Partie 1 Circuits bool´eens.

ENSEIRB-MATMECA

Option second semestre, 2011/2012

Information Quantique

Corrig´ e du DM- Mars 2012

Partie 1 Circuits bool´eens.

1- Montrons que l’ensemble de portes G 0 := { NOT , OR , AND , COPY } est complet.

Le circuit suivant calcule ⊕ :

COPY [(1, 2), 2] COPY [(3, 4), 3] NOT [(3), 4] AND [(1, 3), 4] NOT [(2), 3] AND [(2, 3), 3] OR [(1, 2), 2]

Le circuit suivant calcule SWAP (en notant ⊕ le circuit ci-dessus) :

COPY [(1, 2), 2] ⊕ [(2, 3), 3] COPY [(2, 3), 2] ⊕ [(1, 2), 3] COPY [(1), 2] ⊕ [(2, 3), 3].

On montre maintenant, par r´ecurrence sur n ≥ 1, que toute fonction f : B ⁿ → B est calculable par un circuit sur G 0 .

Fonctions B → B :

l’identit´e est calcul´ee par le circuit vide (ou bien NOT [(1), 1] NOT [(1), 1], si l’on a horreur du vide) ;

la fonction x 7→ 0 est calcul´ee par ;

COPY [(1, 2), 1] NOT [(1), 2] AND [(1, 2), 2]

la fonction x 7→ 1 est calcul´ee par ;

COPY [(1, 2), 1] NOT [(1), 2] OR [(1, 2), 2]

la fonction x 7→ x ¯ est calcul´ee par la porte NOT .

Soit f : B ⁿ⁺¹ → B (avec n ≥ 1). Alors, pour tous x ∈ B, y ∈ B ⁿ , f (x, y) = x · f (1, y) + ¯ x · f (0, y).

Par hypoth`ese de r´ecurrence la fonction y 7→ f (1, y) (resp. y 7→ f (0, y)) est calcul´ee par un circuit C ₁ (resp. C ₀ ) d’arit´e (n, 1).

En utilisant le circuit SWAP ci-dessus, on peut construire un circuit COPY _n ,

d’arit´e (n, 2n) qui calcule y 7→ (y, y).

La fonction f est donc calcul´ee par le circuit :

COPY [(1, 2), n + 2] COPY _n [(3, 4, . . . , n + 2), (3, 4 . . . , 2n + 2)]

C ₁ [(1, 3, 4, . . . , n + 2), (1)]C ₀ [(2, 3, 4, . . . , n + 2), (2)] OR [(1, 2), 2]

o` u nous notons C i [L 1 , L 2 ] le circuit C i appliqu´ee ` a la liste de positions L 1

et transmettant ses r´esutats ` a la liste de positions L ₂ ;

Dans le cas g´en´eral, on consid`ere une application f : B <sup>n</sup> → B <sup>m</sup> . Elle est de la forme (f 1 , . . . , f m ) et chacune des fonctions f j est calcul´ee par un circuit C <sub>j</sub> . En effectuant d’abord m copies de chaque argument puis en appliquant C <sub>j</sub> ` a la j-i`eme copie des arguments, on obtient un circuit qui calcule f.

2- Montrons que l’ensemble de portes G 1 := { NAND , COPY } est complet.

Le circuit suivant calcule NOT :

COPY [(1, 2), 1] NAND [(1, 2), 2]

Le circuit suivant calcule AND :

NAND [(1, 2), 1] NOT [(1), 1]

Bien sˆ ur, les lois de Morgan ram`enent le connecteur + au connecteur · par x + y = ¯ x · y ¯

ce qui fournit le circuit suivant pour calculer OR :

NOT [(1), 2] NOT [(2), 2] AND [(1, 2), 2] NOT [(1), 1]

Donc chaque porte de G 0 est calculable par un circuit sur les portes de G 1 . Comme G 0 est complet, G 1 est complet.

3- La fonction constante nulle de B dans B est d´ecrite par : x 7→ NOT ( NAND ( NOT (x), x)) ce qui correspond au circuit :

COPY [(1), 1] NOT [(1), 2] NAND [(1, 2), 2] NOT [(1), 1]

qui, en rempla¸cant chaque NOT par le circuit donn´e plus haut donne le circuit :

COPY [(1), 1] COPY [(1, 2), 2] NAND [(1, 2), 3] NAND [(1, 2), 2] COPY [(1, 2), 1] NAND [(1, 2), 2]

La fonction cNOT : B ² → B ² est d´ecrite par : (x, y) 7→ (x, x ⊕ y)

= (x, x¯ y + ¯ xy)

= (x, x¯ y · xy) ¯

= (x, NAND (x¯ y, xy)) ¯

= (x, NAND ( NAND (x, NOT (y)), NAND ( NOT (x), y))).

ce qui correspond au circuit :

COPY [(1, 2), 2] COPY [(3, 4), 3] COPY [(1, 2), 4] NOT [(3), 5] NOT [(4), 5]

NAND [(2, 4), 5] NAND [(3, 4), 4] NAND [(2, 3), 3]

4- { OR , AND , COPY } :non-complet ; toute fonction B ⁿ → B calcul´ee par un circuit sur ces portes est croissante.

{ NOT , OR , COPY } :complet ; en effet AND peut ˆetre calcul´e par un circuit sur les portes { NOT , OR , COPY } et { NOT , OR , COPY , AND } est complet.

{ NOT , AND , COPY } :complet ; en effet OR peut ˆetre calcul´e par un circuit sur les portes { NOT , OR , COPY } .

{ NOT , ⊕ , COPY } : non-complet ; toute fonction B ⁿ → B calcul´ee par un circuit sur ces portes est affine. Or la fonction (x, y, z) 7→ (x, y, x ⊕ yz) (porte de Toffoli) n’est pas affine.

{ NAND } : non-complet ; toute fonction B ⁿ → B ^m calcul´ee par un circuit sur ces portes v´erifie que m ≤ n. Donc COPY n’est pas calculable par un circuit sur cet ensemble de portes.

{ NOT , AND , OR } :non-complet ; mˆeme argument que pour { NAND } . Partie 2

Circuits bool´eens r´eversibles.

Une porte bool´eenne P , d’arit´e (n, m) est dite r´ eversible ssi n = m et P est une bijection de B ⁿ dans lui-mˆeme. On appelle circuit bool´een r´eversible tout circuit bool´een qui n’utilise que des portes r´eversibles.

