Variables d’état Complément 5 Page 1 sur 4
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Pousse e d’Archime de
Le but de ce complément est d’introduire la poussée d’Archimède et de montrer sur un exemple comment la calculer à partir de l’expression des forces pressantes élémentaires.
I. La notion de poussée d’Archimède
A. Une situation physique
Nous considérons un corps plongé dans un liquide soumis à la pesanteur terrestre. Cela peut être une bille ou un morceau de bois dans de l’eau. Si ce corps a tendance à couler nous le soutenons et s’il a tendance à flotter nous appuyons dessus pour l’enfoncer pour qu’il soit entouré de fluide de toute part. Il pourrait aussi s’agir d’un corps dans un gaz, une montgolfière ou une gouttelette d’eau dans de l’air.
T02.C5 Figure 1 : Bille d’acier immergée et suspendue à une potence.
La figure concerne une bille d’acier plongée dans de l’eau et soutenue par un fil attaché à une potence. La bille est soumise aux forces pressantes exercées par l’eau ainsi qu’à son poids et à la tension du fil. Sous l’ensemble de ces forces elle est immobile donc en équilibre mécanique. Elle est aussi en équilibre thermique car il n’y a pas d’échange thermique, ni interne, ni avec le fluide. Le fluide est en équilibre thermique car il n’y a pas d’échange thermique, ni avec l’extérieur, ni en son sein et il est immobile donc en équilibre mécanique.
B. Définition de la poussée d’Archimède
On considère un corps immergé dans un fluide en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre. La poussée d’Archimède est la force pressante totale exercée sur le corps par le fluide, c’est-à-dire la somme vectorielle de toutes les forces pressantes élémentaires1.
C. Traduction mathématique de cette définition
Nous pouvons traduire la définition par une équation. Cela n’ajoute rien à sa signification mais peut éventuellement être le début du calcul d’une poussée d’Archimède. On note next(M) le vecteur unitaire perpendiculaire à l’élément de surface d’aire dS(M) entourant un point M, orienté du corps vers le fluide. Sur chaque élément de surface, le fluide exerce sur le corps immergé la force pressante dF(M) = - p(M) dS(M) next(M). Donc la poussée d’Archimède, somme vectorielle de toutes ces forces élémentaires, s’écrit :
( ) ( ) ext( )
S S
F =
dF=
−p M dS M n MLe signe « double intégrale cerclée » indique que l’intégration s’effectue sur la surface fermée S qui délimite le corps2. D. Expression de la poussée d’Archimède : Loi d’Archimède
On considère un corps plongé dans un fluide parfait en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre, donc ce corps est soumis à la poussée d’Archimède F. Puis on enlève le corps et on le remplace par du fluide. Cette partie de
1 Voir la notion de force pressante élémentaire dans le complément T02.C2.
2 Voir des exemples simples du fonctionnement de ces intégrales, T02.C3, § III. Pour une bille sphérique, c’est un peu plus compliqué mais réalisable, voir plus loin § II.
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fluide, appelée fluide déplacé, est en équilibre sous l’action de son poids Pfluide déplacé et de la même poussée d’Archimède F. Ce dernier point suppose que la présence ou l’absence du corps ne modifie pas le champ de pression.
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, cet équilibre se traduit par : 0
0
ext fluide déplacé
F
P F
=
+ =
fluide déplacé
F= −P
La poussée d’Archimède est l’opposée du poids du fluide déplacé : elle est verticale, orientée vers le haut, d’intensité égale à celle du poids du fluide déplacé. Euréka comme aurait dit Archimède !
II. Calcul direct de la poussée d’Archimède s’exerçant sur une sphère
A. Position du problème
On va calculer la poussée d’Archimède s’exerçant sur une sphère, plongée dans un fluide parfait en équilibre mécanique et thermique, en effectuant la somme vectorielle des forces pressantes. On montrera qu’elle est bien opposée au poids du fluide déplacé. Ce paragraphe poursuit le but de montrer encore une fois comment les intégrales sur une surface fonctionnent et qu’elles ne sont pas insurmontables ! De plus lorsqu’une des hypothèses de la loi d’Archimède n’est pas vérifiée il est nécessaire de recourir à ce type de calcul.
B. Description de la sphère et de son repérage
Son centre est en O, son rayon est r. Ses points sont rapportés au repère (Oxyz). L’axe (Oy) n’est pas représenté. Les points sont aussi repérés dans un système de coordonnées sphériques (r, θ, φ) dans lequel r = OM est la distance au centre, θ est la colatitude et φ, la longitude.
T02.C5 Figure 2 : La sphère et les surfaces élémentaires en coordonnées sphériques.
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C. Le champ de pression
Le fluide est parfait et en équilibre thermodynamique. D’après la loi fondamentale de l’hydrostatique la pression est donnée par la relation :
( )
p z = −g+cste= −g+B D. Les surfaces élémentaires découpées sur la sphère
La surface élémentaire de base en coordonnées sphériques est hachurée en bleu sur la figure 2. Elle est située entre le cercle (C) qui est le parallèle de colatitude θ et le parallèle de colatitude θ+dθ. Et entre les méridiens de longitudes φ et φ+dφ. La longueur de l’arc de méridien qui sépare les deux parallèles est rdθ car c’est un arc de cercle de rayon r et d’angle au centre dθ. La longueur de l’arc de parallèle qui sépare les deux méridiens est rsinθdφ car le rayon du parallèle (C) est rsinθ et l’angle au centre est dφ. L’aire de la surface élémentaire est donc dS = r2sinθdθdφ.
