II - Limites et relation d’ordre

II - Limites et relation d’ordre

Théorème :toute fonction admettant une limite strictement positive en un point (finie ou non) est minorée, au voisinage de ce point, par un réel strictement positif.

Théorème :soitf etg deux fonctions ayant le même ensemble de définitionD, de limites respectives ℓetℓ^′ ena (ℓ, ℓ^′, a)∈R³.

Sif ≤g surD \ {a}, alors ℓ≤ℓ^′.

Attention ! Les inégalités strictes ne passent pas à la limite.

Théorème :soit f, g, h trois fonctions définies sur un même ensemble de définition D telles que : f ≤g≤hsurD,a un élément deRadhérent à Det ℓun réel.

a)Silim

a f = lim

a h=ℓ, alorsg admet la limiteℓen a(théorème d’encadrement).

b)Silim

a f = +∞, alorslim

a g= +∞.

c)Silim

a h=−∞, alorslim

a g=−∞.

Théorème : limite d’une fonction monotone.

Soit aetb deux éléments deR,a < betI = ]a, b[.

a)Sif est croissante surI, alorsf admet une limite dansRenaet enb.

(i)Sif est majorée, alorslim

b f = sup

I

f (∈R), sinonlim

b f = +∞.

(ii)Sif est minorée, alors lim

a f = inf

I f (∈R), sinonlim

a f =−∞.

b)Sif est décroissante surI, alors f admet une limite dansR ena et enb.

(i)Sif est majorée, alorslim

a f = sup

I

f(∈R), sinonlim

a f = +∞.

(ii)Sif est minorée, alors lim

b f = inf

I f(∈R), sinonlim

b f =−∞.

II

II - Opérations algébriques sur les limites

Dans le tableau suivant, f etg sont deux fonctions à valeurs dansR, définies sur la même partieDde R,aest un point deR adhérent àD. Silim

a f (resp. lim

a g) existe, on la noteraℓ(resp. ℓ^′).

Fonction Hypothèses sur f etg Conclusion

f+g ℓetℓ^′ existent et sont réelles lim

a (f +g) =ℓ+ℓ^′ f+g f minorée au voisinage dea,ℓ^′ existe et vaut+∞ lim

a (f +g) = +∞

f+g f majorée au voisinage de a,ℓ^′ existe et vaut −∞ lim

a (f +g) =−∞

λ f λ∈R f a une limite finie ℓ lim

a (λ f) =λ ℓ

f g ℓetℓ^′ existent et sont réelles lim

a (f g) =ℓ ℓ^′ f g f minorée par α >0 au voisinage dea,ℓ^′ existe et vaut+∞ lim

a (f g) = +∞

f g f majorée par β <0 au voisinage dea,ℓ^′ existe et vaut+∞ lim

a (f g) =−∞

1

f f à valeurs dans R^∗ ℓexiste, ℓ= 0 lim

a

1 f = 1

ℓ (1) 1

f f à valeurs dans R^∗₊ (resp; R^∗₋) ℓexiste, ℓ= 0 lim

a

1

f = +∞(resp; −∞) (1) avec la convention 1

+∞= 1

−∞ = 0.

III

III - Continuité

1) Définitions

f désigne une fonction de RdansRdéfinie sur une partie DdeR. Définition :soita∈D.

On dit que f estcontinueena si et seulement sif admet une limite en a.

Dans ce cas, lim

a f =f(a) et

∀ε >0 ∃η >0 ∀x∈D |x−a| ≤η⇒ |f(x)−f(a)| ≤ε.

Définition :on dit que f est continue à droite (resp. à gauche) ena si et seulement si la restriction de f à D∩[a,+∞[(resp. àD∩]−∞, a]) est continue ena.

∀ε > 0 ∃η >0 ∀x∈D 0≤x−a≤η⇒ |f(x)−f(a)| ≤ε resp. ∀ε > 0 ∃η >0 ∀x∈D −η≤x−a≤0⇒ |f(x)−f(a)| ≤ε Théorème :f est continue en a⇔f est continue à droite et à gauche en a.