1- Remarquons que SWAP [(i, j), n] calcule la transposition des variables d’in- dices i, j i.e. l’application t _i,j : B ⁿ → B ⁿ d´efiunie par :

t _i,j (x _i ) = x _j , t _i,j (x _j ) = x _i , t _i,j (x _k ) = x _k pour k ∈ [1, n] \ { i, j } . Toute composition de portes SWAP est donc une permutation des variables :

f σ (x i ) = x _σ(i) , pour i ∈ [1, n].

Inversement, comme toute permutation σ : [1, n] → [1, n] est un produit fini de transpositions, l’application correspondante f _σ est calculable par un cir- cuit sur { SWAP } . Finalement, l’ensemble des applications bool´eennes calcu- lables sur l’ensemble de portes { SWAP } est exactement { f _σ | n ≥ 1, σ ∈ S n } . 2- Soit cNOT : F ² ₂ → F ² ₂

(x, y) 7→ (x, x ⊕ y)

est l’application lin´eaire, dont la matrice, dans la base canonique est 1 0

1 1

. Cette matrice a pour d´eterminant 1, donc cNOT est un automorphisme d’espace vectoriel.

De mˆeme SWAP est l’automorphisme d’espace vectoriel dont la matrice dans la base canonique est

0 1 1 0

. Un circuit de la forme P [(a ₁ , a ₂ ), n], pour P ∈ { SWAP , cNOT } , calcule alors un automorphisme de F ⁿ ₂ qui vaut P sur le sous-espace engendr´e par les vecteurs e a

, e a

de la base canonique et l’identit´e sur le sous-espace suppl´ementaire engendr´e par les vecteurs { e _j | j / ∈ { a ₁ , a ₂ }} .

R´eciproquement, consid´erons un automorphisme ϕ de l’espace vectoriel F ⁿ ₂ . Il a une matrice K sur la base canonique. Par des op´erations ´el´ementaires de

“combinaisons lin´eaires de lignes” i.e. de remplacement de la ligne j par la ligne i + la ligne j (pour 1 ≤ i < j ≤ n)on peut ramener K a une matrice K ^′ qui est diagonale sup´erieure. Mais chacune de ces op´erations ´el´ementaires est de la forme : H 7→ E _i,j · H, o ` u E _i,j est la matrice qui, restreinte aux lignes et colonnes i, j vaut

1 0 1 1

, c’est ` a dire cNOT . De mˆeme, par des op´erations

´el´ementaires de “combinaisons lin´eaires de colonnes” i.e. de remplacement de la colonne j par la colonne i + la colonne j (pour 1 ≤ i < j ≤ n), on peut ramener la matrice K ^′ a une forme diagonale , i.e. ici ` a la matrice I n . Chacune de ces op´erations ´el´ementaires sur les colonnes est de la forme : H 7→ H · E <sub>i,j</sub> <sup>′</sup> , o` u E _i,j ^′ est la matrice qui, restreinte aux lignes et colonnes i, j vaut

1 1 0 1

, et vaut l’identit´e sur les autres lignes et colonnes, c’est ` a dire SWAP [(i, j), n] · cNOT · SWAP [(i, j), n].

Il existe donc des circuits cNOT [A ₁ , n], . . . , cNOT [A _m , n] et aussi cNOT [B 1 , n], . . . , cNOT [B m , n] tels que

cNOT [A _m , n] · · · cNOT [A ₁ , n] · K · SWAP [B ₁ , n] cNOT [B ₁ , n] SWAP [B ₁ , n] · · ·

SWAP [B _m , n] cNOT [B _m , n] SWAP [B _m , n] = I _n .

On en conclut que

K = cNOT [A 1 , n] · · · cNOT [A m , n] SWAP [B m , n] cNOT [B m , n] SWAP [B m , n] · · · SWAP [B ₁ , n] cNOT [B ₁ , n] SWAP [B ₁ , n].

L’application ϕ est donc calcul´ee par le circuit sur { SWAP , cNOT } :

SWAP [B ₁ , n] cNOT [B ₁ , n] SWAP [B _m , n] · · · SWAP [B _m , n] cNOT [B _m , n] SWAP [B _m , n] cNOT [A _m , n] · · · cNOT 3- 3.1 On sait d´ej`a que SWAP [A, n] et cNOT [A, n] sont des automorphismes

lin´eaires, donc des automorphismes affines. De plus NOT : x 7→ (x ⊕ 1) est un automorphisme affine. Plus g´en´eralement NOT [(i), n] : − → x 7→ ( − → x ⊕ e _i ) est un automorphisme affine de F ⁿ ₂ .

Donc toute application B ⁿ → B ⁿ calculable par un circuit sur l’ensemble de portes { SWAP , NOT , cNOT } est un automorphisme affine.

3.2 Soit un automorphisme affine ϕ : F ⁿ ₂ → F ⁿ ₂ ϕ( − → x ) = (M − → x ) ⊕ − → x ₀ .

On a vu (P.2, qu.2) que − → x 7→ M − → x est calculable par un circuit C _M sur { SWAP , cNOT } . Soit A := a ₁ , . . . a _p la liste croissante des indices tels que

−

→ x ₀ = P p

i=1 e _a

. Alors l’application − → x 7→ − → x ⊕ − → x ₀ est calcul´ee par le circuit : C ^{− →} _x

:= NOT [(a ₁ ), n] · · · NOT [(a _i ), n] · · · NOT [(a _p ), n].

Finalement, ϕ est calcul´ee par le circuit C _M C ^{− →} _x

.

4- Supposons que TOF soit affine. Comme TOF (0, 0, 0) = (0, 0, 0), TOF serait lin´eaire. Or

TOF (1, 0, 1) = (1, 0, 1), TOF (0, 1, 1) = (0, 1, 1), TOF (1, 1, 0) = (1, 1, 1) 6 = (1, 0, 1) ⊕ (0, 1, 1) 5.1 Soit f : B ⁿ → B ^m une application calcul´ee par un circuit C sur un

ensemble de portes bool´eennes G . Utilisons la notation de la P.1 qu.1. Sup- posons que C est de la forme

P ₁ [A ₁ , B ₁ ] . . . P _i [A _i , B _i ] . . . P _ℓ [A _ℓ , B _ℓ ].

