Circuits linéaires du 1 er ordre

1. Dipôles électriques dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) 1.1. Intensité d'un courant variable

En régime continu, on a vu que ; l'intensité du courant est le débit moyen de charges qui traversent une section S de conducteur.

1.2. ARQS

La loi des nœuds et la loi des mailles, établies en régime continu, restent valables en régime variable sous certaines conditions qui constituent l'approximation des régimes quasi-stationnaires.

Les phénomènes électriques ont une vitesse de déplacement caractéristique c dans un milieu conducteur. Par exemple, lorsqu'on appuie sur un interrupteur pour éclairer une pièce, le courant électrique ne traverse pas instantanément l'ampoule. Il lui faut une durée où L est la longueur du fil entre l'ampoule et l'interrupteur.

Pour le courant alternatif 50 Hz domestique, T = 2.10^-2 s. Si la longueur du fil entre l'ampoule et l'interrupteur vaut L = 1 m et qu'on considère c = 2.10⁸ m.s^-1 (vitesse de propagation d'un signal électromagnétique dans le cuivre), on a . On a bien τ << T.

I =

τ

= L c

τ

= L

c = 1

2.10

= 5.10

s

Thème 1 Ondes et

Signaux

Circuits linéaires du 1 ^er ordre 5

Si le courant varie dans le temps, on réduit la durée de décompte Δt des charges à travers une section S de conducteur à une durée infinitésimale (c'est-à-dire infiniment petite) dt et on définit l'intensité instantanée du courant : où dq est la charge (également infiniment petite) traversant la section S de conducteur pendant dt. Dans ce cas, l'intensité du courant peut être interprétée comme la dérivée de la charge par rapport au temps.

i= dq dt

Le régime sera dit quasi-stationnaire (ou lentement variable) si on peut négliger la durée de propagation τ du signal devant la période des phénomènes électriques variables, soit τ << T ou

f

1

τ

Dans l'ARQS, toute variation de la source se répercute immédiatement à tous les points du circuit.

Ainsi, on peut généraliser les lois des nœuds et des mailles aux régimes lentement variables :

et .

n

∑

ε

i

(t ) = 0 ∑

k=1

ε

u

(t) = 0

Dans toute la suite du cours, on travaillera dans l'ARQS.

1.3. Résistance

On généralise les relations vues en régime continu dans le cadre de l'ARQS :

1.4. Condensateur

Un condensateur est un composant électrique constitué de deux conducteurs métalliques se faisant face (appelés armatures) séparées par un isolant électrique. Lorsqu'une tension u est appliquée entre les armatures, des charges électriques opposées q et -q apparaissent sur les armatures telles que

La capacité est exprimée en farad¹ (F).

D'après Michael FARADAY (1791 - 1867): physicien et chimiste britannique ; grand expérimentateur qui s'est notamment 1

illustré dans les domaines de l'électromagnétisme (loi de l'induction) et l'électrochimie.

er

• loi d'Ohm : u = Ri en convention récepteur

• diviseur de tension : et

• diviseur de courant : et

• puissance dissipée par effet Joule : la puissance instantanée est définie par . Dans le cas particulier de la résistance, on a ou .

u

= R

R

+ R

u u

= R

R

+ R

u i

= R

R

+ R

i i

= R

R

+ R

i

𝒫(t

) = u(t)i(t)

) = Ri

(t)

u

(t)

R

q(t) = Cu(t)

C est appelée capacité du condensateur ; elle dépend de la géométrie du condensateur et de la nature de l'isolant. En convention récepteur, on modélise un condensateur par :

i(t)

u(t) +q

C

Pendant une durée infinitésimale dt, il arrive une charge dq sur l'armature positive et il repart la même charge de l'autre armature (conservation de la charge au niveau du composant).

représente la dérivée de la tension aux bornes du condensateur par rapport au temps.

La puissance instantanée est définie par . C'est l'énergie reçue par unité de temps : . Elle se mesure en watts (symboles W). Dans le cas du condensateur et en convention ²

récepteur, on a . D'où .

Cette expression peut se réécrire sous la forme .

L'énergie se mesure en joules (symbole J). ³

du (t)

dt = · u(t )

𝒫(t) =

u(t)i (t)

) = d

)

dt

i(t ) = C du(t )

dt

Cu(t) d u (t) dt

𝒫(t

) = C d dt

1

2 u

(t)

) = d dt

1

2 Cu

(t )

En hommage à James WATT (1736 - 1819) : ingénieur écossais qui améliora la machine à vapeur qui joua un rôle clé 2

dans la révolution industrielle.