Définition :continuité sur un ensemble

Soit E une partie de D. On dit quef est continue surE si et seulement si la restriction de f à E est continue en chaque point de E.

Définition :continuité uniforme (hors programme)

On dit que f estuniformément continue surD si et seulement si

∀ε >0 ∃η >0 ∀(x, y)∈D² |y−x| ≤η ⇒ |f(x)−f(y)| ≤ε

(la continuité uniforme implique la continuité en toutadeDavecη indépendant dea).

2) Opérations sur les fonctions continues

Théorème :1) Si f etg sont deux fonctions continues sur un intervalleI, alorsf+g,λ f (λ ∈R) et f×g sont continues surI.

L’ensemble C⁰(I,R) des fonctions continues deI dans Rest une R-algèbre.

Si, de plus, g ne s’annule pas surI, alors 1 g et f

g sont continues surI.

2) Si f est continue surI, à valeurs dans un intervalle J et g continue sur J, alors g◦f est continue sur I.

Théorème :1) Si f est continue sur l’intervalle I, alors la restriction de f à tout intervalle J inclus dansI est continue surJ.

2) Sif est continue sur[a, b]et sur [b, c], alors f l’est aussi sur [a, c].

Soient f :I →R,f⁺:x→max 0, f(x) et f⁻:x→max 0,−f(x) . On a : f =f⁺−f⁻ et|f|=f⁺+f⁻.

Théorème :si f est continue sur l’intervalleI, alorsf⁺, f⁻ et|f|sont continues surI.

3) Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème :l’image d’un intervalleI par une fonction continue surI est un intervalle.

Attention ! En général,f(I)n’est pas de même nature topologique queI (cf. sin (]0,+∞[) = [−1,1]).

Conséquences :

1) Sif est continue sur[a, b], alorsf prend toute valeur comprise entref(a) etf(b).

2) Sif est continue sur[a, b]etf(a) f(b)<0, alors l’équationf(x) = 0 admet au moins une solution dans[a, b].

4) Continuité sur un segment

Théorème :l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

Une fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

5) Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle

Théorème :soit I un intervalle de R d’extrémités a et b, (a, b) ∈ R² et f une fonction continue strictement monotone sur I.

a)f admet, dans R, une limite enaet une limite en b.

b)f(I)est un intervalle de même nature topologique (ouvert, fermé, semi-ouvert) que I d’extrémités lim

a f etlim

b f. c)f est bijective de I sur f(I).

d)f⁻¹ est continue strictement monotone de même sens quef sur f(I).

Attention ! I peut être borné etf(I) non borné (cf. tan (]−π/2, π/2[) =R).

IV

IV - Dérivabilité

Les fonctions étudiées dans ce paragraphe sont définies sur un intervalle I (non réduit à un point) de Ret à valeurs dans R.

1) Définitions

Définition :soitaun point de I, on dit quef estdérivable enasi et seulement si la fonction h→ f(a+h)−f(a)

h ,

définie sur I\ {a}, admet une limite finie en 0.

Cette limite est alors appeléenombre dérivé def enaet est notée f^′(a).

Notations : f^′(a)est aussi noté Df(a) ou df dx(a).

Définition :soit aun point de I tel que I_a^′ =I∩[a,+∞[(resp. I_a^′′ =I∩]−∞, a]) ne soit pas réduit au point a.

On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en asi et seulement si la restriction de f à I_a^′ (resp. à I_a^′′) est dérivable ena.

Si elle existe, une telle dérivée s’appelledérivée à droite (resp. à gauche) def enaet est notée f_d^′(a) (resp. f_g^′(a)).

Définition :soitJ un intervalle inclus dansI.

On dit que f est dérivable sur J si, et seulement si, la restriction de f à J est dérivable en tout point deJ.

