Circuits linéaires du 1

(1)

Circuits linéaires du 1

^er

ordre en régime transitoire

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

vendredi 29 novembre 2019

(2)

Généralités Circuits du 1erordre Aspect énergétique Points communs et différences entre leRLet leRC

Circuits linéaires du 1

^er

ordre en régime transitoire

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

vendredi 29 novembre 2019

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Circuits du 1

^er

ordre

I un seul comportement caractérisé par un seul paramètre : la constante de temps

I les résultats sont universels et se retrouvent dans tout système dynamique régi par uneéquation différentielle du 1^erdegré linéaire I résoudre l’équation différentielle = trouver l’évolution temporelle de

la grandeur étudiée en fonction des conditions initiales

I transposable immédiatement à d’autres phénomènes : décroissance radioactive, cinétiques chimiques d’ordre 1, désexcitation d’un atome, équilibrage de niveaux d’eau (tuyaux étroits)

I on va le traiter pour le circuit RC, on adaptera pour le circuit RL

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Définitions Réponse à un échelon Portraits de phase

1. Généralités

2. Circuits du 1^erordre 3. Aspect énergétique

4. Points communs et différences entre leRLet leRC

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Équations différentielles

I uneéquation différentielleest une équation portant sur une fonctionyet ses dérivées.

Pour une grandeuryvariant temporellement :

d²y dt²+t²

t²₀y²=cos(sin(ωt)) d¹y dt¹+y

τ = y0

τ d²y dt²+ω0

Q dy

dt+ω₀²y=ω²y0cos(ωt) I résoudrecette équation consiste à trouver une fonctiony(t)qui, pour toutt, vérifie

l’équation

I elle estlinéairesiyet ses dérivées n’interviennent que multipliées par des scalaires (éventuellement variables) mais pas par d’autres dérivées dey

I l’ordrede l’équation différentielle est l’ordre de dérivation maximal intervenant I on cherchera des solutions vérifiant desconditions initiales:

I y(0) =y0pour une équation d’ordre1 I y(0) =y0etdy

dt =y⁰₀pour une équation d’ordre2

I dans les conditions qu’on rencontrera il existeraune infinité de solutionsmais une seulevérifiant les conditions initiales

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1. Généralités 1.1 Définitions

1.2 Réponse à un échelon 1.3 Portraits de phase

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Définitions

Définition (Régimes établis) On définit les régimesétablis:

stationnaire dans lequel les grandeurs électrocinétiques (u,i,q) sont stationnaires,

sinusoïdal établi dans lequel elles varient toutes sinusoïdalement à la même pulsation ω:u(t) =U_mcosωt.

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Définitions

Définition (Régimes transitoire et libre)

On nommerégime transitoirel’évolution d’un système entre deux régimes établis. Pour un dipôle, Il s’agit d’unecharge(resp.décharge) si l’énergie (électrostatique ou magnétique) du dipôle croît (resp. décroît).

On nommerégime librel’évolution en l’absence de source d’énergie.

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Définitions

Définition (Ordre d’un circuit)

Un circuit linéaire est ditdu p^eordresi ses grandeurs électrocinétiques obéissent à une équation différentielle linéaire du p^eordre.

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(11)

Fonction échelon

Définition (Fonction échelon)

On nommeéchelon(fonction de Heaviside) la fonctiondiscontinue en0 définie par :

t<0 :H(t) = 0 t>0 :H(t) = 1

On appelleréponse à un échelon d’une grandeurl’évolution temporelle de cette grandeur dans un système soumis à une excitation constante par morceaux et discontinue. La grandeur étudiée est alors solution d’une équation différentielle dont le second membre s’exprime à l’aide de la fonction échelon.

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Exemple charge d’un condensateur initialement déchargé

K

E

R u_R C i

u_C u

1 2

la chargeq(t) = 0pourt<0, interrupteur basculé àt= 0; le système est descriptible par les équations différentielles :

t<0 RCduC

dt +uC= 0 t>0 RCdu_C

dt +u_C=E, soit: RCduC

dt +uC=EH(t)∀t.

on sait résoudre pour $t<0 $ ett>0séparément, il restera à raccorder les deux solutions

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Exemple charge d’un condensateur initialement déchargé

K

E

R u_R C i

u_C u

1 2

la chargeq(t) = 0pourt<0, interrupteur basculé àt= 0; le système est descriptible par les équations différentielles :

t<0 RCduC

dt +uC= 0 t>0 RCdu_C

dt +u_C=E, soit: RCduC

dt +uC=EH(t)∀t. on sait résoudre pour $t<0 $ ett>0séparément, il restera à raccorder les deux solutions

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Portraits de phase

Définition (Portraits de phase)

On nommeespace des phasesd’une grandeurxqui évolue temporellement le plan d’abscissexet d’ordonnéex.˙

Une courbex(t),x˙particulière est unetrajectoire dans l’espace des phases.

