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LYCEE S.O. C. M'SAKEN 5/12/2006

DEVOIR DE SYNTHESE N°1

CLASSE : 3 MATH 1&2 DUREE : 2 heures

EXERCICE N°1

Soit f la fonction définie sur IR par : f (x ) = 1

3

²



 x

x si x



^{- 1}

f ( x ) = x²1 - m x si x > - 1 où m est un paramètre réel On note ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( o , i , j )

1) Etudier , suivant les valeurs de m la limite de f en +



2) a) Etudier suivant les valeurs de m , la continuité de f en - 1

b) Justifier la continuité de f sur chacun des intervalles



,1



et



1,



c) En déduire , suivant les valeurs de m le domaine de continuité de f 3) a) Montrer que f est dérivable en – 2 et que f '(-2) =

9 11

b) Ecrire une équation cartésienne de la tangente T à ( C ) au point d'abscisse - 2 4) a) Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f ' ( 0 )

B ) On note T ' la tangente à ( C ) au point d'abscisse 0 . Déterminer le réel m pour que T et T’ soient parallèles 5) a) Déterminer les réels a , b et c tel que : x 1 ,

1 3

²



 x

x = ax + b +

1 x

c

b ) En déduire que la droite  d'équation y = x + 1 est une asymptote à ( C ) au voisinage de -



c) Etudier la position de ( C ) par rapport à  ^sur



,1



6) On choisit m = 0 . Montrer que la droite D d'équation y = x est une asymptote à ( C ) au voisinage de +

 EXERCICE N°2

Soit ( O , OA , OB ) un repère orthonormé direct du plan et ( C ) le cercle trigonométrique . Soit C et D les points de ( C ) tel que ( OA , OC )



^{- 35}₆^

^{ }

^2 et ( OA , OD )



^{- 13}₄^

^{ }

^2

1 ) a) Donner la mesure principale de chacun des angles orientes suivants : ( OA , OC ) , ( OA , OD ) et ( OC , OD) b) Placer les points C et D et déterminer leurs coordonnes cartésiennes

2) a) Donner les coordonnes polaires de C et D

b) Soient E , F et G les points tels que : OE = - 2OC , OF = 3OD et G le symétrique de C par rapport à la droite ( OA ) . Déterminer les coordonnées polaires des points E , F et G

3) Soit H et H ' les projetés orthogonaux respectivement de C et D sur la droite ( OA ) A ) Montrer que : OC . OD = OH . OH ' + HC .H 'D =

4 6 2 b- En déduire que cos (

12 7

) = 4

6 2

EXERCICE N°3

1) a ) On donne cos ( 2



) = 2

1 avec 



 ,0 2

  . Calculer cos



et sin



b) Soit A(



) = cos(



+ 2 3

) + cos(

2 17

-



) + sin( 2



- 2

 ) + sin( -



+ 3



) . Donner la valeur exacte de A (



)

2) a) de la relation : 2cos²a = 1 + cos2a ; Montrer que : xIR; cos ⁴(x) = 8 3 +

2

1 cos2x + 8 1 cos4x

b) En déduire que : cos ⁴( 8

 ) + cos⁴( 8 3

) = 4 3