Dans ce cas, f^′ :J →R, x→f^′(x) est appeléeapplication dérivée def surJ. L’application f^′ est aussi notée Df ou df

dx.

Théorème :f est dérivable en asi et seulement sif admet ledéveloppement limité à l’ordre 1 : f(a+h) =

h→0f(a) +h.f^′(a) +o(h)

Corollaire : toute fonction dérivable ena(resp. surJ) est continue ena(resp. sur J).

Attention ! La réciproque est fausse (cf. x→ |x|).

Définition :on dit que f est de classe C¹ sur I si et seulement si f est dérivable sur I et la fonction dérivée f^′ est continue surI.

Attention ! On peut avoir f dérivable etf^′ non continue (cf. x→x²sin1 x).

2) Opérations sur les fonctions dérivables

a) Linéarité de la dérivation

Soit (f, g)∈(D(I,R))² etλ∈R. Les fonctions f+g etλ. f sont dérivables sur I et : (f +g)^′=f^′+g^′ , (λ .f)^′ =λ. f^′.

L’ensemble D(I,R) des fonctions dérivables sur I à valeurs dans R est un R-espace vectoriel et la dérivation est linéaire de D(I,R) dans F(R,R).

C¹(I,R) est un R-espace vectoriel.

b) Dérivation d’une fonction composée

Soit J un intervalle deR. Si ϕ∈ D(J,R),f ∈ D(I,R) et siϕ(J)⊂I, alors f ◦ϕest dérivable sur J et (f◦ϕ)^′ =ϕ^′. f^′◦ϕ . Siϕ∈ C¹(J,R), f ∈ C¹(I,R) et si ϕ(J)⊂I, alorsf ◦ϕ∈ C¹(J,R).

c) Dérivation d’un produit, d’un quotient

Soit (f, g)∈(D(I,R))² : (f·g)^′ =f^′·g+f ·g^′ et, sig ne s’annule pas, f

g

′

= f^′

g +f· 1 g

′

= f^′·g−f ·g^′ g² d) Dérivation d’une bijection réciproque

Si f est une bijection continue et strictement monotone de I sur J =f(I), dérivable en a∈I tel que f^′(a) = 0, alors sa bijection réciproque f⁻¹ est dérivable enb=f(a), avec

f^{−1 ′}(b) = 1

f^′(a) = 1 f^′◦f⁻¹(b) .

Sif^′(a) = 0, le graphe de f⁻¹ admet enb une (demi-)tangente parallèle àOy.

Sif est dérivable surI et sif^′ ne s’annule pas surI, alorsf⁻¹ est dérivable surJ avec f^{−1 ′} = 1

f^′◦f⁻¹ .

3) Accroissements finis — Applications

a) Extremums locaux d’une fonction dérivable

Théorème :sif dérivable surI admet enaintérieur à I un extremum local, alorsf^′(a) = 0.

Attention ! Peut être faux en une extrémité de I !!

b) Théorème de Rolle

Sif est continue de[a, b]dans R, dérivable sur]a, b[et sif(a) =f(b), alors

∃c∈]a, b[ f^′(c) = 0.

c) Théorème des accroissements finis

Sif est continue de[a, b]dans R, dérivable sur]a, b[, alors

∃c∈]a, b[ f(b)−f(a) = (b−a)·f^′(c).

Autrement dit, la tangente au graphe de f au point d’abscisse c est parallèle à la corde joignant les points d’abscissesaet b.

d) Inégalités des accroissements finis

1) Si a < b, f continue de [a, b] dans R, dérivable sur ]a, b[ et si m, M sont deux réels tels que m≤f^′≤M, alors

m·(b−a)≤f(b)−f(a)≤M ·(b−a)

2) Sif, g sont continues de[a, b]dansR, dérivables sur ]a, b[ et si|f^′| ≤g^′, alors

|f(b)−f(a)| ≤ |g(b)−g(a)|

Corollaire : soitf une application continue de I dansR, dérivable en tout point intérieur à I.