La représentation de différentes trajectoires constitue unportrait de phase.

Exemples

I pour un circuit RC, on auc,u˙c, même allure queuc,ic

I pour un circuit LR, on ai_L,i˙_L, même allure quei_L,u_L I pour un oscillateur harmonique unidimensionnelx,x˙

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Portraits de phase

Exemples

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Portraits de phase

Exemples

I pour un circuit LR, on ai_L,i˙_L, même allure quei_L,u_L

I pour un oscillateur harmonique unidimensionnelx,x˙

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Portraits de phase

Exemples

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Portraits de phase

le portrait de phase permettra de déduire certaines propriétés générales du systèmesans résoudre l’équation différentielle

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Propriétés générales

Caractéristiques

I le sens de parcours est déterminé dans chaque quadrant : la trajectoire est parcourue dans le sens horaire

I elle intersecte l’axex˙ = 0orthogonalement (si la dérivée seconded²x dt² est non nulle à cet instant)

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Équation canonique Portrait de phase

Relaxation exponentielle vers l’asymptote Paramètres physiques

1. Généralités

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1. Généralités

2. Circuits du 1^erordre 2.1 Équation canonique 2.2 Portrait de phase

2.3 Relaxation exponentielle vers l’asymptote 2.4 Paramètres physiques

3. Aspect énergétique

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Équation canonique

Toutesles grandeurs électrocinétiques d’un circuit linéaire du premier ordre obéissent, en régime transitoire vers un état stationnaire, à la même équation ditecanonique. On a :

x˙ +x

τ =X∞

τ , où :

I xest une tension, intensité, charge…

I τ >0est laconstante de temps du circuit,

I X∞est la valeur asymptotique dexen régime stationnaire, déterminéeen utilisant les modèles asymptotiques des dipôles en régime stationnaire.

I pour une charge de condensateur :u =E, pour une décharge

(24)

Équation canonique

Constante de temps d’un circuit RC

La constante de temps d’un dipôle RC série estτ=RC.

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Équation canonique

Constante de temps d’un circuit RC

La constante de temps d’un dipôle RC série estτ=RC.

I croît avecRetC

I typiquement :R=1 kΩ,C=1 µF→τ=1·10⁻³s I souvent très rapide : à observer à l’oscilloscope

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1. Généralités

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Une simple droite

I on ax˙ =−(x−X∞)/(τ): droite de pente−1/(τ)dans l’espace des phases

I pour un système deτdonné, seul le point de départ changera avec les conditions initiales

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Une simple droite

I on ax˙ =−(x−X∞)/(τ): droite de pente−1/(τ)dans l’espace des phases

I pour un système deτdonné, seul le point de départ changera avec les conditions initiales

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Interprétation

I x=X∞est un point stable carx˙y est nul et pourx6=X∞,x˙ est de signe opposé àx−X∞: le système se « dirige » versx=X∞

I x˙ est d’autant plus élevé quexest loin deX∞: on ralentit quand on se rapproche deX∞

I on est immobile « quand » on arrive àx=X∞: on ne dépasse jamais x=X∞

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Interprétation

(31)

Interprétation

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Interprétation

I le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées I on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindreX∞

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Interprétation

I le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées

I on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindreX∞

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Interprétation

I le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées I on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindreX∞

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1. Généralités

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Résolution

Théorème (Solution de l’équation différentielle canonique) L’uniquesolution de l’équation canonique du premier ordrevérifiant x(0) =X0se met sous la forme :

x(t) =X∞+ (X0−X∞)e^−t/τ.

X∞est indépendant des conditions initiales, au contraire deX0

(37)

Courbe

X₀ X∞

0 τ

63%

100%

t

x

I la tangente à l’origine à une courbe de relaxation exponentielle coupe son asymptote ent=τ

I ent=τ, une courbe d’amortissement exponentiel a parcouru63%de

|X0−X∞|

I on considérera souvent qu’on a

« atteint » l’asymptote pourt= 5τ, où x−X∞=0,7%deX∞−X0

1 Tracer l’allure de la courbeu_c(t)si le condensateur a une capacité C=1 µF, porte initialement la chargeQ=5·10⁻⁶C, et qu’on l’alimente avec une alimentation stabilisée avecE=−2 V, au travers d’une résistanceR=1 kΩ.

du

(38)

1. Généralités

(39)

Conditions initiales

Continuité de l’énergie

Les conditions initiales de l’équation différentielle sont déterminées par la continuité de l’énergie emmagasinéepar le dipôle. Dans uncondensateur, la chargeqet la tensionu_Cseront toujours continues.

Aen revanche,l’intensité du courant dans un condensateur peut être discontinue

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Conditions initiales

Continuité de l’énergie

Les conditions initiales de l’équation différentielle sont déterminées par la continuité de l’énergie emmagasinéepar le dipôle. Dans uncondensateur, la chargeqet la tensionu_Cseront toujours continues.

