Ï on a˙= −( − ∞)/(τ): droite de pente− /(τ)dans l’espace des phases
Ï pour un système deτdonné, seul le point de départ changera avec les conditions initiales
Généralités Circuits du 1erordre Aspect énergétique Points communs et différences entre le et le
Équation canonique Portrait de phase
Relaxation exponentielle vers l’asymptote Paramètres physiques
Une simple droite
Ï on a˙= −( − ∞)/(τ): droite de pente− /(τ)dans l’espace des phases
Ï pour un système deτdonné, seul le point de départ changera avec les conditions initiales
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Équation canonique Portrait de phase
Relaxation exponentielle vers l’asymptote Paramètres physiques
Interprétation
Ï = ∞est un point stable car˙y est nul et pour 6= ∞,˙ est de signe opposé à − ∞: le système se « dirige » vers = ∞
Ï ˙ est d’autant plus élevé que est loin de ∞: on ralentit quand on se rapproche de ∞
Ï on est immobile « quand » on arrive à = ∞: on ne dépasse jamais = ∞
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Interprétation
Ï = ∞est un point stable car˙y est nul et pour 6= ∞,˙ est de signe opposé à − ∞: le système se « dirige » vers = ∞
Ï ˙ est d’autant plus élevé que est loin de ∞: on ralentit quand on se rapproche de ∞
Ï on est immobile « quand » on arrive à = ∞: on ne dépasse jamais = ∞
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Équation canonique Portrait de phase
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Interprétation
Ï = ∞est un point stable car˙y est nul et pour 6= ∞,˙ est de signe opposé à − ∞: le système se « dirige » vers = ∞
Ï ˙ est d’autant plus élevé que est loin de ∞: on ralentit quand on se rapproche de ∞
Ï on est immobile « quand » on arrive à = ∞: on ne dépasse jamais = ∞
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Interprétation
Ï = ∞est un point stable car˙y est nul et pour 6= ∞,˙ est de signe opposé à − ∞: le système se « dirige » vers = ∞
Ï ˙ est d’autant plus élevé que est loin de ∞: on ralentit quand on se rapproche de ∞
Ï on est immobile « quand » on arrive à = ∞: on ne dépasse jamais = ∞
Ï le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées Ï on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindre ∞
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Équation canonique Portrait de phase
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Interprétation
Ï = ∞est un point stable car˙y est nul et pour 6= ∞,˙ est de signe opposé à − ∞: le système se « dirige » vers = ∞
Ï ˙ est d’autant plus élevé que est loin de ∞: on ralentit quand on se rapproche de ∞
Ï on est immobile « quand » on arrive à = ∞: on ne dépasse jamais = ∞
Ï le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées
Ï on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindre ∞
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Interprétation
Ï = ∞est un point stable car˙y est nul et pour 6= ∞,˙ est de signe opposé à − ∞: le système se « dirige » vers = ∞
Ï ˙ est d’autant plus élevé que est loin de ∞: on ralentit quand on se rapproche de ∞
Ï on est immobile « quand » on arrive à = ∞: on ne dépasse jamais = ∞
Ï le portrait de phase ne renseigne pas directement sur les durées Ï on va voir qu’il faut un temps infini pour atteindre ∞
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1. Généralités
2. Circuits du 1erordre 2.1 Équation canonique 2.2 Portrait de phase
2.3 Relaxation exponentielle vers l’asymptote 2.4 Paramètres physiques
3. Aspect énergétique
4. Points communs et différences entre le et le
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Équation canonique Portrait de phase
Relaxation exponentielle vers l’asymptote Paramètres physiques
Résolution
Théorème (Solution de l’équation différentielle canonique)
L’uniquesolution de l’équation canonique du premier ordrevérifiant ( )= se met sous la forme :
( )= ∞+( − ∞) −/τ.
∞est indépendant des conditions initiales, au contraire de
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Relaxation exponentielle vers l’asymptote Paramètres physiques
Ï la tangente à l’origine à une courbe de relaxation exponentielle coupe son asymptote en =τ
Ï en =τ, une courbe d’amortissement exponentiel a parcouru %de
| − ∞|
Ï on considérera souvent qu’on a
« atteint » l’asymptote pour = τ, où
− ∞= , %de ∞−
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Équation canonique Portrait de phase
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Exercice
1 Tracer l’allure de la courbe ( )si le condensateur a une capacité = µF, porte initialement la charge
= · − C, et qu’on l’alimente avec une
alimentation stabilisée avec
= − , au travers d’une résistance = kΩ.
2 En déduire la valeur de à
= .
3 Sur la courbe ci-contre, distinguer les différents régimes transitoires et établis (ou permanents).
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1. Généralités
2. Circuits du 1erordre 2.1 Équation canonique 2.2 Portrait de phase
2.3 Relaxation exponentielle vers l’asymptote 2.4 Paramètres physiques
3. Aspect énergétique
4. Points communs et différences entre le et le
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