Construisons le circuit

C ₀ ^′ := P ₁ ^′ [A ^′ ₁ , R 1 ] . . . P _i ^′ [A ^′ _i , R i ] . . . P _ℓ ^′ [A ^′ _ℓ , R _ℓ ].

en d´efinissant :

P _i ^′ := P _i,⊕ , R _i := [n + | B ₁ | + . . . + | B _i−1 | + 1, n + | B ₁ | + . . . + | B _i | ] et A ^′ _i est la suite des positions, dans le circuit C ₀ ^′ , o` u se trouvent, apr`es les i − 1 premi`eres portes de C <sub>0</sub> <sup>′</sup> , les arguments qui ´etaient plac´es dans A <sub>i</sub> , dans le circuit C, apr`es les i − 1 premi`eres portes de C.

Le nombre d’entr´ees du circuit C ₀ ^′ est donc :

L := n + | B ₁ | + . . . + | B _i | + . . . + | B _ℓ | .

Le circuit C ₀ ^′ simule le circuit C, mais en stockant le r´esultat de la i-i`eme porte dans les positions de R <sub>i</sub> . En fin de calcul, le r´esultat f ( − → x ) se trouve dans une certaine suite de positions (a 1 , . . . , a m ). il suffit donc de permuter les bits de positions (1, . . . , m) et (a <sub>1</sub> , a <sub>2</sub> , . . . , a <sub>m</sub> ) pour obtenir le circuit C <sup>′</sup> . On utilise un circuit SWAP <sub>σ</sub> , qui calcule une permutation f <sub>σ</sub> o` u σ est une permutation de [1, n] qui envoie (a 1 , . . . , a m ) sur (1, . . . , m).

C ^′ := P ₁ ^′ [A ^′ ₁ , R ₁ ] . . . P _i ^′ [A ^′ _i , R _i ] . . . P _ℓ ^′ [A ^′ _ℓ , R _ℓ ] SWAP _σ et l’on a

C ^′ ( − → x , 0 ^L−n ) = (f ( − → x ), g( − → x )).

pour une certaine application g.

5.2 La taille de C ^′ est ℓ + m i.e. la taille de C plus m.

5.3 L’arit´e de C ^′ est L = arite(C) + P _ℓ

i=1 | B _i | Si l’ensemble de portes G est fini, on a donc

arite(C ^′ ) = O( arite(C) + taille (C)).

6- 6.1 on utilise un circuit cNOT _m , constitu´e de m portes cNOT , qui calcule l’application

(x ₁ , x ₂ , . . . , x _m , y ₁ , y ₂ , . . . , y _m ) 7→ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _m , y ₁ ⊕ x ₁ , y ₂ ⊕ x ₂ , . . . , y _m ⊕ x _m ) (i.e. cNOT appliqu´e successivement aux m couples (x _i , y _i ) pour i ∈ [1, m]).

On utilise un circuit SWAP _m , constitu´e de m portes SWAP , qui calcule l’ap- plication (x 1 , x 2 , . . . , x m , x m+1 , . . . , x 2m ) 7→ (x m+1 , . . . , x 2m , x 1 , x 2 , . . . , x m ) (´echange du premier bloc de m bits avec le second bloc de m bits). Consid´erons le circuit C ^′′ d’arit´e L + m d´efini par :

C ^′′ := SWAP _m [(n + 1, . . . , n + m, L + 1, . . . , L + m)]

C ^′ [(1, . . . , L)]

cNOT _m [(1, . . . , m, L + 1 . . . , L + m)]

C ^′−1 [(1, . . . , L)]

SWAP _m [(n + 1, . . . , n + m, L + 1 . . . , L + m)].

Il calcule l’application

( − → x , − → y , 0 ^L−n ) ^SWAP

[(n+1,...,n+m,L+1...,L+m)]

→ ( − → x , 0 ^L−n , − → y )

C

[(1,...,L)]

→ (f ( − → x ), g( − → x ), − → y )

cNOT

[(1,...,m,L+1,...,L+m)]

→ (f ( − → x ), g( − → x ), − → y ⊕ f ( − → x ))

C

[(1,...,L)]

→ ( − → x , 0 ^L−n , − → y ⊕ f ( − → x ))

SWAP

[(n+1,...,n+m,L+1...,L+m)]

→ ( − → x , − → y ⊕ f( − → x ), 0 ^L−n ).

Donc C ^′′ r´epond ` a la question.

6.2 taille de C ^′′ = 2 taille (C ^′ )+ taille ( cNOT _m ) + 2 taille ( SWAP _m )= 2 taille (C ^′ )+ 3m= O( arite(C) + taille (C).

7- Notons G ² := { SWAP , cNOT , TOF } .

7.1 Montrons que G 2 est complet. D’apr`es les questions P.1 qu.4 et P.2 qu.6, il suffit de montrer que les fonctions { NOT _⊕ , AND _⊕ , COPY _⊕ } sont calculables par des circuits sur G 2 .

NOT _⊕ = cNOT qui appartient ` a G 2 . AND <sub>⊕</sub> = TOF qui appartient ` a G 2 .

COPY _⊕ : (x, y, z) 7→ (x, y ⊕ x, z ⊕ x), qui est calcul´ee par le circuit : cNOT [(1, 2)] cNOT [(1, 3)].

7.2 Montrons maintenant que G 3 := { SWAP , NOT , TOF } est complet.

Il suffit de montrer que cNOT est calculable par un circuit sur G ³ . Consid´erons le circuit

D := NOT [(3)] SWAP [(2, 3)] TOF [(1, 2, 3)] SWAP [(2, 3)] NOT [(3)]

Il calcule l’application

(x, y, 0) ^NOT → ^[(3)] (x, y, 1)

SWAP [(2,3)]

→ (x, 1, y))

TOF [(1,2,3)]

→ (x, 1, y ⊕ x)

SWAP [(2,3)]

→ (x, y ⊕ x, 1)

NOT [(3)]

→ (x, y ⊕ x, 0).

Partie 3

Circuits quantiques.

1- Soit f : B ⁿ → B ⁿ une bijection.

1.1- Consid´erons ˆ f : B ^⊗n → B ^⊗n telle que :

f ˆ | x ₁ , . . . , x _n i = | f(x ₁ , . . . , x _n ) i .

