Circuits du 1

(1)

Circuits linéaires du 1

^er

ordre en régime transitoire

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

lundi 4 octobre 2021

(2)

Généralités Circuits du 1er_ordre Aspect énergétique Points communs et différences entre le et le

Circuits du 1

^er

ordre

Ï un seul comportement caractérisé par un seul paramètre : la constante de temps

Ï les résultats sont universels et se retrouvent dans tout système dynamique régi par uneéquation différentielle du 1^erdegré linéaire

Ï résoudre l’équation différentielle = trouver l’évolution temporelle de la grandeur étudiée en fonction des conditions initiales Ï transposable immédiatement à d’autres phénomènes :

décroissance radioactive, cinétiques chimiques d’ordre 1, désexcitation d’un atome, équilibrage de niveaux d’eau (tuyaux étroits)

Ï on va le traiter pour le circuit RC, on adaptera pour le circuit RL

(3)

Définitions Réponse à un échelon Portraits de phase

1. Généralités

2. Circuits du 1^erordre 3. Aspect énergétique

4. Points communs et différences entre le et le

(4)

Équations différentielles

Ï uneéquation différentielleest une équation portant sur une fonction et ses dérivées. Pour une grandeur variant temporellement :

+ =cos(sin(ω)) +τ= τ +ω

+ω =ω cos(ω)

Ï résoudrecette équation consiste à trouver une fonction ( )qui, pour tout , vérifie l’équation

Ï elle estlinéairesi et ses dérivées n’interviennent que multipliées par des scalaires (éventuellement variables) mais pas par d’autres dérivées de Ï l’ordrede l’équation différentielle est l’ordre de dérivation maximal intervenant Ï on cherchera des solutions vérifiant desconditions initiales:

Ï _{( )=} pour une équation d’ordre

Ï ( )= et = ⁰ pour une équation d’ordre

Ï dans les conditions qu’on rencontrera il existeraune infinité de solutions maisune seulevérifiant les conditions initiales

(5)

1. Généralités 1.1 Définitions

1.2 Réponse à un échelon 1.3 Portraits de phase

(6)

Définitions

Définition (Régimes établis)

On définit les régimesétablis(aussi appeléspermanents)

stationnaire dans lequel les grandeurs électrocinétiques ( , , ) sont stationnaires,

sinusoïdal établi dans lequel elles varient toutes sinusoïdalement à la même pulsationω: ^{( )}= cosω.

(7)

Définitions

Définition (Régimes transitoire et libre)

On nommerégime transitoirel’évolution d’un système entre deux régimes établis. Pour un dipôle, Il s’agit d’unecharge(resp.

décharge) si l’énergie (électrostatique ou magnétique) du dipôle croît (resp. décroît).

On nommerégime librel’évolution en l’absence de source d’énergie.

(8)

Définitions

Définition (Ordre d’un circuit)

Un circuit linéaire est ditdu p^eordresi ses grandeurs électrocinétiques obéissent à une équation différentielle linéaire du p^eordre.

(9)

(10)

Fonction échelon

Définition (Fonction échelon)

On nommeéchelon(fonction de Heaviside) la fonctiondiscontinue en définie par :

< : ( )= Ê : ( )=

On appelleréponse à un échelon d’une grandeurl’évolution temporelle de cette grandeur dans un système soumis à une excitation constante par morceaux et discontinue. La grandeur étudiée est alors solution d’une équation différentielle dont le second membre s’exprime à l’aide de la fonction échelon.

(11)

Exemple charge d’un condensateur initialement déchargé

K

E

R u_R C i

u_C u

1 2

la charge ( )= pour < , interrupteur basculé à = ; le système est descriptible par les équations différentielles :

< + =

Ê + = ,

soit : + = ( )∀.

on sait résoudre pour $t<0 $ et Ê séparément, il restera à raccorder les deux solutions

(12)

Exemple charge d’un condensateur initialement déchargé

K

E

R u_R C i

u_C u

1 2

la charge ( )= pour < , interrupteur basculé à = ; le système est descriptible par les équations différentielles :

< + =

Ê + = ,

soit : + = ( )∀.

on sait résoudre pour $t<0 $ et Ê séparément, il restera à

(13)

(14)

Portraits de phase

Définition (Portraits de phase)

On nommeespace des phasesd’une grandeur qui évolue temporellement le plan d’abscisse et d’ordonnée^˙.

Une courbe ^{( ), ˙}particulière est unetrajectoire dans l’espace des phases.

La représentation de différentes trajectoires constitue unportrait de phase.