1)f est k-lipschitzienne sur I si et seulement si |f^′| ≤k.

2)f est constante sur I si et seulement si f^′ est nulle en tout point intérieur à I.

3)f est croissante sur I si et seulement si f^′ ≥0 en tout point intérieur à I.

4)f est décroissante surI si et seulement sif^′ ≤0 en tout point intérieur àI.

5)f est strictement monotone sur I si et seulement sif^′ ne change pas de signe et n’est identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial.

e) Théorème de la limite de la dérivée

Sif est continue surI, dérivable surI\ {a}, et sif^′(x)tend versℓ(réel ou infini) lorsquex tend versa, alors f(x)−f(a)

x−a tend versℓlorsquextend versa. Siℓest réel, alorsf est dérivable enaetf^′(a) =ℓ.

4) Fonctions de classe

Définition :on définit par récurrence les dérivées successives de f :f⁽⁰⁾ =f et, pourk ∈N^∗, on dit que f est k fois dérivable si f^(k−1) est dérivable surI et on notef^(k) = f^{(k−1) ′}.

On désigne parD^k(I,R) l’ensemble des fonctionskfois dérivables sur I. Notations : f^(k)=D^k(f) = d^kf

dx^k.

Définition : a)Soit k∈N; on dit quef estde classe C^k surI si et seulement sif estk fois dérivable sur I etf^(k) continue surI.

b)f est ditede classeC^∞si et seulement si elle est indéfiniment dérivable surI (autrement dit kfois dérivable pour tout kdansN).

Notations : C⁰(I,R) : ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans R. C^k(I,R) : ensemble des fonctions de classe C^k sur I à valeurs dansR. C^∞(I,R) : ensemble des fonctions de classeC^∞ surI à valeurs dans R. b) Formule de Leibniz — Opérations sur les fonctions de classe C^k Théorème :soitk∈N,f etg deux fonctions deI dans Retλ∈R.

si f etg sontk fois dérivables surI, alorsλ. f+g estk fois dérivable surI et : (λ .f +g)^(k)=λ .f^(k)+g^(k).

C^k(I,R) etC^∞(I,R) sont des sous-espaces vectoriels deC⁰(I,R).

Théorème :formule de Leibniz

Soit k∈N^∗,f :I →R etg:I →R.

Sif et gsont kfois dérivables sur I, alors f·g est kfois dérivable sur I et (f·g)^(k)=

k

j=0

k

j f^(k−j). g^(j). Théorème :composée de fonctions de classe C^k

Soit k∈N∪ {+∞}etJ un intervalle deR.

Siϕ∈ C^k(J,R), f ∈ C^k(I,R) etϕ(J)⊂I, alors f◦ϕ∈ C^k(J,R).

Théorème :bijection réciproque d’une bijection de classe C^k

Soit I un intervalle de R,k∈N^∗,f ∈ C^k(I,R), strictement monotone sur I.

f⁻¹ est de classe C^k sur f(I) si et seulement si f^′ ne s’annule pas surI (on parle alors de C^k-difféomorphisme).

V

V - Analyse asymptotique

1) Relations de comparaison

Soient f etg deux fonctions, définies au voisinage de a(réel ou infini).

On suppose que g ne s’annule pas sur un voisinage de a (éventuellement privé de a!), de sorte que le quotient f /g est défini au voisinage dea.

1) On dit quef est dominée par gau voisinage de aet l’on écritf =

a O(g) ouf(x) =

x→aO g(x) (lire

“grand O”) si et seulement sif /g est borné au voisinage dea.

2) On dit quef est négligeable devant g au voisinage de aet l’on écritf =

a o(g)ou f(x) =

x→ao g(x) (lire “petit O”) si et seulement sif/g a pour limite 0 ena.