En hommage à James Prescott JOULE (1818 - 1889) : physicien anglais dont les travaux sur la chaleur et son lien avec 3

le travail mécanique ont conduit à l'énoncé du premier principe de la thermodynamique.

Ainsi, . C'est la relation courant - charge pour le condensateur.

Et comme q(t) = Cu(t) (avec C = constante), on a qui

constitue la relation courant - tension pour le condensateur.

i(t) = d q(t )

dt = · q(t )

i(t ) = d( Cu(t))

dt

i(t) = C du (t)

dt = C u(t · )

En régime continu : u(t) = U = cste implique i(t) = 0. Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

I = 0

U = cste +q

C

L'énergie stockée à chaque instant dans le condensateur est alors ℰ_C

(t ) = 1 2 Cu

(t)

• Si la tension aux bornes du condensateur croît, alors l'énergie stockée dans le condensateur augmente, la puissance absorbée est positive et le condensateur se comporte comme un récepteur.

• Si la tension aux bornes du condensateur décroît, alors l'énergie stockée dans le condensateur diminue, la puissance absorbée est négative et le condensateur se comporte comme un générateur.

• L'énergie est une grandeur continue (au sens mathématique) dans le temps donc :

1.5. Bobine

Une bobine est un enroulement de spires conductrices du courant. Son fonctionnement est basé sur le phénomène d'auto-induction électromagnétique : les variations du courant traversant la bobine créent une tension à ses bornes.

L'inductance exprimée en henry⁴ (symbole H).

D'après Joseph HENRY (1797 - 1878) : physicien américain, concepteur d'un moteur électrique et d'un électroaimant de 4

grande puissance. Il découvre en même temps que Faraday le phénomène d'induction puis plus tard la notion d'auto- induction.

er

La tension aux bornes d'un condensateur est continue dans le temps, ainsi que la charge qui lui est proportionnelle. C'est-à-dire que lorsque la tension (ou le courant) d'alimentation d'un circuit contenant un condensateur varie brutalement (typiquement à la fermeture ou à l'ouverture d'un interrupteur), la tension aux bornes du condensateur ne subit pas de brusque variation. Elle conservera quelques micros-instants la valeur qu'elle avait juste avant le basculement de l'interrupteur.

Une bobine est caractérisée par son inductance L.

En convention récepteur, on modélise une bobine par :

i(t)

u(t)

L

Bobine idéale : on néglige la résistance des fils de l'enroulement.

i(t)

u(t)

L r

Bobine réelle : on considère la résistance des fils de l'enroulement.

Les relations tension - courant sont :

• pour une bobine idéale :

• pour une bobine réelle :

u(t ) = L di(t ) dt u (t ) = L di(t)

dt + ri(t)

représente la dérivée de l'intensité i(t) du courant par rapport au temps.

La puissance instantanée est définie par . C'est l'énergie reçue par unité de temps : . Dans le cas de la bobine idéale et en convention récepteur, on a . D'où

.

Cette expression peut se réécrire sous la forme .

• Si l'intensité du courant traversant la bobine croît, alors l'énergie stockée dans la bobine augmente, la puissance absorbée est positive et la bobine se comporte comme un récepteur.

• Si l'intensité du courant traversant la bobine décroît, alors l'énergie stockée dans la bobine diminue, la puissance absorbée est négative et la bobine se comporte comme un générateur.

On va maintenant décrire le comportement de circuits dans lesquels ces dipôles peuvent être associés. Les circuits linéaires du premier ordre mettent en jeu l'association d'une résistance et d'une bobine ou d'une résistance et d'un condensateur.

di (t) dt

𝒫(t) =

u(t)i (t)

) = d

)

dt u(t ) = L di (t)

dt

) = Li(t ) d i(t )

dt

𝒫(t

) = L d dt

1

2 i

(t)

dt

1

2 Li

(t )

I = cste

U = 0

L

L'énergie stockée (sous forme magnétique) à chaque instant dans la bobine idéale est alors ℰ_L

(t) = 1

2 Li

(t)

L'énergie est une grandeur continue dans le temps donc l'intensité du courant traversant une bobine idéale est continue dans le temps. C'est-à-dire que lorsque la tension (ou le courant) d'alimentation d'un circuit contenant une bobine varie brutalement (typiquement à la fermeture ou à l'ouverture d'un interrupteur), le courant traversant la bobine ne subit pas de brusque variation. Il conservera quelques micros-instants la valeur qu'il avait juste avant le basculement de l'interrupteur.

2. Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension 2.1. Effet d'une bobine dans un circuit électrique

L'ampoule en série avec la bobine s'allume après l'ampoule en série avec la résistance.

La bobine introduit un retard dans l'établissement du courant dans la branche qui la contient.

Vidéo : https://youtu.be/isllsO6aqrc

2.2. Circuit RL : conditions initiales

Initialement l'interrupteur K est en position 2 : la bobine n'est parcourue par aucun courant donc i(t = 0-) = 0.

On bascule K en position 1 : la tension e(t) aux bornes de l'association RL passe brutalement de la valeur nulle à une valeur E constante donnée : un échelon de tension est ainsi réalisé.

La continuité du courant dans la bobine impose que l'intensité du courant la traversant a la même valeur juste avant et juste après la fermeture de l'interrupteur, soit

On cherche à déterminer l'évolution de l'intensité i du courant au cours du temps.

2.3. Régime transitoire et régime permanent

La courbe décrivant l'évolution de l'intensité du courant dans le circuit a l'allure suivante:

er

i(t = 0-) = 0 = i(t = 0+)

Si la tension aux bornes de l'association RL passe instantanément de 0 à E à la fermeture de l'interrupteur, l'intensité du courant dans le circuit atteint une valeur constante au bout d'une durée caractéristique Δt.

Lorsque cette valeur est atteinte, le circuit fonctionne en régime permanent, qui est ici un régime continu : le circuit répond en cohérence avec la nature de l'excitation ; le circuit est alimenté par une tension continue (donc constante) alors toutes les grandeurs du circuit (tensions, courants) seront constantes en régime permanent. La bobine est dans ce cas équivalente à un fil et le circuit est équivalent à :

Ainsi, on a (puisque la tension aux bornes vaut E d'après la loi des mailles).

Avant d'atteindre le régime permanent, le circuit fonctionne en régime transitoire. Ainsi, on peut distinguer sur la courbe :

La durée Δt du régime transitoire peut être estimée à l'aide de la constante de temps τ déterminée graphiquement à l'aide de la tangente à l'origine à la courbe : (valeur seuil à partir de laquelle l'intensité du courant vaut au moins 99% de sa valeur en régime permanent).

2.4. Mise en équation du circuit RL

N.B. : pour alléger les notations, on n'écrit plus la dépendance en temps des tensions et de l'intensité du courant. La notation de ces grandeurs en minuscule suffit à comprendre qu'elles sont variables dans le temps.

On considère l'interrupteur en position 1 dans le schéma de la partie 2.2. On obtient le circuit simplifié ci-contre.

I = E R

Δt

= 5τ

On peut écrire :

• Loi d'Ohm : en convention récepteur

• Relation tension-courant pour la bobine en convention récepteur :

• Loi des mailles :

On obtient une équation différentielle du 1^er ordre à coefficients constants (1 devant et devant i) avec second membre constant ( ).

Avec l'animation :

L'analyse dimensionnelle donne : .

u

= Ri

u

= L di dt E

u

u

= 0

⇔

u

+ u

= E

⇔

Ri + L di dt = E

⇔

di dt + R

L i = E L

di dt

R E L

L

[

L

R

=

u /

[

u /i

=

1/i

= T

I

I = T

er

On en déduit et . ne dépend pas de E.

Donc finalement, . τ ∝

L

1

R

τ

= L R

R (kΩ) 1 1 1 2 4

L (mH) 1 2 5 1 1

𝝉 (μs) 1 2 5 0,5 0,25

R (kΩ) 1 1 1

L (mH) 1 1 1

E (V) 1 3 5

𝝉 (μs) 1 1 1

Le rapport est donc homogène à une durée et correspond à la constante de temps τ définie graphiquement précédemment : . Ainsi l'équation différentielle peut se réécrire sous forme canonique :

L

R

= L

R

di

dt + 1

i = E

L

2.5. Evolution de l'intensité du courant au cours du temps

L'évolution de l'intensité du courant i au cours du temps est déterminée par la résolution de l'équation différentielle précédente.