L’image de chaque vecteur de la base orthonorm´ee B := {| x ₁ , . . . , x _n i | (x ₁ , . . . , x _n ) ∈ B ⁿ } est un vecteur de cette base, donc est de norme 1. Par ailleurs, comme f est injective, si − → x 6 = − → y , les vecteurs ˆ f ( − → x ), f ˆ ( − → y ) sont des

´el´ements diff´erents de la base B , donc ils ont orthogonaux. Par cons´equent f ˆ est unitaire.

1.2- D’apr`es la question P.2 qu.7, f est calculable par un circuit C (avec variables auxiliaires) sur { SWAP , NOT , TOF } . Le circuit ˆ C obtenu ` a par- tir de C en rempla¸cant chaque porte SWAP (resp. NOT , TOF ) par la porte quantique SWAP ˆ (resp. NOT ˆ , TOF ˆ ) calcule ˆ f .

2- Consid´erons l’application AND _k : B ^k → B . qui envoie (x ₁ , . . . , x _k ) sur la conjonction de tous les x _i (i ∈ [1, k]). D’apr`es la question P.2 qu.7, il existe un circuit sur { SWAP , NOT , TOF } qui calcule la bijection corres- pondante AND <sub>k,⊕</sub> : B <sup>k+1</sup> → B <sup>k+1</sup> . Consid´erons la permutation circulaire P : B <sup>n−k+1</sup> → B <sup>n−k+1</sup> , (x <sub>k+1</sub> , . . . , x <sub>n</sub> , y) 7→ (y, x <sub>k+1</sub> , . . . , x <sub>n</sub> ). D’apr`es la question P.2 qu.7, il existe un circuit sur { SWAP , NOT , TOF } qui calcule P et un autre circuit qui calcule P ⁻¹ . Dans ce qui suit nous notons, pour tous entiers 1 ≤ i < j ≤ n, − → x _i,j := (x _i , . . . , x _j ). Le circuit suivant, sur n + 1 q-bits, calcule Λ ^k (U ), avec une variable auxiliaire :

P [(k + 1, . . . , n + 1)] AND _k,⊕ [(1, 2, . . . k + 1)]Λ ¹ (U )[(k + 1, . . . , n + 1)]

AND _k,⊕ [(1, 2, . . . k + 1)]P ⁻¹ [(k + 1, . . . , n + 1)].

En effet, si Q k

i=1 x i = 1 alors

|− → x _1,k , − → x _k+1,n , 0 i ^P [(k+1,...,n+1)]

→ |− → x _1,k , 0, − → x _k+1,n i

AND

[(1,2,...k+1)]

→

−

→ x _1,k ,

k

Y

i=1

x _i , − → x _k+1,n +

Λ

(U)[(k+1,...,n+1)]

→ |− → x _1,k , 1 i ⊗ U |− → x _k+1,n i ( car le bit de contrˆ ole vaut 1)

AND

[(1,2,...k+1)]

→ |− → x _1,k , 0 i ⊗ U |− → x _k+1,n i

P

[(k+1,...,n+1)]

→ |− → x _1,k i ⊗ U |− → x _k+1,n i ⊗ | 0 i .

et si Q _k

i=1 x _i = 0 alors

|− → x _1,k , − → x _k+1,n , 0 i ^P [(k+1,...,n+1)]

→ |− → x _1,k , 0, − → x _k+1,n i

AND

[(1,2,...k+1)]

→

−

→ x _1,k ,

k

Y

i=1

x i , − → x _k+1,n +

Λ

(U)[(k+1,...,n+1)]

→ |− → x _1,k , 0 i ⊗ |− → x _k+1,n i ( car le bit de contrˆ ole vaut 0)

AND

[(1,2,...,k+1)]

→ |− → x _1,k , 0 i ⊗ U |− → x _k+1,n i

P

[(k+1,...,n+1)]

→ |− → x _1,k i ⊗ U |− → x _k+1,n i ⊗ | 0 i .

3.1 Montrons par r´ecurrence sur M ≥ 2 que, pour tout vecteur colonne uni- taire − → v ∈ M _M,1 (C), il existe des op´erateurs unitaires V ₁ , V ₂ , . . . , V _M−1 sur C ^M tels que :

V ₁ · V ₂ · · · V _{M −1} − → v = | 1 i

et chaque V _i laisse invariant, point par point, le sous-espace engendr´e par {| j i | 1 ≤ j ≤ M, j 6 = i, j 6 = i + 1 } .

Base : M = 2 Soit − → v =

a b

avec | a | ² + | b | ² = 1. Posons V ₁ :=

a ¯ ¯ b

− b a

On v´erifie que V 1 ∈ U (2) et V 1 · − → v = | 1 i . (La propri´et´e d’invariance est ici trivialement v´erifi´ee).

Induction : supposons que la propri´et´e est vraie pour M. Soit

−

→ v =













 a 1

a ₂ .. . a _M a _M+1















avec P _M+1

i=1 | a _i | ² = 1.

Posons

V _M :=





I M−1 O M−1,2

O _2,M−1 √ ¹

|a

|

+|a

|

a ¯ _M ¯ a _{M +1}

− a _{M +1} a _M





On v´erifie que V _M ∈ U (2) et

V _M · − → v =















a 1

.. . a M−1

p | a _M | ² + | a _M+1 | ² 0















Appliquons l’hypoth`ese de r´ecurrence au vecteur-colonne de dimension (M, 1) :











a ₁ .. . a _{M −1} p | a _M | ² + | a _M+1 | ²











. Il existe donc des op´erateurs unitaires V ₁ ^′ , V ₂ ^′ , . . . , V _M ^′ ₋₁

sur C ^M tels que :

V ₁ ^′ · V ₂ ^′ · · · V _M ^′ ₋₁











a ₁ .. . a _{M −1} p | a M | ² + | a M +1 | ²











=





 1

.. . 0







et chaque V _i ^′ laisse invariant, point par point, le sous-espace engendr´e par {| j i | 1 ≤ j ≤ M, j 6 = i, j 6 = i + 1 } . Posons

V _i :=

V _i ^′ O M,1

O _1,M 1

.

Cette suite d’op´erateurs unitaires V 1 , . . . , V M −1 v´erifie V ₁ · · · V _{M −1} V _M − → v = | 1 i

Par hypoth ‘ese de r´ecurrence, chaque V _i laisse invariant chaque vecteur | j i pour j / ∈ { i, i + 1 } . De plus il laisse invariant | M + 1 i . Donc la condition d’invariance est v´erifi´ee.