3) On dit que f est équivalente à g au voisinage de a et l’on écrit f ∼

a g ou f(x) ∼

x→a g(x) si et seulement sif /ga pour limite 1 ena(la relation “est équivalente à” est une relation d’équivalence).

Exemple : sif(x) = 7x³+ 2x²+ 1, on a f(x) =

x→±∞O x³ ; f(x) =

x→±∞o x⁴ ; f(x) ∼

x→±∞7x³

L’usage est d’employer dans les Oet leso des “fonctions de référence” les plus simples possibles et de n’écrire comme équivalent que la “partie principale” : tout terme supplémentaire, négligeable devant la partie principale, est inutile et risque de prêter à confusion.

Avec l’exemple ci-dessus, on n’écrit pasf(x) ∼

x→±∞7x³+x alors que c’est vrai. . .

Si l’on veut préciser l’écart entre deux fonctions équivalentes, on essaie de trouver un équivalent de la différence : f(x)−7x³ ∼

x→±∞2x² et l’on peut itérer. . . NB : f ∼

a g équivaut àf−g=

a o(g) mais pas à lim

a (f−g) = 0 !

2) Propriétés des équivalents

1) Sif1 ∼

a g1 etf2 ∼

a g2, alors f1f2∼

a g1g2

2) Sif ∼

a get n∈N, alors fⁿ∼

a gⁿ (n exposant constant) 3) Sif ∼

a g, avecf, g à valeurs dans R^+∗ etα∈R, alors f^α∼

a g^α (αexposantconstant) 4) Sif ∼

a g etf, g à valeurs s dansR^+∗, admettant enaune limite différente de 1, alors lnf ∼

a lgn.

5) e^f ∼

a e^g si et seulement silim

a (f−g) = 0.

Attention ! lim

a (f−g) = 0n’est pas équivalent àf ∼

a g (les deux implications sont fausses) ! Substitution : si f(x) ∼

x→ag(x)et lim

t→bϕ(t) =a, alorsf ϕ(t) ∼

t→bg ϕ(t) Exemple : lnx ∼

x→1x−1, donc, si lim

t→bϕ(t) = 1, alors lnϕ(t) ∼

t→bϕ(t)−1 (cf. prop. 4ci-dessus).

Attention aux combinaisons linéaires d’équivalents ! Si les coefficients de la combinaison font que les parties principales s’annulent, on a besoin de développements limités plus précis pour obtenir un équivalent de ladite combinaison.

Exemple : trouver la partie principale dexcosx−sinx au voisinage de 0.

3) Propriétés conservées par équivalence

Lorsquef ∼

a g :

•sig est de signe constant au voisinage dea, alorsf est du même signe queg au voisinage dea

•sig admet une limite en a, alorsf admet la même limite en a.

Mais le sens de variation n’est pas conservé ! Par exemple x+ 2 sinx∼

∞x. . .

VI

VI - Intégrale d’une fonction continue sur un segment

Dans toute cette section, aetbsont deux réels et I un intervalle deR.

1) Définition et premières propriétés

Lorsquea < b, pour f ∈ C⁰([a, b],R), on définit, par exemple grâce à l’approximation àε près par des fonctions en escalier, l’intégrale de f sur[a, b], notée

[a,b]

f ,

b a

f ou encore

b a

f(t) dt, qui vérifie les propriétés suivantes.

a) Intégrale d’une constante SiC est une constante réelle,

b a

C= (b−a)C.

b) Relation de Chasles

Définition :sif est continue sur un intervalleI et sicetdsont deux éléments deI tels quec≥d, on pose

d c

f =−

c d

=−

[c,d]

f (car [c, d] = [d, c]. . . ) ; en particulier

c c

f = 0.

Propriété : relation de Chasles

Sia, b, c sont trois points d’un intervalle I deR, etf ∈ C⁰(I, F), alors

c a

f =

b a

f+

c b

f.

c) Linéarité par rapport à la fonction L’application : C⁰([a, b],R)→R,f →

b a

f est linéaire :

∀(f, g)∈ C⁰([a, b],R)², ∀λ∈R,

b a

(λ .f+g) =λ

b a

f +

b a

g.

d) Positivité, croissance Soit (f, g)∈ C⁰([a, b],R)².