Exemples

Ï pour un circuit RC, on a ^{, ˙}, même allure que ^, Ï pour un circuit LR, on a , ˙, même allure que , Ï pour un oscillateur harmonique unidimensionnel , ˙

(15)

Portraits de phase

Exemples

Ï pour un circuit RC, on a ^{, ˙}, même allure que ^,

Ï pour un circuit LR, on a , ˙, même allure que , Ï pour un oscillateur harmonique unidimensionnel , ˙

(16)

Portraits de phase

Exemples

Ï pour un circuit RC, on a ^{, ˙}, même allure que ^, Ï pour un circuit LR, on a , ˙, même allure que ,

Ï pour un oscillateur harmonique unidimensionnel , ˙

(17)

Portraits de phase

Exemples

Ï pour un circuit RC, on a ^{, ˙}, même allure que ^, Ï pour un circuit LR, on a , ˙, même allure que , Ï pour un oscillateur harmonique unidimensionnel , ˙

(18)

Portraits de phase

Une courbe ( ), ˙particulière est unetrajectoire dans l’espace des phases.

le portrait de phase permettra de déduire certaines propriétés générales du systèmesans résoudre l’équation différentielle

(19)

Propriétés générales

Caractéristiques

Ï le sens de parcours est déterminé dans chaque quadrant : la trajectoire est parcourue dans le sens horaire

Ï elle intersecte l’axe ˙= orthogonalement (si la dérivée seconde est non nulle à cet instant)

(20)

Équation canonique Portrait de phase

Relaxation exponentielle vers l’asymptote Paramètres physiques

1. Généralités

(21)

1. Généralités

2. Circuits du 1^erordre 2.1 Équation canonique 2.2 Portrait de phase

2.3 Relaxation exponentielle vers l’asymptote 2.4 Paramètres physiques

3. Aspect énergétique

(22)

Équation canonique

Toutesles grandeurs électrocinétiques d’un circuit linéaire du premier ordre obéissent, en régime transitoire vers un état stationnaire, à la même équation ditecanonique. On a :

˙+ τ= ^∞

τ , où :

Ï est une tension, intensité, charge…

Ï τ> est laconstante de temps du circuit,

Ï _∞est la valeur asymptotique de en régime stationnaire, déterminéeen utilisant les modèles asymptotiques des dipôles en régime stationnaire.

(23)

Équation canonique

Constante de temps d’un circuit RC

La constante de temps d’un dipôle RC série estτ= .

(24)

Équation canonique

Constante de temps d’un circuit RC

La constante de temps d’un dipôle RC série estτ= .

Ï croît avec et

Ï typiquement : = kΩ, = µF→τ= · ⁻ s Ï souvent très rapide : à observer à l’oscilloscope

(25)

1. Généralités

(26)

Une simple droite

Ï on a˙= −( − ∞)/(τ): droite de pente− /(τ)dans l’espace des phases

Ï pour un système deτdonné, seul le point de départ changera avec les conditions initiales

(27)

Une simple droite

Ï on a˙= −( − ∞)/(τ): droite de pente− /(τ)dans l’espace des phases

Ï pour un système deτdonné, seul le point de départ changera avec les conditions initiales

(28)

Interprétation

Ï = ∞est un point stable car˙y est nul et pour 6= ∞,˙ est de signe opposé à − ∞: le système se « dirige » vers = ∞

Ï ˙ est d’autant plus élevé que est loin de _∞: on ralentit quand on se rapproche de _∞

Ï on est immobile « quand » on arrive à = ∞: on ne dépasse jamais = ∞

(29)

Interprétation

(30)

Interprétation

(31)

Interprétation

Ï = ∞est un point stable car^˙y est nul et pour 6= ∞,^˙ est de signe opposé à − ∞: le système se « dirige » vers = ∞

Ï le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées Ï on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindre _∞

(32)

Interprétation

Ï le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées

Ï on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindre _∞

(33)

Interprétation

Ï le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées Ï on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindre _∞

(34)

1. Généralités

(35)

Résolution

Théorème (Solution de l’équation différentielle canonique)

L’uniquesolution de l’équation canonique du premier ordrevérifiant ( )= se met sous la forme :

( )= ∞+( − ∞) ⁻^/^τ.

∞est indépendant des conditions initiales, au contraire de

(36)

Courbe

X0 X_∞

0 ^τ

63%

100%

t

x

Ï la tangente à l’origine à une courbe de relaxation exponentielle coupe son asymptote en =τ

Ï en =τ, une courbe d’amortissement exponentiel a parcouru %de

| − ∞|

Ï on considérera souvent qu’on a

« atteint » l’asymptote pour = τ, où

− ∞= , %de _∞−

(37)

Exercice

1 Tracer l’allure de la courbe ( )si le condensateur a une capacité = µF, porte initialement la charge

= · ⁻ C, et qu’on l’alimente avec une

alimentation stabilisée avec

= − , au travers d’une résistance = kΩ.

2 En déduire la valeur de à

= .

3 Sur la courbe ci-contre, distinguer les différents régimes transitoires et établis (ou permanents).

0 5 10 15

0 1

t(ms)

U(V)

(38)

1. Généralités

(39)

Conditions initiales

Continuité de l’énergie

Les conditions initiales de l’équation différentielle sont déterminées par lacontinuité de l’énergie emmagasinéepar le dipôle. Dans un condensateur, la charge et la tension seront toujours continues.