3.2 prouvons , par r´ecurrence sur M ≥ 2, la propri´et´e demand´ee.

Base :M = 2.

D’apr`es la question 3.1, il existe V ₁ ^′ ∈ U (2) telle que V ₁ ^′ U | 1 i = | 1 i .

Sachant que la matrice V ₁ ^′ U est unitaire, elle est de la forme 1 0

0 u ^′

.

pour un nombre complexe u ^′ tel que | u ^′ | = 1. Posons V ₁ :=

1 0 0 u ^′−1

· V ₁ ^′ . On a bien

V ₁ U = I ₂ et V 1 est unitaire.

Induction :M → M + 1.

Consid´erons les matrices unitaires V ₁ , . . . , V _M fournies par la question 3.1 : V 1 · V 2 · · · V M U est de la forme

1 O _M,1 O _1,M U ^′

o` u U <sup>′</sup> est une matrice unitaire de dimension (M, M). Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe des op´erateurs unitaires V ₁ ^′ , . . . , V _M ^′ _(M−1)/2 sur C ^M tels que :

V ₁ ^′ · V ₂ ^′ · · · V _M(M ^′ _−1)/2 · U ^′ = I _M . D´efinissons alors

V _i ^′′ :=

1 O _M,1 O _1,M U _i ^′

Finalement :

V ₁ ^′′ · V ₂ ^′′ · · · V _M(M ^′′ _−1)/2 · V ₁ · V ₂ · · · V _M U = I _{M +1} , et les matrices V _i ^′′ , V _j v´erifient les conditions demand´ees.

4- Revenons au cas d’un op´erateur unitaire U sur B ^⊗n .

4.1 En appliquant la question 3, ` a l’op´erateur U ⁻¹ , avec M = 2 ⁿ , on voit que U a une d´ecomposition sous la forme :

V ₁ · V ₂ · · · V _{M (M −1)/2}

o` u, pour chaque i ∈ [1, M (M − 1)/2], il existe un entier s _i ∈ [1, M − 1] tel que V _i laisse invariant, point par point, le sous-espace engendr´e par {| j i | 1 ≤ j ≤ M, j 6 = s i , j 6 = s i + 1 } . Les vecteurs | s i i , | s i+1 i sont des vecteurs de la base canonique de B ^⊗n , i.e. ils sont de la forme

−

→ b E , |− → c i

pour des vecteurs de bool´eens − → b , − → c ∈ B ⁿ . Soit f _i une permutation de B ⁿ telle que :

f i ( − →

b ) = (1, 1, . . . , 1, 0) f i ( − → c ) = (1, 1, . . . , 1, 1)

Soit U _i la matrice (2, 2) extraite de V _i en ne retenant que les lignes et colonnes s _i , s _i+1 . On a alors :

V _i = ˆ f _i ⁻¹ · Λ ⁿ⁻¹ (U _i ) · f ˆ _i . Donc

U = ˆ f ₁ ⁻¹ · Λ ⁿ⁻¹ (U ₁ ) · f ˆ ₁ · f ˆ ₂ ⁻¹ · Λ ⁿ⁻¹ (U ₂ ) · f ˆ ₂ · · · f ˆ _M(M−1)/2 ⁻¹ · Λ ⁿ⁻¹ (U _{M (M−1)/2} ) · f ˆ _{M(M −1)/2} . (1)

4.2 Dans la decomposition (1) :

- chaque ˆ f _i , f ˆ _i ⁻¹ est calculable par un circuit sur { SWAP ˆ , NOT ˆ , TOF ˆ } (d’apr`es P.2, qu.1.2)

- chaque Λ ⁿ⁻¹ (U i ) est calculable par un circuit sur { SWAP ˆ , NOT ˆ , TOF ˆ , Λ ¹ (U i ) } (d’apr`es P.2, qu.2).

Donc U est calculable par un circuit sur l’ensemble propos´e.

5- La question 4.2 montre que l’ensemble de portes

{ SWAP ˆ , NOT ˆ , TOF ˆ } ∪ { Λ ¹ (U ) | U ∈ U (2) } est complet.

Partie 4

G´en´erateurs topologiques de SU (2).

Soient ( | 0 i , | 1 i ), ( | u i , | v i ) deux bases orthonorm´ees. Notons M(ϕ, ψ) la ma- trice S(ϕ)HS(ψ)H. Un calcul direct montre que

M (ϕ, ψ) 1

0

= 1

2

1 + e ^iψ e ^iϕ − e ^i(ψ+ϕ)

∼

cos(ψ/2)) sin(ψ/2))e ^i(ϕ−π/2)

Les coordonn´ees de | u i dans la base | 0 i , | 1 i sont de la forme a

b

avec

| a | ² + | b | ² = 1.

Il existe donc θ ∈ R tel que

| a | = cos(θ), | b | = sin(θ) Il existe η ₁ , η ₂ ∈ R tels que

a = cos(θ)e ^iη

, b = sin(θ)e ^iη

.

Donc

| u i ∼

cos(θ)

sin(θ)e ^i(η

^−η

⁾

Choisissons : ψ := 2θ, ϕ := π/2 + η ₁ − η ₂ . On a alors : S(ϕ)HS(ψ)H | 0 i ∼

cos(ψ/2)

sin(ψ/2)e ^i(ϕ−π/2)

=

cos(θ)

sin(θ)e ^i(η

^−η

⁾

∼ | u i .

Comme M (ϕ, ψ) est unitaire le vecteur M(ϕ, ψ) | 1 i est orthogonal ` a M(ϕ, ψ) | 0 i , donc ` a | u i . Mais | u i ^⊥ est de dimension 1, donc

S(ϕ)HS(ψ)H | 1 i ∼ | v i .

2- Soit U ∈ SU (2). D´efinissons | u i := U | 0 i , | v i := U | 1 i . D’apr`es la question 1, il existe ϕ, ψ ∈ R tels que

S(ϕ)HS(ψ)H | 0 i = e ^iα

| u i , S (ϕ)HS(ψ)H | 0 i = e ^iα

| v i pour des nombres α ₁ , α ₂ ∈ R. Cela revient ` a

S(ϕ)HS(ψ)H

e ^−iα

0 0 e ^−iα

= U. (2)

On remarque que

S(ϕ) = e ^iϕ/2 R( − ϕ/2), S(ψ) = e ^iψ/2 R( − ψ/2)

donc l’´egalit´e (2) s’´ecrit aussi :

e ^iϕ/2 R( − ϕ/2)He ^iψ/2 R( − ψ/2)H

e ^−iα

0 0 e ^−iα

= U.

ce qui, apr`es commutation des coefficients complexes avec les matrices nous donne :

R( − ϕ/2)HR( − ψ/2)H λ 0

0 µ

= U.

pour les coefficients λ = e iϕ/2+ψ/2−iα

, µ = e iϕ/2+iψ/2−iα

de module 1.