1) Positivité : sif ≥0 sur[a, b]eta≤b, alors

b a

f ≥0.

2) Croissance de l’intégrale : si f ≤g sur [a, b]eta≤b, alors

b a

f ≤

b a

g.

3) Inégalité de la moyenne :

b a

f ≤

[a,b]

|f| ≤ |b−a|sup

[a,b]

|f|.

Attention ! Sia > b,

[a,b]

|f|=

a b

|f|.

4) Sif est de signe constant, continue et d’intégrale nulle sur [a, b], alorsf est nulle sur[a, b].

Définition :si a = b et f ∈ C⁰([a, b],R), 1 b−a

b a

f est la valeur moyenne de f sur [a, b] (c’est la valeur de l’application constante ayant même intégrale que f sur[a, b]).

Propriété : extension de l’inégalité de la moyenne Si(f, g)∈ C⁰([a, b],R)², alors :

[a,b]

f.g ≤sup

[a,b]

|f| ·

[a,b]

|g|.

2) Sommes de Riemann

Définition :soitσn= (ai)_0≤i≤nune subdivision de[a, b]à pas constant : ∀k∈[[0, n]] ak=a+kb−a n ; pour f : [a, b]→R, on appelle somme de Riemann associée àf etσn toute somme de la forme :

R(f, σn) =

n

k=1

(ak−ak−1).f(ck) = b−a n ·

n

k=1

f(ck) où ∀k∈N_n ck∈[ak−1, ak].

Théorème :si f est continue sur[a, b], alors lim

n→∞R(f, σn) =

b a

f. Cas particuliers :

•avec∀k∈N_n ck=ak−1, on obtient b−a n ·

n−1

k=0

f a+kb−a

n −→

n→∞

b a

f.

•avec∀k∈N_n ck=ak , on obtient b−a n ·

n

k=1

f a+kb−a

n −→

n→∞

b a

f.

3) Dérivation et intégration

a) Primitives d’une fonction continue

Définition :soientf ∈ C⁰(I, F)etg:I →R;gestune primitive def si et seulement sigest dérivable surI, avecg^′ =f (doncg est C¹ sur I).

Propriété : si f admet une primitiveg0 surI, alors :

∗ l’ensemble des primitives def surI est {g0+C, C∈R} ;

∗ pour tout(a, b)∈I×R, il existe une unique primitiveg def surI telle queg(a) =b.

Théorème fondamental

Soient f ∈ C⁰(I,R) eta∈I ;f admet des primitives surI et l’unique primitive def surI qui s’annule enaest l’application

g:x→

x a

f(t) dt.

Pour toute primitive hdef surI, on a :

∀(a, b)∈I²

b a

f(t) dt=h(b)−h(a) encore noté h(t) ^b_a. Corollaire : si f est de classeC¹ sur I, alors

∀a∈I ∀x∈I f(x) =f(a) +

x a

f^′(t) dt.

NB : pour f continue sur I, on a en particulier, pour a fixé dans I, d dx

x a

f(t) dt = f(x) et, si uet v sont deux fonctions dérivables à valeurs dansI,

d dx

v(x) u(x)

f(t) dt =v^′(x).f[v(x)]−u^′(x).f[u(x)].

b) Intégration par parties

Soient u:I →R,v:I →R, de classe C¹ surI. Alors

∀(a, b)∈I²

b a

u^′(t).v(t) dt= [u(t).v(t)]^b_a−

b a

u(t).v^′(t) dt

Exercice : on en déduit par récurrence la formule d’intégration par parties itérée ; si u et v sont de classe C^k+1, alors

∀(a, b)∈I²

b a

u^(k+1).v=

k n=0

(−1)ⁿu^(k−n).v⁽ⁿ⁾

b

a

+ (−1)^k+1.