Aen revanche, l’intensité du courant dans un condensateur peut être discontinue

(40)

Conditions initiales

Continuité de l’énergie

Les conditions initiales de l’équation différentielle sont déterminées par lacontinuité de l’énergie emmagasinéepar le dipôle. Dans un condensateur, la charge et la tension seront toujours continues.

Aen revanche, l’intensité du courant dans un condensateur peut être discontinue

(41)

Exercice : Charge et décharge d’un condensateur

1 Déterminer, en utilisant les modèles asymptotiques des dipôles en régime stationnaire, les valeurs de , , et de quand l’interrupteur est en position et quand il est en position

depuis longtemps.

K

E

R u_R C i

u_C u

1 2

2 a est en position depuis un temps long. Il est basculé en à = . Déterminer ( ), et ( ).

b est en position depuis un temps long. Il est basculé en à = . Déterminer ( )et ( ).

3 On rajoute un résistor de résistance ⁰en parallèle du

condensateur. Le circuit a désormais deux mailles. Déterminer la nouvelle constante de temps du circuit et la nouvelle valeur maximale de et en déduire l’allure de la courbe.

(42)

Correction

1 position = = , = , = .

position = = = , = .

2 charge = ( − ⁻^/^τ), = ⁻^/^τ, décharge = ⁻^/^τ, = − ⁻^/^τ.

3 ^Ï On peut utiliser les lois de Kirchhoff pour établir l’équation vérifiée par la tension aux bornes du condensateur.

Ï Des transformations Thévenin/Norton permettent de montrer que τ⁰=τ ⁰/( + ⁰)et ,max= ⁰/( + ⁰)

4 Seules et sont continues, la discontinuité de se transmet à et .

(43)

Courbes générales : charge

X0

X∞

0 τ

63%

100%

t

chargeqou tensionu_C

0 τ

0(q∞−q0)/τ

63%

100%

t intensitéi

(44)

Courbes générales : décharge

X^∞ X₀

0 τ

63%

100%

t

chargeqou tensionu_C

0 τ

0(q∞−q0)/τ 63%

100%

t intensitéi

(45)

Décharge Charge

1. Généralités

(46)

Décharge Charge

1. Généralités

2. Circuits du 1^erordre 3. Aspect énergétique 3.1 Décharge 3.2 Charge

(47)

Décharge Charge

Décharge

Dissipation de l’énergie

Lors de la décharge d’un dipôle RC série, l’énergie électrostatique initialement stockée estentièrement dissipéepar effet Joule dans le résistor.

Ï si est la résistance d’une lampe : production de lumière (flash) Ï on peut également utiliser des supercondensateurs pour faire

fonctionner un moteur

(48)

Décharge Charge

Décharge

Dissipation de l’énergie

Lors de la décharge d’un dipôle RC série, l’énergie électrostatique initialement stockée estentièrement dissipéepar effet Joule dans le résistor.

Ï si est la résistance d’une lampe : production de lumière (flash) Ï on peut également utiliser des supercondensateurs pour faire

fonctionner un moteur

(49)

Décharge Charge

1. Généralités

2. Circuits du 1^erordre 3. Aspect énergétique 3.1 Décharge 3.2 Charge

(50)

Décharge Charge

Charge

Accumulation d’énergie

Lors de lacharge, sous la tension constante, d’un dipôle série RC de = à = , le générateur fournit une énergieEgenau dipôle qui se répartit pour moitié entre :

Ï l’énergie électrostatiqueEélec= , emmagasinée dans le condensateur,

Ï l’énergie dissipée par effet Joule dans le résistorEJ. Egen=Eélec+EJ EJ=Eélec=Egen/ .

Aon perdra toujours ^%d’énergie lors de la charge

(51)

Décharge Charge

Charge

Accumulation d’énergie

Lors de lacharge, sous la tension constante, d’un dipôle série RC de = à = , le générateur fournit une énergieEgenau dipôle qui se répartit pour moitié entre :

Ï l’énergie électrostatiqueEélec= , emmagasinée dans le condensateur,

Ï l’énergie dissipée par effet Joule dans le résistorEJ. Egen=Eélec+EJ EJ=Eélec=Egen/ . Aon perdra toujours ^%d’énergie lors de la charge

(52)

1. Généralités

(53)

Points communs et différences entre le et le

1 Proposer un montage permettant d’étudier la « charge » et la

« décharge » d’un dipôle , utilisant entre autres un générateur idéal de tension.

2 Établir l’équation différentielle d’évolution de l’intensité. En déduire l’expression de la constante de temps. Comparer sa variation avec au cas du dipôle .

3 Préciser quelle grandeur doit être continue et résoudre l’équation différentielle pour la charget et la décharge.

4 Tracer les allures des courbes correspondantes.

(54)

Indispensable

Ï déterminations des régimes asymptotiques avec les équivalents (interrupteurs ouverts ou fermés)

Ï forme générale de la solution du 1^erordre et sa courbe Ï les interprétations énergétiques