① Résolution de l'équation différentielle homogène (équation différentielle sans second membre) . On peut montrer mathématiquement qu'une solution est de la forme

② Recherche de la solution particulière : la solution particulière décrit le régime permanent (de même nature que l'excitation imposée au circuit). Ici, le régime permanent est un régime continu pour lequel les grandeurs du circuit sont constantes donc .

De plus, la solution particulière doit vérifier l'équation différentielle décrivant le circuit donc on doit

avoir . Comme , on a d'où . Or donc on aboutit à

.

La solution particulière est bien homogène à une intensité et correspond à la valeur déterminée préalablement (par l'analyse du circuit équivalent en régime permanent).

③ Solution générale : c'est la solution de l'équation différentielle complète qui correspond à la somme des solutions homogène et particulière : .

Ici, on a donc . Il reste à déterminer la valeur de la constante A à partir des conditions initiales. On a montré (paragraphe 2.2.) que i(t = 0) = 0. D'après l'expression

précédente . On en déduit .

Finalement, pendant la phase d'établissement du courant :

.

Remarque : la valeur de l'intensité en régime permanent peut être retrouvée en observant que .

di

dt + 1

i

= 0

i

= constante

di

dt + 1

τ

i

= E

L i

= cste di

dt = 0 1

τ

i

= E

L

= L

R R

L i

= E

L

i

= E R = I

i(t) = i

(t) + i

i(t) = i

(t) + i

= A exp

t

τ)

+ E R i(t = 0) = A exp

0

τ)

+ E

R = A + E

R A + E

R = 0

A =

E R

i(t) =

E

R exp

t

τ)

+ E R = E

R

1

exp

t

I = lim

t→+∞

i (t) = lim

t→+∞

E

R

1

exp

t

τ))

= E R

où A est une constante homogène à une intensité qu'on déterminera ultérieurement à partir des conditions initiales.

i

(t) = A exp

t

2.6. Résolution de l'équation par une méthode numérique : méthode d'Euler

Si on applique cette méthode à l'établissement du courant dans un circuit RL, avec , on a , et . On connaît la condition initiale : .

On choisit R = 1,00 kΩ, L = 1,00 mH et E = 5,00 V. Avec un pas p = 1,00.10^-2 μs, on peut calculer les premières valeurs du courant dans le circuit :

2.6.2. Implémentation de la méthode d'Euler en Python

Les calculs précédents peuvent être réalisés avec Python. Il faut alors définir :

• la durée sur laquelle on veut tracer la solution (de l'ordre de si on veut pouvoir observer le régime permanent, atteint au bout de ) ;

• le nombre de points N, correspondant au nombre de dates ;

• le pas de la méthode tel que

di

dt (t) + R

L i(t ) = E

L y (t)

i(t ) a

R

L b

E

i(t = 0) = 0

y

L

0

t₃= 3p = 3,00.10⁻⁸s

1,48(5).10⁻⁴+ 1,00.10⁻⁸×4,85.10³= 1,97.10⁻⁴A 5,00.10⁻⁵+ 1,00.10⁻⁸×4,95.10³= 9,95.10⁻⁵ A

5,00

1,00.10⁻³− 1,00.10³

1,00.10⁻³ ×1,97.10⁻⁴= 4,80.10³A/s 9,95.10⁻⁵+ 1,00.10⁻⁸×4,90.10³= 1,48(5).10⁻⁴A

t₄= 4p = 4,00.10⁻⁸s

5,00

1,00.10⁻³ − 1,00.10³

1,00.10⁻³ ×0 = 5,00.10³A/s t₁=p = 1,00.10⁻⁸s

t₀= 0

t₂= 2p = 2,00.10⁻⁸s

5,00

1,00.10⁻³ − 1,00.10³

1,00.10⁻³ ×5,00.10⁻⁵= 4,95.10³A/s 5,00

1,00.10⁻³ − 1,00.10³

1,00.10⁻³ ×9,95.10⁻⁵= 4,90.10³A/s

0 + 1,00.10⁻⁸×5,00.10³= 5,00.10⁻⁵A i(t_i)

Date t_i di

dt(t_i)

5,00

1,00.10⁻³− 1,00.10³

1,00.10⁻³ ×1,48(5).10⁻⁴= 4,85.10³A/s

t

10τ

5τ t

t

= (N

1)p

er

L'équation différentielle d'ordre 1 à résoudre est du type , et étant des constantes, une fonction du temps et sa dérivée première par rapport au temps. On suppose que la valeur initiale est connue.