Comme det(U ) = 1 et det(R( − ϕ/2)HR( − ψ/2)H) = 1, det(

λ 0 0 µ

) = 1 i.e. λµ = 1, ce qui prouve qu’il existe γ ∈ R tel que

λ 0 0 µ

= R(γ). En posant α := − ϕ/2, β := − ψ/2 on a finalement :

R(α)HR(β)HR(γ) = U.

3- On v´erifie que ³⁺⁴ⁱ ₅ et ³⁻⁴ⁱ ₅ sont de module 1 et sont conjugu´es. Donc, si α ₁ est un argument de ³⁺⁴ⁱ ₅ on a bien : R ₁ = R(α ₁ ) et R ₋₁ = R( − α ₁ ).

4- Supposons qu’il existe des entiers p ∈ Z , q ∈ N \ { 0 } tels que ^α _π

= ^p _q . Montrons qu’on aboutit ` a une contradiction.

On aurait e ^2qiα

= e ^2piπ = 1 i.e. ( ³⁺⁴ⁱ ₅ ) ^2q = 1 i.e.

(3 + 4i) ^2q = 5 ^2q . (3)

Rappelons que l’anneau des entiers de Gauss, Z[i] est euclidien, ce qui im- plique qu’il est factoriel : tout ´el´ement de cet anneau a une d’ecomposi- tion en produit d’´el´ements irr´eductibles et cette d´ecomposition est unique (` a ´equivalence pr´es des irr´eductibles modulo les unit´es de l’anneau). On constate que :

3 + 4i = (2 + i) ² = − (1 + 2i) ² , 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) L’´egalit´e (3) entrainerait donc que

(1 + 2i) ^2q = (1 − 2i) ^2q . (4)

Comme le carr´e de la norme de (1 + 2i) (resp. 1 − 2i) est le nombre premier 5, 1 + 2i et 1 − 2i sont irr´eductibles. Pour chaque unit´e ε ∈ { 1, − 1, i, − i } on v´erifie que 1 + 2i 6 = ε(1 − 2i), donc (4) serait une double d´ecomposition en irr´eductibles, ce qui est impossible.

5- Comme ^α _π

∈ R \ Q, { n ^α _π

+ m | n, m ∈ Z } est un sous-groupe dense de R.

(Cette propri´et´e fait, classiquement, l’objet d’exercices de Maths de niveau Bac + 1/2). Esquissons une solution de cet “exercice classique”.

Posons

G := { nα ₂ + m | n, m ∈ Z } (o` u α ₂ = ^α _π

) et

δ := inf { G ∩ R ⁺ \ { 0 }} .

On prouve ais´ement que G ∩ R ⁺ \ { 0 } est une partie non-vide de R, et elle est minor´ee par 0 ; donc ce nombre δ existe.

Cas 1 : δ = 0

Dans ce cas, ∀ ε > 0, ∃ g ∈ G, 0 < g < ε. On en conclut que G = R.

Cas 2 : δ > 0

Soit g ∈ G. ∃ n ∈ Z | nδ ≤ g < (n + 1)δ. Mais si nδ < g < (n + 1)δ alors 0 < g − nδ < δ, ce qui contredit la d´efinition de δ.

Donc, ∀ g ∈ G, ∃ n ∈ Z | g = nδ.

Donc il existe des entiers p, q ∈ Z tels que α ₂ = pδ, 1 = qδ ce qui entraine

que α ₂ = ^p _q , contrairement ` a l’hypoth`ese que α ₂ est irrationnel. Ce cas 2 est donc impossible.

Par ailleurs, l’application pr : R → R/Z qui ` a tout nombre r´eel associe sa classe, est continue. Donc

pr( { nα ₂ + m | n, m ∈ Z } ) ⊆ pr( { nα ₂ + m | n, m ∈ Z } ), i.e.

pr(R) ⊆ pr( { nα ₂ | n ∈ Z } ), et comme pr est aussi un homomorphisme de groupes

R/Z = { npr(α ₂ ) | n ∈ Z } . On en d´eduit que

R/2πZ = { npr _π (α ₁ ) | n ∈ Z } .

(o` u pr _π : R → R/2πZ est la projection canonique). 6- L’application R : R/2πZ → U (2) d´efinie par ϕ ^. 7→ R(ϕ) est un homorphisme de groupes qui est continu. Donc

R( h α ₁ , − α ₁ i ) ⊆ R( h α ₁ , − α ₁ i ) par continuit´e

= h R(α ₁ ), R( − α ₁ ) i morphisme de groupes . Comme h α ₁ , − α ₁ i = R/2πZ (en utilisant la question 5), l’inclusion ci-dessus montre que

R /2π Z ⊆ h R(α ₁ ), R( − α ₁ ) i .

7- Soit U ∈ SU (2). D’apr`es la question 2, il existe α, β, γ ∈ R tels que R(α)HR(β)HR(γ) = U.

ce qui revient ` a

R(α)iHR(β)iHR(γ + π) = U.

D’apr`es la question 6, il existe des suites ℓ _k , m _k , n _k ∈ Z telles que

k→∞ lim R(ℓ _k α ₁ ) = R(α), lim

k→∞ R(m _k α ₁ ) = R(β), lim

k→∞ R(n _k α ₁ ) = R(γ + π).

Ce qui entraˆıne que

k→∞ lim R(ℓ _k α ₁ )iHR(m _k α ₁ )iHR(n _k α ₁ ) = U

Or chaque matrice R(ℓ _k α ₁ )iHR(m _k α ₁ )iHR(n _k α ₁ ) appartient ` a h iH, R ₁ , R ₋₁ i . Donc

U ∈ h iH, R ₁ , R ₋₁ i .

