Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Examen de Math´ematiques pour l’ ´Economie et la Gestion (S3) Session de janvier 2007
Dur´ee : 1h30 — 1 page
Documents et appareils ´electroniques interdits
Exercice 1 — Soit la fonctionf :R2 →Rd´efinie par
f(x, y) =x3−3x+ 3xy2. (1) D´eterminer les points critiques de f et leur type.
(2) La fonction f est-elle convexe ?
Exercice 2 —
(1) Maximiser la fonction
f(x, y) = 2x3+y2
sous les contraintes
x>0 y>0 3x+y64.
(On admettra que la condition de qualification est v´erifi´ee.)
(2) Donner une valeur approch´ee du maximum si on remplace la condition 3x+y64 par 3x+y64,1.
Exercice 3 — R´esoudre sur ]0,+∞[ l’´equation diff´erentielle ty0(t)−(t+ 1)y(t) =t2 avec la condition initialey(1) =e−1.
Exercice 4 —
(1) Calculer (sous forme alg´ebrique) et repr´esenter dans le plan les racines carr´ees du nombre complexe−8 + 6i.
(2) R´esoudre surCl’´equation
z2−(i−1)z+ 2(1−i) = 0.
On exprimera les solutions sous forme alg´ebrique et sous forme polaire, et on les repr´esentera dans le plan.
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