La méthode d'Euler consiste à déterminer les valeurs de la fonction pour des dates successives en utilisant l'approximation .

A partir de la valeur de la fonction à une date :

• on calcule avec l'équation différentielle ;

• on calcule avec l'approximation où

est le pas de la méthode. Plus le pas p est faible, plus la méthode d'Euler donne un résultat proche de la solution exacte.

y(t · ) + ay (t) = b a b

y(t ) y(t · )

y(0) = y

y (t

) t

y(t ·

) = y (t

)

y (t

) t

t

y(t

) t

y · (t

) y · (t

) = b

ay (t

)

y (t

) y (t

) = y (t

) + p y · (t

) = y (t

) + p

b

ay(t

)

p = t

t

A partir de ces spécifications, on crée une fonction qui renvoie la liste des dates et la liste des valeurs de la fonction pour les dates choisies :

En appliquant à l'exemple précédent, on obtient :

t

y(t

) t

import numpy as np

def euler_ordre1(tmax, N, y0, a, b) :

T = np.linspace(0, tmax, N) # crée le tableau des dates t_i

p = tmax / (N-1) # définit le pas de la méthode

y = np.zeros(N) y[0] = y0

for i in range (N-1) :

y[i+1] = y[i] + p*(b - a*y[i]) # calcule les valeurs de la fonction Y

return T, y # renvoie les tableaux des dates et des valeurs 
 de Y correspondantes

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def euler_ordre1(tmax, N, y0, a, b) : T = np.linspace(0, tmax, N)

p = tmax / (N-1) y = np.zeros(N) y[0] = y0

for i in range (N-1) :

y[i] = y[i-1] + p*(b - a*y[i-1]) return T, y

#%% Paramètres

R = 1.00e3 L = 1.00e-3 E = 5.00 tau = L/R a = 1/tau b = E/L tmax = 8*tau

#%% Méthode d'Euler

t, courant = euler_ordre1(t_max, 500, 0, a, b)

#%% Graphe

plt.plot(t, courant, 'r+')

plt.title('Etablissement du courant dans un circuit RL') plt.xlabel('t (s)')

plt.ylabel('courant (A)') plt.grid()

plt.show()

On obtient finalement le graphe :

2.7. Bilan énergétique du circuit

• Bilan en tension : la loi des mailles donne .

• Bilan en puissance : on multiplie le bilan en tension par l'intensité i du courant dans le circuit et

on obtient où

✦ représente la puissance absorbée par la résistance (puis dissipée par effet Joule)

✦ représente la puissance reçue par la bobine et stockée sous forme magnétique

✦ représente la puissance fournie par le générateur

• Bilan en énergie : on intègre le bilan en puissance par rapport au temps et on obtient où

✦ représente l'énergie reçue et dissipée par effet Joule par la résistance

✦ représente l'énergie fournie par le générateur au circuit

✦ a v e c

représente l'énergie emmagasinée par la bobine sous forme magnétique pendant la phase d'établissement du courant.

Remarque : les intégrales pour le générateur et la résistance sont divergentes (elles donnent un résultat infini). On peut cependant montrer, par des calculs approchés sur une durée d'établissement du courant finie, que l'énergie fournie par le générateur se répartit à égalité entre la bobine et la résistance.

On a alors un rendement énergétique de 50 % lors de l'établissement du courant dans le circuit.

u

+ u

= E

Ri + L di dt = E

Ri

+ L di

dt i = Ei

Ri

+ d dt

1

2 Li

= Ei Ri

d dt

1

2 Li

Ei

∫

+∞

0

Ri

dt +

+∞

0

d dt

1

2 Li

dt =

+∞

0

Ei dt

∫

+∞

0

Ri

dt

∫

+∞

0

Ei dt

∫

+∞

0

d dt

1

2 Li

dt =

1 2 Li

i(t→+∞) i(t=0)

= 1

2 Li

(t

+

1

2 Li

(t = 0) = 1 2 LI

I = E

R

er

3. Régime libre d'un circuit RL 3.1. Conditions initiales

L'interrupteur K est en position 1 et le régime permanent est établi. L'intensité du courant traversant vaut alors

comme déterminé précédemment.

