I. ELEMENTS DE LOGIQUE
a) Propositions - Règles logiquesdéfinition :
on appelle propriété ou assertion une affirmation à laquelle on peut attacher
soit p une assertion , on appelle table de vérité de p la table : p
V F
exemples : 3 est un nombre impair ( proposition vraie ) Paris est la capitale de l’Italie (proposition fausse).
définition :
Un théorème ou proposition est une assertion vraie.
règles logiques : on admet les règles suivantes - principe d’identité : « A » est « A »
- principe de non contradiction : on ne peut avoir p vrai et p faux en même temps - principe du tiers exclu : une proposition qui n’est pas vraie est fausse et une
proposition qui n’est pas fausse est vraie . b) Opérateurs logiques
Les opérateurs logiques permettent de combiner des propositions pour en obtenir de nouvelles :
- négation : la négation d’une proposition p est notée non p ; p ; p
p non p
V F
F V
exemple : p : les pommes sont bleues ; non p : les pommes ne sont pas bleues - conjonction : ‘ et ’ notée ∧
- disjonction inclusive : ‘ ou ’ notée ∨ - implication : notée ⇒
- équivalence : notée ⇔
AL.2
LOGIQUE - ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES
une valeur de vérité : soit vraie soit fausse .
table de vérité
ils sont définis par la table de vérité :
p q p ∨∨∨∨ q p ∧∧∧∧ q p ⇒⇒⇒ q ⇒ p ⇔⇔⇔⇔ q
V V V V V V
V F V F F F
F V V F V F
F F F F V V
• On peut exprimer l’équivalence logique p ⇔ q de l’une des façons suivantes :
∗ pour que p, il faut et il suffit q; p est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour q
∗ p si, et seulement si q
c) Tautologie
définition :
Un théorème de logique (appelé aussi tautologie) est une assertion vraie quelles que soient les valeurs de vérité des éléments qui la composent .
exemples : 1. p ⇒ p 2. ( p) ⇔ p
3. p∨( p) (tiers exclus)
4. (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q (règle d’inférence, ou syllogisme)
exemple : soient les propositions p: « x=6 » et q: « x est un nombre pair » alors : (x =6 et (x=6 ⇒ x et un nombre pair )) ⇒ x et un nombre pair 5. lois de Morgan :
a) ( p ∧ q) ⇔ ( p ∨ q )
exemple : (x,y) ≠ (1,2) ⇔ x ≠1 ou y ≠ 2 b) (p ∨ q) ⇔ ( p ∧ q )
c) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) d) De même que (c) en permutant ∧ , ∨ 6. l’implication :
• ( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ⇔⇔⇔ ( ⇔ p ∨∨∨∨ q )
• ( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ⇔⇔⇔ (⇔ q ⇒⇒⇒⇒p ) contraposée
7. négation d’une implication : (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇔⇔⇔⇔ ( p et q)
Remarque : l’implication q ⇒ p est appelée réciproque de p ⇒ q Remarques :
• Dans l’implication p ⇒ q, p s’appelle l’hypothèse, q la conclusion.
• On peut exprimer l’implication p ⇒ q de l’une des façons suivantes :
∗ pour que p, il faut q ; q est une condition nécessaire de p
∗ pour que q, il suffit p ; p est une condition suffisante pour q
∗ si p, alors q.
d) principaux types de raisonnements
1. transitivité : de (p ⇒ q) vraie et (q ⇒ r) vraie on déduit que (p ⇒ r) vraie.
2. syllogisme : de p vraie et p ⇒ q vraie on déduit que q est vraie
3. disjonction des cas : de [ (p ⇒ q) vrai et (p ⇒ q) vraie ] on déduit que q est vraie exemple : pour n∈ montrons que n(n+1) est pair.
4. contraposition : on sait que (p ⇒ q) ⇔ (non q ⇒ non p) exemple : pour démontrer que a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b)
il est souvent plus facile de montrer que f(a) = f(b) ⇒ a = b
5. raisonnement par l’absurde : Pour montrer que p ⇒ q est vraie, on suppose que p est vraie et q fausse, et on montre que cela entraîne une contradiction ; car dans une théorie logique, une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse (s’il en est ainsi la théorie est dite contradictoire) ; ce raisonnement par l’absurde utilise le résultat suivant :
( p ⇒ q ) vraie équivaut à ( p ou q ) vraie soit (p et q) fausse
6. méthode du contre exemple : pour montrer que p ⇒ q est faux , il suffit d’exhiber un cas où p est vrai et q est faux . ( négation d’une implication )
exemple : montrer que la proposition suivante est fausse:
« si n est divisible par 4 et par 6 alors n est divisible par 24
II. ENSEMBLES
définition : On appelle ensemble une collection d’objets.
a) Quantificateurs
Soit P une proposition dépendant d’une variable x . On introduit 2 nouveaux opérateurs :
∀ : se lit « quel que soit » ou « pour tout »
∃ : se lit « il existe au moins un»
∃ ! : se lit « il existe un unique»
Remarque : ordre des quantificateurs :
2 quantificateurs de même nature peuvent être permutés
2 quantificateurs de nature différentes ne peuvent pas être permutés.