8- Soit U ∈ U (2). Soit d = det(U ) et soit c ∈ C tel que c ² = d. Alors c ⁻¹ U ∈ SU (2), donc , d’apr`es la question 2, il existe α, β, γ ∈ R tels que

R(α)HR(β)HR(γ) = c ⁻¹ U Soit δ ∈ R tel que c = e ^iδ . On a alors

R(α)HR(β)HR(γ )D(δ) = U.

D’apr`es la question 6, il existe des suites ℓ _k , m _k , n _k , p _k ∈ Z telles que

k→∞ lim R(ℓ _k α ₁ ) = R(α), lim

k→∞ R(m _k α ₁ ) = R(β), lim

k→∞ R(n _k α ₁ ) = R(γ+π). lim

k→∞ D(p _k α ₁ ) = D(δ) Comme ` a la question 7, on en conclut que

U ∈ h iH, R 1 , R −1 , D 1 , D −1 , i .

Partie 5

Ensembles de portes quantiques topologiquement complets.

1- Notons

Q 0 := { SWAP ˆ , NOT ˆ , TOF ˆ } ∪ { Λ ¹ (U ), U ∈ U (2) } .

Q 1 := { SWAP ˆ , NOT ˆ , TOF ˆ } ∪ { Λ ¹ (H), Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (R ₋₁ ), Λ ¹ (D ₁ ), Λ ¹ (D ₋₁ ) } . Soient U, U ^′ ∈ U (2). On v´erifie que

k U − U ^′ k = k Λ ¹ (U ) − Λ ¹ (U ^′ ) k . On d´eduit donc de la question P.4-qu.8 que :

∀ U ∈ U (2), Λ ¹ (U ) ∈ h Λ ¹ (iH), Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (R ₋₁ ), Λ ¹ (D ₁ ), Λ ¹ (D ₋₁ ) i . (5) Comme iId ₂ = D(π/2), en utilisant le mˆeme raisonnement qu’`a la question P.4-qu.8

iId ₂ ∈ h D ₁ , D ₋₁ i . donc

Λ ¹ (iId ₂ ) ∈ h Λ ¹ (H), Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (R ₋₁ ), Λ ¹ (D ₁ ), Λ ¹ (D ₋₁ ) i .

ce qui entraine que

Λ ¹ (iH) ∈ h Λ ¹ (H), Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (R ₋₁ ), Λ ¹ (D ₁ ), Λ ¹ (D ₋₁ ) i . (6) On d´eduit de (5) et de (6) que :

∀ U ∈ U (2), Λ ¹ (U ) ∈ h Λ ¹ (H), Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (R ₋₁ ), Λ ¹ (D ₁ ), Λ ¹ (D ₋₁ ) i . (7) Soit U ∈ B ^⊗n pour n ≥ 2. D’apr`es la question P.3, qu. 5, Q 0 est complet.

Donc il existe un circuit

P ₁ [A ₁ , n]P ₂ [A ₂ , n] . . . P _ℓ [A _ℓ , n]

qui calcule U et dont les portes P ₁ , . . . , P _ℓ appartiennent ` a Q 0 . Soient

i 1 < i 2 < . . . < i p

les indices des portes qui appartiennent ` a { Λ <sup>1</sup> (U ), U ∈ U (2) } . D’apr`es (7), chaque porte P _i

est limite de produits finis

C _i

_,k ∈ h{ Λ ¹ (H), Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (R ₋₁ ), Λ ¹ (D ₁ ), Λ ¹ (D ₋₁ ) i P _i

= lim

k→∞ C _i

_,k . Pour les P _i ∈ { SWAP , NOT , TOF } on pose

C _i,k = P _i . On en d´eduit que

U = lim

k→∞

ℓ

Y

i=1

C _i,k [A _i , n].

et les portes C _i,k appartiennent ` a Q ¹ . Donc Q ¹ est topologiquement complet.

**2- On d´etermine des sous-ensembles stricts de l’ensemble Q 1 qui restent topologiquement complets .

´ etape 1 : On d´ecompose la porte ˆ TOF sur les portes cNOT ˆ et Λ ¹ (U ), Λ ¹ (U ^† ) (o` u U est une transformation unitaire telle que U ² = NOT ˆ ). On obtient ainsi

Q 2 := { SWAP ˆ , NOT ˆ , cNOT ˆ , Λ ¹ (U ), Λ ¹ (U ^† ) }∪{ Λ ¹ (H), Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (R ₋₁ ), Λ ¹ (D ₁ ), Λ ¹ (D ₋₁ ) } . On d´efinit le circuit sur 3 qbits :

T := Λ ¹ (U )[(2, 3)] cNOT ˆ [(1, 2)]Λ ¹ (U ^† )[(2, 3)] cNOT ˆ [(1, 2)]Λ ¹ (U )[(1, 3)]

On v´erifie que pour tout triplet de bool´eens (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ { 0, 1 } ³ ) on a :

| x ₁ x ₂ x ₃ i → ^T | x ₁ x ₂ i ⊗ | x ₃ i si (x ₁ , x ₂ ) 6 = (1, 1)

| x 1 x 2 x 3 i → | ^T x 1 x 2 i ⊗ U ² | x 3 i si (x 1 , x 2 ) = (1, 1)

Donc U T (la transformation unitaire calcul´ee par T ) et TOF ˆ sont ´egales.

´ etape 2 : On enl`eve NOT ˆ , cNOT ˆ , Λ ¹ (U ), Λ ¹ (U ^† ).

NOT ˆ est calcul´e, avec une variable auxiliaire, par un circuit sur { SWAP ˆ , cNOT ˆ } . Donc on peut l’enlever.

Les transformations cNOT ˆ , Λ ¹ (U ), Λ ¹ (U ^† ) appartiennent au sous-groupe ferm´e engendr´e par { Λ ¹ (H), Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (R ₋₁ ), Λ ¹ (D ₁ ), Λ ¹ (D ₋₁ ) } . On peut donc les enlever. On obtient

Q ³ := { SWAP ˆ } ∪ { Λ ¹ (H), Λ ¹ (R 1 ), Λ ¹ (R −1 ), Λ ¹ (D 1 ), Λ ¹ (D −1 ) } .

´ etape 3 : On enl`eve Λ ¹ (R −1 ) et Λ ¹ (D −1 ).

On a prouv´e ` a la question P.4, qu. 5 que

R/2πZ = { npr _π (α ₁ ) | n ∈ Z } .