On bascule K en position 2 ce qui exclut le générateur de la maille. Le circuit RL fonctionne alors en régime libre. C'est la bobine qui, ayant emmagasiné de l'énergie pendant la phase d'établissement du courant, va servir de générateur.

La continuité du courant dans la bobine impose que l'intensité du courant la traversant a la même valeur juste avant et juste après la fermeture de l'interrupteur, soit

On cherche à déterminer l'évolution de l'intensité i du courant au cours du temps.

3.2. Régime transitoire et régime permanent

La courbe décrivant l'évolution de l'intensité du courant dans le circuit a l'allure suivante :

Si la tension aux bornes de l'association RL passe instantanément de E à 0 au basculement de l'interrupteur, l'intensité du courant dans le circuit atteint une valeur constante au bout d'une durée caractéristique Δt.

Lorsque cette valeur est atteinte, le circuit fonctionne en régime permanent continu; la bobine est alors équivalente à un fil et on obtient le circuit équivalent ci-

contre. Ainsi, on a .

i(t = 0

) = I = E R

RI

= 0

I

= 0

i(t = 0-) = I = i(t = 0+)

Avant d'atteindre le régime permanent, le circuit fonctionne en régime transitoire. Ainsi, on peut distinguer sur la courbe :

La durée Δt du régime transitoire peut être estimée à l'aide de la constante de temps τ déterminée graphiquement à l'aide de la tangente à l'origine à la courbe. On peut estimer .

3.3. Mise en équation du circuit

• Loi d'Ohm : en convention récepteur

• Relation tension-courant pour la bobine en convention récepteur :

• Loi des mailles :

Δt ≃

5

u

= Ri u

= L di

dt

u

+ u

= 0

⇔ Ri + L di dt = 0

⇔ di dt + R

L i = 0

er

On obtient une équation différentielle du 1^er ordre à coefficients constants sans second membre qui correspond à l'équation homogène de la phase d'établissement du courant dans la bobine.

On peut comme précédemment introduire la constante de temps τ telle que .

3.4. Evolution de l'intensité du courant au cours du temps

L'évolution de l'intensité du courant i au cours du temps est déterminée par la résolution de l'équation différentielle précédente. Ici, solutions homogène et générale sont confondues et on a

où B est une constante homogène à une intensité qu'on détermine à partir des conditions initiales.

O n m o n t ré q u e e t d ' a p rè s l ' e x p re s s i o n p ré c é d e n t e o n a . On en déduit donc .

Finalement, pendant la phase de rupture du courant .

Remarque : la valeur de l'intensité en régime permanent peut être retrouvée en observant que .

3.5. Bilan énergétique du circuit

• Bilan en tension : la loi des mailles donne .

• Bilan en puissance : on multiplie le bilan en tension par l'intensité i du courant dans le circuit et

on obtient où

✦ représente la puissance absorbée par la résistance (puis dissipée par effet Joule)

✦ représente la puissance reçue par la bobine et stockée sous forme magnétique

• Bilan en énergie : on intègre le bilan en puissance par rapport au temps et on obtient où

✦ représente l'énergie reçue et dissipée par effet Joule par la résistance

✦ avec

représente l'énergie « emmagasinée » par la bobine sous forme magnétique pendant la phase de rupture du courant. On constate que l'énergie dans la bobine a diminué  : la bobine s'est donc comportée comme un générateur et a restitué exactement l'énergie qu'elle avait stocké pendant la phase d'établissement du courant.

τ

= L R

i(t ) = B exp

t

i(t = 0) = I = E R i(t = 0) = B exp

0

τ)

= B B = I = E

R

i (t) = E

R exp

t

I = lim

t→+∞

i (t) = lim

t→+∞

E

R exp

t

= 0

u

+ u

= 0

Ri + L di dt = 0 Ri

+ L di

dt i = 0

Ri

+ d dt

1

2 Li

= 0 Ri

d dt

1

2 Li

∫

+∞

0

Ri

dt +

+∞

0

d dt

1

2 Li

dt = 0

∫

+∞

0

Ri

dt

∫

+∞

0

d dt

1

2 Li

dt =

1 2 Li

i(t→+∞)

i(t=0)

= 1 2 Li

(t

+

1

2 Li

(t = 0) =

1 2 LI

I = E

R