La surface élémentaire judicieuse est colorée en jaune sur la figure 2. Elle se caractérise par une cote constante donc une pression constante et c’est pourquoi elle est judicieuse. Elle est limitée par les deux parallèles de colatitudes θ et θ+dθ. La longueur du parallèle (C) est 2πrsinθ. La longueur de l’arc de méridien qui sépare les deux parallèles est rdθ. L’aire de cette surface élémentaire est donc dS’ = 2π r2sinθdθ.
Les paragraphes E & F s’appuient cependant sur la surface élémentaire de base.
E. Expression de la force pressante élémentaire
Sur la surface élémentaire de base, d’aire dS, s’exerce la force élémentaire :
( )
1 r r
dF = −pdS u = − B−gz dS u
Cette force est perpendiculaire à la surface élémentaire donc colinéaire au rayon de la sphère, orientée vers l’intérieur de la sphère. Voir encore figure 2. Remarque : L’origine des cotes étant le centre de la sphère, la constante B n’est pas la pression atmosphérique.
F. Deux contributions nulles
- Contribution de la constante B à la somme vectorielle : La somme vectorielle de toutes les forces pressantes dues au terme B est nulle car deux surfaces élémentaires diamétralement opposées sur la sphère sont soumises à deux forces élémentaires de même direction (le diamètre en question), orientées en sens contraires et de même intensité (B est constant). On s’intéresse donc uniquement à la force :
- Contribution de la composante horizontale de dF : On décompose cette force en ses composantes verticale dFz et horizontale dFh. Voir encore figure 2. La somme vectorielle de toutes les forces pressantes dues au terme dFh est nulle car deux surfaces élémentaires diamétralement opposées sur le cercle parallèle (C) sont soumises à deux forces élémentaires de même direction (le diamètre en question), orientées en sens contraires et de même intensité (z est constant donc p aussi ; ainsi que l’angle de projection π/2 -θ).
G. Calcul de la poussée d’Archimède
La poussée d’Archimède est égale à la contribution de la composante verticale de dF c’est-à-dire la somme vectorielle de toutes les forces élémentaires dFz.
Commentaire qualitatif : Celle qui est représentée sur la figure 2 est orientée vers le bas. Mais les forces pressantes s’exerçant sur la demi-sphère basse sont orientées vers le haut. Et le fluide est de plus en plus comprimé lorsqu’on descend verticalement à cause de son propre poids volumique3. La force pressante qu’il exerce est donc plus forte en bas qu’en haut de la sphère d’où une poussée d’Archimède orientée vers le haut.
3 Voir T02 § IV.E.1, T02.C3 § VI.B & T02.C4 § III.D.
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La mesure algébrique de la composante verticale dFz est constante sur le cercle (C) car z est constant donc p aussi et l’angle de projection θ l’est aussi. Donc la somme algébrique des composantes verticales sur la surface d’aire dS’
s’écrit :
2 2
'z cos ' cos 2 sin 2 cos sin
dF =gz dS =gz r d = g z r d
La cote z s’exprime en fonction de θ puis on substitue cette expression dans la force élémentaire et on en déduit la force totale :
3 2
3 2
0
' 2 cos sin avec cos
' ' 2 cos sin
z
z sphère z
dF g r d z r
F dF g r d
= =
=
=
On remarque que sinθdθ = -dcosθ et on effectue le changement de variable u = cosθ :
3 2 3 2
'z 2 cos cos 2
dF = − gr d = − gr u du Pour balayer toute la sphère θ varie de 0 à π et u=cosθ de +1 à -1 :
( )
3 1
1 3 2 3 1 2 3 3 3
1 1
1
1 1 4
' 2 2 2 2
3 3 3 3
z
F gr u du gr u du gr u gr r g
− − −
+ +
+
= − = − = −
= − − − =
3 3
4 4
'
3 3
z sphère fluide déplacé fluide déplacé
F =F k = r g k = − r g= −V g= −m g= −P
La poussée d’Archimède est l’opposée du poids du fluide déplacé. C.Q.F.D. !
H. Remarque
Lorsqu’on enlève toutes les explications le paragraphe II se résume à 7 lignes de calcul, environ une demi-page : ( )
p z = −g+cste= −g+B
( )
1 r r
dF = −pdS u = − B−gz dS u
dF =g zdS ur
2 2
'z cos ' cos 2 sin 2 cos sin
dF =gz dS =gz r d = g z r d
3 2
3 2
0
' 2 cos sin avec cos
' ' 2 cos sin
sphère
z
z z
dF g r d z r
F dF g r d
= =
=
=
3 2 3 2
'z 2 cos cos 2
dF = − gr d = − gr u du
( )
3 1
1 3 2 3 1 2 3 3 3
1 1
1
2 2 1 1 4
' 2 2
3 3 3 3
z
F gr u du gr u du gr u gr r g
− − −
+ +
+
= − = − −
= − = −
− =
La poussée d’Archimède se détermine naturellement en utilisant la loi d’Archimède. Cependant lorsqu’une des hypothèses de départ n’est pas vérifiée la loi d’Archimède ne s’applique pas et il est nécessaire de s’appuyer sur la définition des forces pressantes élémentaires pour obtenir la force pressante totale.