Consid´erons la classe de 0 : comme elle est point d’accumulation de classes de la forme npr _π (α ₁ ) avec n ∈ Z, l’un des deux cas ci-dessous se produit.

Cas 1 : pr _π (0) = lim _p→∞ n _p pr _π (α ₁ ) et ∀ p, n _p ≥ 0.

Remarquons que la suite n _p est non-born´ee (i.e. n’a pas de majorant) car , pour tout p , pr _π (0) 6 = n _p pr _π (α ₁ ).

Soit ϕ ∈ R : alors

ϕ = lim

p→∞ m _p pr _π (α ₁ )

o` u m _p ∈ Z. Choisissons , pour chaque p, un entier ψ(p) tel que n _ψ(p) > | m _p | . Alors

ϕ = lim

p→∞ (n _ψ(p) + m p )pr _π (α 1 ) et les entiers n _ψ (p) + m _p sont tous positifs.

Cas 2 : pr _π (0) = lim _p→∞ n _p pr _π (α ₁ ) et ∀ p, n _p ≤ 0, La suite − n _p n’a pas de majorant. Soit ϕ ∈ R : alors

− ϕ = lim

p→∞ m _p pr _π (α ₁ )

o` u m _p ∈ Z. Choisissons , pour chaque p, un entier ψ(p) tel que − n _ψ(p) >

| m _p | . Alors

− ϕ = lim

p→∞ (n _ψ(p) + m _p )pr _π (α ₁ )

et les entiers n _ψ(p) + m _p sont tous n´egatifs.

Donc

ϕ = lim

p→∞ ( − n _ψ(p) − m _p )pr _π (α ₁ ) et les entiers − n _ψ (p) − m _p sont tous positifs.

On en conclut que

h R 1 i = { R(ϕ) | ϕ ∈ R } . Par une raisonnement analogue

h D ₁ i = { D(ϕ) | ϕ ∈ R } .

Q ⁴ := { SWAP ˆ } ∪ { Λ ¹ (H), Λ ¹ (R 1 ), Λ ¹ (D 1 ) } , est donc topologiquement compl`ete.

Au del` a du DM : On peut se r´eduire ` a un ensemble de la forme { SWAP ˆ }∪

{ V } , o` u V ∈ U (6). On dit que V est une porte universelle.

Esquisse de construction d’une porte universelle ` a partir de Q ⁴ .

´ etape 4 : On remplace Λ ¹ (R ₁ ), Λ ¹ (D ₁ ) par Λ ¹ (R(α)D(β)), o` u l’on choisit des angles α, β tels que, (α, β, π) sont lin´eairement ind´ependants sur Q.

Lemme : Si (1, α, β) sont lin´eairement ind´ependants sur Q alors { pr(nα, nβ) | n ∈ Z } est dense dans R/Z ² .

On en d´eduit que, si (α, β, π) sont lin´eairement ind´ependants sur Q alors h R(α)D(β) i est le sous-groupe des matrices diagonales de U (2). (8) On choisit des angles α, β par

e ^iα = 3 + 4i

5 , e ^iβ = 5 + 12i 13 .

On montre que (α, β, π) sont lin´eairement ind´ependants sur Q : si ⁿ _q α +

m

q β + 2 ^p _q π = 0 alors

e ^inα · e ^imβ = 1 i.e.

( 3 + 4i

5 ) ⁿ · ( 5 + 12i 13 ) ^m = 1 donc

(3 + 4i) ⁿ · (5 + 12i) ^m = 5 ⁿ · 13 ^m

En tenant compte des d´ecompositions en facteurs premiers dans Z [i] cela donne :

( − 2 + i) ²ⁿ (5 + 12i) ^m = (1 + 2i) ⁿ (1 − 2i) ⁿ (2 + 3i) ^m (2 − 3i) ^m

Comme le facteur premier (5 + 12i) n’apparait pas dans le membre droit m = 0. Donc

( − 2 + i) ²ⁿ = (1 + 2i) ⁿ (1 − 2i) ⁿ

et comme le facteur (1 − 2i) n’a pas de facteur associ´e dans le membre gauche, n = 0, qed.

On en conclut que

Q 5 := { SWAP ˆ } ∪ { Λ ¹ (H), Λ ¹ (M ) } , o` u M = R(α)D(β) = ₆₅ ¹

− 33 + 56i 0

0 63 + 16i

est topologiquement compl`ete.

´ etape 5 : On remplace { Λ ¹ (H), Λ ¹ (M ) } par Λ ¹ (H ⊗ M).

Q 6 := { SWAP ˆ , Λ ¹ (H ⊗ M) } , Soit R est une matrice diagonale, unitaire, telle que

R ⁴ = M.

Notons G _2m l’ensemble des applications unitaires B ^⊗m → B ^⊗m qui sont li- mites de circuits sur les portes de Q 6 . Cet ensemble est un mono¨ıde (car le produit de matrices est continu). On remarque que, H ⊗ Id et Id ⊗ M com- mutent. Comme { M } est un g´en´erateur topologique du groupe des matrices diagonales (de dimension 2 sur C), il existe des suite d’entiers positifs n _p , m _p telles que

M ⁿ

→ p→∞ R, M ^m

→ p→∞ R ⁻¹ (9) On en d´eduit que

(Λ ¹ (H ⊗ M )) ⁴ⁿ

→ p→∞ Λ ¹ (Id ⊗ M), (Λ ¹ (H ⊗ M )) ^4m

→ p→∞ Λ ¹ (Id ⊗ M ⁻¹ ), En utilisant le second qbit comme un qbit auxiliaire, on obtient que

Λ ¹ (M ) ∈ G ₄ (10)

Comme Λ ¹ (H ⊗ M ) ∈ G ₆ , Λ ¹ (Id ⊗ M ⁻¹ ) ∈ G ₆ , on obtient, par produit, que Λ ¹ (H ⊗ Id) ∈ G ₆

et par suite

Λ ¹ (H) ∈ G ₄ (11)

Puisque les portes de Q 6 engendrent les 3 portes de Q 5 , Q 6 est topologique- ment compl`ete.

R´ef´erences :

Des portes universelles ont ´et´e trouv´ees par D. Deutsch [Proc. R. Soc. Lon-

don. A 425, 73 (1989)] puis A. Barenco [“a Universal Two-Bit Gate for

Quantum Computation”, Proc. R. Soc. London A, June 1995].