Devoir commun n°3 - TS - 4 heures - 11/05/2019
Exercice I (6 points)
O B A
B′
C
C′
D
D′
I J
Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cava- lière. Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C, et OAB′B sont des rectangles.
Le plan de face (OBD) est muni d’un repère ortho- normé (O, I, J).
L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.
Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonctionf définie sur l’intervalle [0; 20]
par
f(x)=(x+1)ln(x+1)−3x+7.
On notef′la fonction dérivée de la fonctionf etC la courbe représentative de la fonctionf dans le repère (O, I, J).
Partie 1
1. Montrer que pour tout réelxappartenant à l’intervalle [0; 20], on af′(x)=ln(x+1)−2.
2. En déduire les variations def sur l’intervalle [0; 20] et dresser son tableau de variation.
3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbeC au point d’abscisse 0.
C
D B
C
O I J
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.
4. On admet que la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [0; 20] par g(x)=1
2(x+1)2ln(x+1)−1 4x2−1
2x
a pour dérivée la fonctiong′définie sur l’intervalle [0; 20] parg′(x)=(x+1)ln(x+1).
Déterminer une primitive de la fonctionf sur l’intervalle [0; 20].
1
Partie 2
Les trois questions de cette partie sont indépendantes
1. Les propositions suivantes sont-elles exactes? Justifier les réponses.
P1: La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
P2: L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.
2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
3.On souhaite peindre en noir la piste roulante, autre- ment dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les pointsBk(k; f(k)) pourkvariant de 0 à 20.
Ainsi,B0=B.
O
B A
B′
C
C′
D
D′
I B1
B1′
B2
B′2
Bk
B′k
Bk+1 B′k
+1
J
On décide d’approcher l’arc de la courbeC allant deBk àBk+1par le segment [BkBk+1].
Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du typeBkBk+1Bk′+1Bk
(voir figure).
(a) Montrer que pour tout entierkvariant de 0 à 19, BkBk+1=
q1+[f(k+1)−f(k)]2.
(b) Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.
Variables S: réel K : entier
Fonction f : définie parf(x)=(x+1)ln(x+1)−3x+7 Traitement Sprend pour valeur 0
PourK variant de . . . à . . . Sprend pour valeur . . . . Fin Pour
Sortie Afficher . . . Exercice II (4 points)
Une suite numérique (un) est définie par son premier termeu1=2 et par la relation. de récurrence, valable pour nÊ1 :
ln(un+1)=1 2 µ
ln(un)+ln µ n
(n+1)2
¶¶
.
1. Vérifier, en utilisant les propriétés de la fonction ln, que cette suite est bien définie et que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 2.
2. On pose, pournÊ1,vn=nunpuiswn=ln(vn).
Déterminer la relation entrewn+1etwnet en déduire que la suite (wn) est géométrique de raison1 2. 3. Déterminer la limite de la suite (wn) et en déduire celle de la suite (un).
4. Calculer la somme :
Sn=w1+w2+ · · · +wn.
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Exercice III (5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct¡
O;−→u ;−→v¢
. On prendra pour unité graphique le cen- timètre.
1. Résoudre dansCl’équation¡
z2−2z+4¢ ¡ z2+4¢
=0.
2. On considère les points A et B d’affixes respectiveszA=1+ip
3 etzB=2i.
(a) ÉcrirezAetzBsous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
(b) Faire une figure et placer les points A et B.
(c) Déterminer une mesure de l’angle³−→OA,−→OB´ . 3. On note F le point d’affixezF=zA+zB.
(a) Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
(b) En déduire une mesure de l’angle³−→OA,−→OF´
puis de l’angle³
−
→u,−→OF´ .
(c) Calculer le module dezFet en déduire l’écriture dezFsous forme trigonométrique.
(d) En déduire la valeur exacte de : cos µ5π
12
¶ .
4. Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l’une : cos µ5π
12
¶
=
p2−p 3 2 et pour l’autre : cos
µ5π 12
¶
=
p6−p 2
4 .
Ces résultats sont-ils contradictoires? Justifier la réponse.
Exercice IV (4 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormé³ O;−→
i ;−→ j ;−→
k´ .
On considère deux droitesd1etd2définies par les représentations paramétriques :
d1:
x = 2+t y = 3−t z = t
,t∈R e†
x = −5+2t′ y = −1+t′ z = 5
,t′∈R. On admet que les droitesd1etd2sont non coplanaires.
Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite∆qui soit à la fois sécante avec les deux droitesd1etd2et orthogonale à ces deux droites.
1. Vérifier que le point A(2; 3; 0) appartient à la droited1.
2. Donner un vecteur directeur−u→1de la droited1et un vecteur directeur−u→2de la droited2. Les droitesd1etd2sont-elles parallèles?
3. Vérifier que le vecteur→−v(1 ;−2 ;−3) est orthogonal aux vecteurs−u→1et−u→2. ‘ 4. SoitPle plan passant par le point A, et dirigé par les vecteurs−u→1et−→v.
On étudie dans cette question l’intersection de la droited2et du planP.
(a) Montrer qu’une équation cartésienne du planPest : 5x+4y−z−22=0.
(b) Montrer que la droited2coupe le planPau point B (3; 3; 5) . 5. On considère maintenant la droite∆dirigée par le vecteur→−v
1
−2
−3
, et passant par le point B (3; 3; 5).
(a) Donner une représentation paramétrique de cette droite∆. (b) Les droitesd1et∆sont-elles sécantes? Justifier la réponse.
(c) Expliquer pourquoi la droite∆répond au problème posé.
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Exercice V (3 points)
Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour cha- cune d’entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd aucun point si sa réponse est fausse.
On considère trois candidats :
• Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions.
Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité qu’il réponde correctement est égale à1 4;
• Barbara est un peu mieux préparée. On considère que pour chacune des vingt questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est de1
2;
• Camille fait encore mieux : pour chacune des questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est de2 3. 1. On note X, Y etZ les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara et
Camille.
(a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoireX? Justifier.
(b) À l’aide de la calculatrice, donner l’arrondi au millième de la probabilitéP(XÊ10).
Dans la suite, on admettra queP(Y Ê10)≈0,588 etP(ZÊ10)≈0,962.
2. On choisit au hasard la copie d’un de ces trois candidats.
On noteA,B,CetMles évènements :
• A: « la copie choisie est celle d’Anselme »;
• B: « la copie choisie est celle de Barbara »;
• C: « la copie choisie est celle de Camille »;
• M: « la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10 ».
On constate, après l’avoir corrigée, que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10 sur 20.
Quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara?
On donnera l’arrondi au millième de cette probabilité.
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