LYCEE S.O. C. M'SAKEN 5/12/2006
DEVOIR DE SYNTHESE N°1
CLASSE : 3 MATH 1&2 DUREE : 2 heures
EXERCICE N°1
Soit f la fonction définie sur IR par : f (x ) = 1
3
²
x
x si x
- 1f ( x ) = x²1 - m x si x > - 1 où m est un paramètre réel On note ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( o , i , j )
1) Etudier , suivant les valeurs de m la limite de f en +
2) a) Etudier suivant les valeurs de m , la continuité de f en - 1
b) Justifier la continuité de f sur chacun des intervalles
,1
et
1,
c) En déduire , suivant les valeurs de m le domaine de continuité de f 3) a) Montrer que f est dérivable en – 2 et que f '(-2) =
9 11
b) Ecrire une équation cartésienne de la tangente T à ( C ) au point d'abscisse - 2 4) a) Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f ' ( 0 )
B ) On note T ' la tangente à ( C ) au point d'abscisse 0 . Déterminer le réel m pour que T et T’ soient parallèles 5) a) Déterminer les réels a , b et c tel que : x 1 ,
1 3
²
x
x = ax + b +
1 x
c
b ) En déduire que la droite d'équation y = x + 1 est une asymptote à ( C ) au voisinage de -
c) Etudier la position de ( C ) par rapport à sur
,1
6) On choisit m = 0 . Montrer que la droite D d'équation y = x est une asymptote à ( C ) au voisinage de +
EXERCICE N°2
Soit ( O , OA , OB ) un repère orthonormé direct du plan et ( C ) le cercle trigonométrique . Soit C et D les points de ( C ) tel que ( OA , OC )
- 356
2 et ( OA , OD )
- 134
21 ) a) Donner la mesure principale de chacun des angles orientes suivants : ( OA , OC ) , ( OA , OD ) et ( OC , OD) b) Placer les points C et D et déterminer leurs coordonnes cartésiennes
2) a) Donner les coordonnes polaires de C et D
b) Soient E , F et G les points tels que : OE = - 2OC , OF = 3OD et G le symétrique de C par rapport à la droite ( OA ) . Déterminer les coordonnées polaires des points E , F et G
3) Soit H et H ' les projetés orthogonaux respectivement de C et D sur la droite ( OA ) A ) Montrer que : OC . OD = OH . OH ' + HC .H 'D =
4 6 2 b- En déduire que cos (
12 7
) = 4
6 2
EXERCICE N°3
1) a ) On donne cos ( 2
) = 21 avec
,0 2
. Calculer cos
et sin
b) Soit A(
) = cos(
+ 2 3) + cos(
2 17
-
) + sin( 2
- 2 ) + sin( -
+ 3
) . Donner la valeur exacte de A (
)2) a) de la relation : 2cos²a = 1 + cos2a ; Montrer que : xIR; cos 4(x) = 8 3 +
2
1 cos2x + 8 1 cos4x
b) En déduire que : cos 4( 8
) + cos4( 8 3
) = 4 3
