 che è la deviazione standard della serie di valori considerata.

_

Se si applica la formula x σ si ottiene l’intervallo entro il quale è compresa l’età della maggior parte del collettivo da cui proviene il campione esaminato.

20,4 2,61 = 17,79 - 23,01 Questa procedura consente di evitare

l’inconveniente della media aritmetica che non tiene conto della distribuzione dei valori nella serie

considerata.

(25)

Nell’intervallo _

x σ

è compreso il 68,3% delle osservazioni;

nell’intervallo _

x 2 σ

è compreso il 95,5% delle osservazioni

(26)

MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI

VALORI CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE (O QUANDO SI TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN

CLASSI)

_ 2

Devianza ∑ ( xⁱ – x ) . n ⁱ

_ 2 2 ∑ ( xⁱ – x ) . n ⁱ Varianza σ = ---

N

_ 2

DEVIAZIONE ∑ ( x ⁱ - x ) . n i

STANDARD σ = --- N

(27)

MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI

VALORI CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE (O QUANDO SI TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN

CLASSI)

Statura Valori centr. Numero di

in cm. delle classi osservaz.

X

ⁱ ^.

n

ⁱ

x

i

n

i____________

fino a 150 145 5 725

151 – 160 155 20 3.100 161 – 170 165 50 8.250

171 – 180 175 20 3.500 oltre 180 185 5 925 _______________________________________

Totale - 100 16.500

(28)

MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI VALORI CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE ( O QUANDO SI

TRATTA DI VALORI RAGGRUPPATI IN CLASSI)

Calcolo della media aritmetica ponderata

_

x p = 16.500 : 100 = 165

(29)

segue MISURE DI VARIABILITA’ QUANDO AI SINGOLI VALORI CORRISPONDE PIU’ DI UNA OSSERVAZIONE ( O QUANDO SI

_ _

²

_

²

___X

ⁱ

x

ⁱ

^- x (x

ⁱ

^– x) (x

ⁱ

^– x) . ⁿ

ⁱ

145

-

20 400 400 . 5 = 2.000 155

-

10 100 100 . 20 = 2.000 165

-- -- --

175 10 100 100 . 20 = 2.000 185 20 400 400 . 5 = 2.000 __________________________________________

Totale

-- --

8.000

(30)

Devianza=8.000

Varianza=8.000:100=80

Deviazione standard = 80 = 8,94 _

x σ ^{= 165} 8,94 = 156

^|^--^|

174

(31)

_

x ² σ = 165 17,88 = 147

^|^--^|

**183(*)**

(*) cifre arrotondate

(32)

STATURA DEGLI ISCRITTI DI LEVA NATI NEL 1963 (VISITA DI LEVA 1981)

Statura in cm. X ⁱ

n

ⁱ X ⁱ

. n

ⁱ

fino a 159 155 2,5 387,5 160-169 165 30,5 5.032,5 170-179 175 52,4 9.170,0 180-189 185 13,9 2.571,5 190 e oltre 195 0,7 136,5 Totale

--

100 17.298

Xⁱ = Valori centrali delle classi

n i = frequenza % delle osservazioni

_

X p = 17.298 : 100 = 172,98 (media aritmetica ponderata)

(33)

segue STATURA DEGLI ISCRITTI DI LEVA NATI NEL 1963 (VISITA DI LEVA 1981)

_ _

X

ⁱ

- X ( X

ⁱ

- X ) . n

ⁱ

- 17,98 - 44,95 - 7,98 - 243,39 + 2,02 +105,848 +12,02 +167,078 +22,02 + 15,414 - 288,34 + 288,34 = 0

(34)

_ _ _

2

_

²

X i

-

^X

(

^X ⁱ

-

^{X )}

(

^X ⁱ

-

^{X )}

(

^X ⁱ

-

^{X )}

. n

ⁱ

- 17,98 - 18 324 810

- 7,98 - 8 64 1952 + 2,02 + 2 4 209,6 +12,02 + 12 144 2001,6 +22,02 + 22 484 338,8

5.312,0(devianza) N.B. – Nella seconda colonna sono riportati

gli scarti arrotondati eliminando i decimali

(35)

2 5312

σ = --- =

^53,12

100

σ ⁼

53,12 = 7,29

_

x σ =

¹⁷³ ^{7 = 166} ^|-| ¹⁸⁰

_

x

²

σ ⁼

^{173 14}

⁼

¹⁵⁹ ^|-| ¹⁸⁷

(36)

CBM-Indagine sulle condizioni di salute dei bambini di Torbellamonaca

Malattie Tor Bella- Popolazione

(1)

monaca%

⁽²⁾

italiana(ISTAT)

⁽³⁾

No 26,4±4,9 49,8

Sì 73,6±4,9 50,2 Totale 100,0 100,0

(1) sofferte negli ultimi tre mesi

(2) Dati standardizzati secondo l’età per renderli confrontabili con la popolazione italiana

(3) Stima su tre mesi del periodo di riferimento per renderlo confrontabile con l’indagine di Tor Bella Monaca

(37)

segue CBM-Indagine sulle condizioni di salute dei bambini di Torbellamonaca Malattie no

TBM

^26,4 ²

.

4,9 = 16,6 |-| 36,2

Italia

^{= 49,8}

Malattie si

TBM

^73,6 ²

.

4,9 = 63,8 |-| 83,4

Italia =

^50,2