b a

u.v^(k+1)

c) Changement de variable

Théorème :soientf ∈ C⁰(I,R) etϕ∈ C¹([α, β],R)telle que ϕ([α, β])⊂I. Alors

ϕ(β) ϕ(α)

f(x) dx=

β α

ϕ^′(t).f[ϕ(t)] dt

NB : ce résultat est souvent utilisé avec ϕbijective (strictement monotone) pour transformer

b a

f(x) dx (en posantx=ϕ(t),α=ϕ⁻¹(a) etβ =ϕ⁻¹(b)).

Applications

•Soit f continue par morceaux sur[−a, a]: sif est paire,

a

−a

f = 2.

a 0

f ; sif est impaire,

a

−a

f = 0.

•Soit f continue par morceaux surR,T-périodique :

∀(a, b)∈R²

b a

f =

b+T a+T

f et

a+T a

f =

b+T b

f

•Changements de variables usuels pour les calculs de primitives (cf. poly spécifique).

d) Formules de Taylor

Formule de Taylor avec reste intégral : soientf de classe C^k+1 sur I eta∈I. On a

∀x∈I f(x) =Tk(x) +Rk(x) où Tk(x) =

k

n=0

(x−a)ⁿ

n! ·f⁽ⁿ⁾(a) et, en posant t=a+u.(x−a)

Rk(x) =

x a

(x−t)^k

k! ·f^(k+1)(t) dt= (x−a)^k+1 k!

1 0

(1−u)^k·f^(k+1) a+u.(x−a) du

Dém.Récurrence sur k+ intégration par parties. . .

Inégalité de Taylor-Lagrange (complément hors programme) : sif est de classe C^k+1 surI, alors

∀(a, x)∈I² |f(x)−Tk(x)|=|Rk(x)| ≤ |x−a|^k+1 (k+ 1)! ·sup

[a,x]

f^(k+1) .

NB : les deux résultats précédents ont un caractère global, tandis que les deux suivants donnent un renseignementlocal.

Primitivation d’un développement limité : soientϕcontinue surI,a∈I ; si ϕadmet un DLk en a, ϕ(x) =C0+ (x−a).C1+· · ·+ (x−a)^k.Ck+o (x−a)^k

alors Φ :x→

x a

ϕ(t) dtadmet le DLk+1 en asuivant :

Φ (x) = (x−a).C0+(x−a)²

2 ·C1+· · ·+(x−a)^k+1

k+ 1 ·Ck+o (x−a)^k+1 Corollaire : sif est de classeC¹ sur I,a∈I etf^′ admet unDLk ena,

f^′(x) =C0+ (x−a).C1+· · ·+ (x−a)^k.Ck+o (x−a)^k alorsf admet leDLk+1 enasuivant :

f(x) =f(a) + (x−a).C0+ (x−a)²

2 ·C1+· · ·+ (x−a)^k+1

k+ 1 ·Ck+o (x−a)^k+1

Attention !

Si l’on connaît leDLk+1 def et si l’on sait que f^′ admet un DLk alors ce dernier s’obtient par dériva- tion terme à terme de celui de f,

maispar exemplef :x→x³sin 1

x² (prolongée parf(0) = 0) admet leDL2 en 0 : f(x) =o x² tandis que f^′ n’admet pas deDL1 en 0 (elle n’est même pas continue !).

Formule de Taylor-Young : sif est de classeC^k surI eta∈I, alorsf admet le DLk en asuivant : f(x) =Tk(x)+o (x−a)^k =f(a)+(x−a).f^′(a)+(x−a)²

2! ·f^′′(a)+· · ·+(x−a)^k

k! ·f^(k)(a)+o (x−a)^k . Exemples : les développements limités usuels, y compris ceux qui s’obtiennent par intégration (ln (1 +x),

arctanx,arcsinx, etc.)