Aen revanche,l’intensité du courant dans un condensateur peut être discontinue

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Exercice : Charge et décharge d’un condensateur

1 Déterminer, en utilisant les modèles asymptotiques des dipôles en régime stationnaire, les valeurs dei,uR,uCet deqquand l’interrupteur est en position1et quand il est en position2 depuis longtemps.

K

E

R u_R C i

u_C u

1 2

2 a Kest en position2depuis un temps long. Il est basculé en1àt= 0.

DétermineruC(t),qeti(t).

b Kest en position1depuis un temps long. Il est basculé en2àt= 0.

DétermineruC(t)eti(t).

3 On rajoute un résistor de résistanceR⁰en parallèle du condensateur.

Déterminer la nouvelle constante de temps du circuit et la nouvelle valeur maximale deuC.

4 Préciser, parmi les grandeurs u, lesquelles sont continues.

(42)

Correction

1 position1 Uc=U=E,I= 0,UR= 0.

position2 Uc=U=UR= 0,I= 0.

2 charge u_C=E(1−e^−t^/τ),i= ^E_Re^−t^/τ, décharge u_C=Ee^−t^/τ,i=−^E_Re^−t^/τ.

3 Des transformations Thévenin/Norton permettent de montrer que τ⁰=τR⁰/(R+R⁰)etu_c,max=ER⁰/(R+R⁰)

4 SeulesqetuCsont continues, la discontinuité deise transmet àuRet U.

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Courbes générales : charge

X₀ X∞

0 τ

63%

100%

t

chargeqou tensionuC

0 τ

0(q∞−q0)/τ

63%

100%

t intensitéi

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Courbes générales : décharge

X∞

X₀

0 τ

63%

100%

t

chargeqou tensionuC

0 τ

0(q∞−q0)/τ 63%

100%

t intensitéi

(45)

Décharge Charge

1. Généralités

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Décharge Charge

1. Généralités

2. Circuits du 1^erordre 3. Aspect énergétique 3.1 Décharge 3.2 Charge

(47)

Décharge Charge

Décharge

Dissipation de l’énergie

Lors de la décharge d’un dipôle RC série, l’énergie électrostatique initialement stockée estentièrement dissipéepar effet Joule dans le résistor.

I siRest la résistance d’une lampe : production de lumière (flash) I on peut également utiliser des supercondensateurs pour faire

fonctionner un moteur

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Décharge Charge

Décharge

Dissipation de l’énergie

Lors de la décharge d’un dipôle RC série, l’énergie électrostatique initialement stockée estentièrement dissipéepar effet Joule dans le résistor.

I siRest la résistance d’une lampe : production de lumière (flash) I on peut également utiliser des supercondensateurs pour faire

fonctionner un moteur

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Décharge Charge

1. Généralités

2. Circuits du 1^erordre 3. Aspect énergétique 3.1 Décharge 3.2 Charge

(50)

Décharge Charge

Charge

Accumulation d’énergie

Lors de lacharge, sous la tensionEconstante, d’un dipôle série RC de u_C= 0àu_C=E, le générateur fournit une énergieE_genau dipôle qui se répartit pour moitié entre :

I l’énergie électrostatiqueE_élec= ^CE₂², emmagasinée dans le condensateur,

I l’énergie dissipée par effet Joule dans le résistorE_J.

E_gen=E_élec+E_J E_J=E_élec=E_gen/2.

Aon perdra toujours50%d’énergie lors de la charge

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Décharge Charge

Charge

Accumulation d’énergie

Lors de lacharge, sous la tensionEconstante, d’un dipôle série RC de u_C= 0àu_C=E, le générateur fournit une énergieE_genau dipôle qui se répartit pour moitié entre :

I l’énergie électrostatiqueE_élec= ^CE₂², emmagasinée dans le condensateur,

I l’énergie dissipée par effet Joule dans le résistorE_J.

E_gen=E_élec+E_J E_J=E_élec=E_gen/2.

Aon perdra toujours50%d’énergie lors de la charge

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1. Généralités

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Points communs et différences entre le RL et le RC

1 Proposer un montage permettant d’étudier la « charge » et la

« décharge » d’un dipôleRL, utilisant entre autres un générateur idéal de tension.

2 Établir l’équation différentielle d’évolution de l’intensité. En déduire l’expression de la constante de temps. Comparer sa variation avecR au cas du dipôleRC.

3 Préciser quelle grandeur doit être continue et résoudre l’équation différentielle pour la charget et la décharge.

4 Tracer les allures des courbes correspondantes.

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Indispensable

I déterminations des régimes asymptotiques avec les équivalents (interrupteurs ouverts ou fermés)

I forme générale de la solution du 1^erordre et sa courbe I les interprétations énergétiques