Correction de factorisations,
développements et résolutions d’équations Ex 75, 76, 81 et 83 p 103
Exercice 75.
a) Je résous dans
l’équation (x + 4)2 = 121.(x + 4)2 = 121 (x + 4)2 – 121 = 0
(x + 4)2 – 112 = 0
((x + 4) – 11)((x + 4) + 11)= 0 en utilisant a2 – b2 = (a + b)(a – b)
(x – 7)(x + 15) = 0
or un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul.
x – 7 = 0 ou x + 15 = 0
x = 7 ou x = – 15 donc s = { 7 ; – 15 }.
b) Je résous dans
l’équation (2x + 1)2 – 9 = 0.(2x + 1)2 – 9 = 0 (2x + 1)2 – 32 = 0
((2x + 1) – 3)((2x + 1) + 3)= 0 en utilisant a2 – b2 = (a + b)(a – b)
(2x – 2)(2x + 4) = 0
or un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul.
2x – 2 = 0 ou 2x + 4 = 0
2x = 2 ou 2x = – 4
x = 1 ou x = – 2 donc s = { 1 ; – 2 }.
c) Je résous dans
l’équation 3(2 – x)2 = 48.3(2 – x)2 = 48 3(2 – x)2 – 48 = 0
(2 – x)2 – 16 = 0
((2 – x) – 4)((2 – x) + 4)= 0
en utilisant a2 – b2 = (a + b)(a – b)
(– x – 2)(– x + 6) = 0
or un produit est nul lorsque l’un des facteurs est nul.
– x – 2 = 0 ou – x + 6 = 0
– x = 2 ou – x = – 6
x = – 2 ou x = 6 donc s = { – 2 ; 6 }.
d) Je résous dans
l’équation (5 – x)2 = – 2.Dans
, un carré est toujours positif donc l’égalité ne peut pas être vérifiée donc s = .Exercice 76.
Factorisons les expressions suivantes :
a) (23x + 1)(– 17x + 1) + (23x + 1)2 = (23x + 1)(– 17x + 1) + (23x + 1)(23x + 1)
= (23x + 1)[(– 17x + 1) + (23x + 1)]
= (23x + 1)[– 17x + 1 + 23x + 1]
= (23x + 1)(6x + 2)
b) (13x – 14)(25x – 11) – (13x – 14)2 = (13x – 14)(25x – 11) – (13x – 14)(13x – 14)
= (13x – 14) [ (25x – 11) – (13x – 14)]
= (13x – 14)[25x – 11 – 13x + 14]
= (13x – 14)(12x + 3)
c) (8 – 18x)2 – (16x – 3)(8 – 18x) = (8 – 18x)(8 – 18x) – (16x – 3)(8 – 18x) = (8 – 18x)[(8 – 18x) – (16x – 3)]
= (8 – 18x)[8 – 18x – 16x + 3]
= (8 – 18x)(– 34x + 11)
d) (16t + 13)(21t – 3) + 2(16t + 13) = (16t + 13)[(21t – 3) + 2]
= (16t + 13)[(21t – 3) + 2]
= (16t + 13)(21t – 3 + 2) = (16t + 13)(21t – 1)
e) (– 14x + 5) – (4x – 7)(– 14x + 5) = (– 14x + 5) [ 1 – (4x – 7)]
= (– 14x + 5) [ 1 – 4x + 7)
= (– 14x + 5)(8 – 4x)
Exercice 66.
a) (x + 1)2 – (x – 1)2 = [(x + 1) + (x – 1)][(x + 1) – (x – 1)] = 2x 2 = 4x en utilisant a2 – b2 = (a + b)(a – b) avec a = x + 1 et b = x – 1.
b) 10 0012 – 9 9992 = (10 000 + 1)2 – (10 000 – 1)2 = 4 10 000 = 40 000 en prenant x = 10 000 dans la formule précédente.
Exercice 71.
a) 2x+4
x+2 = 2(x+2)
x+2 = 2 pour x – 2.
b) 6x−4
10x+20 = 2(3x−2)
10(x+2) = 3x−2
5(x+2) pour x – 2.
c) 5x2+4x
x = x×(5x+4)
x = 5x + 4 pour x 0.
d) 2x2+3x
x2+x = x(2x+3)
x(x+1) = 2x+3
x+1 pour x 0 et x – 1.
Exercice 72.
a) Conditions d’existence : x 0 et x – 1 ; 1
x+1 – 3
x = x
x(x+1) – 3(x+1)
x(x+1) = x−3(x+1)
x(x+1) = x−3x−3
x(x+1) = −2x−3 x(x+1) . b) Conditions d’existence : pour x 2 ;
2x+4 x−2 + 1
2 = 2(2x+4)
2(x−2) + 1(x−2)
2(x−2) = 4x+8+x−2
2(x−2) = 5x+6 2(x−2). c) Conditions d’existence : pour x 4 et x – 1 ;
4
x−4 – 3
x+1 = 4
x−4 – 3
x+1 = 4(x+1)
(x−4)(x+1) – 3(x−4)
(x−4)(x+1) = 4x+4−3x+12 (x−4)(x+1) = x+16
(x−4)(x+1)
d) Conditions d’existence : pour x – 3 et x 1 2; 2x+2
2x−1 + 3x
x+3 = (2x+2)(x+3)
(2x−1)(x+3) + 3x(2x−1) (x+3)(2x−1) = 2x2+6x+2x+6
(2x−1)(x+3) + 6x2−3x (x+3)(2x−1) = 8x2+5x+6
(2x−1)(x+3).