b) Négation d’une phrase quantifiée
Soit P une proposition dépendant d’une variable x et E un ensemble, alors :
(∀x ∈E, P) ⇔ (∃x ∈E, P)
(∃x ∈E, P) ⇔ (∀x ∈E, P) Exemples :
1. La négation de la proposition (∀x ∈E, x.0 = 0) est (∃ x ∈E, x.0 ≠ 0).
2. La négation de la proposition (∀(a,b)∈2, (a<b ⇒ a2<b2)) est (∃(a,b)∈2, (a<b et a2>b2)) 3. La négation de la proposition : ∀a ∈E ,∀ε>0, ∃η>0, ∀x ∈E, (Ix-aI≤ η⇒If(x)-f(a)I≤ ε) est ∃a ∈E , ∃ε>0, ∀η>0, ∃x ∈E, (Ix-aI≤ η et If(x)-f(a)I> ε)
c) Inclusion
définition :
Soient A et B 2 ensembles , on dit que A est inclus dans B ou A est une partie de B si pour tout x de A, x est élément de B ( ∀x∈A, x∈B ) . On note alors A ⊂ B
On note P (A) l’ensemble des parties de A.
exemple : pour A = {a,b} P (A) = {∅ , {a},{b},{a,b} } remarques :
• A ⊂ B ⇔ (x∈A ⇒ x∈B ) ; on a ∅⊂ A , A ⊂ A pour tout ensemble A.
• A = B ⇔ (A ⊂ B et B ⊂ A ) .
• La négation de A ⊂ B est notée A ⊄ B ceci veut dire : ∃x∈A, x∉B.
• A ≠ B ⇔ (A ⊄ B) ou (B ⊄ A).
• (A ⊂ B et B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) transitivité
d) Opérations dans P (E) 1) Définitions
Soient E un ensemble, A et B des parties de E :
CE(A) ={ x∈E, x∉A} =A complémentaire de A dans E A∩B = {x∈E, x∈A et x∈B} intersection de A et B A∪B = {x∈E, x∈A ou x∈B} réunion de A et B A \ B = {x∈A, x ∉B} = A∩B différence A moins B
A∆B = (A \ B)∪(B \ A) différence symétrique de A et B 2) Propriétés
- la réunion et l’intersection de 2 ensembles sont commutatives, associatives, distributives l’une par rapport à l’autre (A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C))
- A∩B=A∪B , A∪B=A∩B lois de Morgan
Rq : soit (Ei)i∈N une famille de parties de E, on note i
i
E
∈
∪
= {x∈E / ∃∃∃∃ i∈ , x∈Ei }et i
i
E
∈
∩
= {x∈E / ∀i∈ , x∈Ei }3) Partition
définition :
I ⊂ (Ei)i∈I une famille de parties d’un ensemble E est une partition de E si :
( , ) 2/ , ,
i I i
i j
i
E E
i j I i j E E
i I E
∪∈ =
∀ ∈ ≠ ∩ = ∅
∀ ∈ ≠ ∅
exemple : E = {1,2,3,4,5,6} E1={1,2,3} E2={4,5} E3={6} (Ei)i∈{1,2,3} est une partition de E 4) produit cartésien
définition :
Soient E et F deux ensembles , on appelle produit cartésien de E et F l’ensemble E × F = { x = (x1,x2) , x1∈E , x2∈F }
exemple : E = {1, 2}, F = {a, b, c} E × F = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
mais (a, 1)∉E × F.
Rq : cette définition s’étend au produit cartésien d’une famille d’ensembles
III. RELATIONS
a) Définitions
définition :
Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R de E vers F
un triplet (E,F,G) où G est une partie de E ×F (appelé graphe de la relation) pour x∈E, y∈F, on note x R y lorsque (x,y)∈G
Rq : si E = F une relation binaire R de E vers E est dite relation dans E définitions :
Soit R une relation dans un ensemble E. On dit que : R est réflexive si ∀x∈E x R x
R est symétrique si ∀(x,y)∈E2 x R y ⇒ y R x
R est transitive si ∀(x,y,z)∈E3, ( x R y et y R z ) ⇒ x R z R est antisymétrique si ∀(x,y)∈E2, ( x R y et y R x ) ⇒ x = y exemples : étudier les relations suivantes :
• inclusion (⊂) dans un ensemble E
• strictement inférieur à (<) dans
• non inclusion b) Relation d’équivalence
définition :
Soit R une relation dans un ensemble E. On dit que R est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
Rq : soient R une relation d’équivalence sur E et x∈E .
x = { y∈E, y R x } est appelé classe d’équivalence de x .
L’ensemble des classes d’équivalence forme une partition de E appelé ensemble quotient de E par R et noté E / R .
exemples : - l’égalité dans est une relation d’équivalence
- dans * la relation x ≡ y [5] ⇔∃∃∃∃k∈Z / x - y = 5k ( congruence modulo 5 ) dans ce cas * / R = {0 1 2 3 4, , , , }
c) Relation d’ordre
définition :
Soit R une relation dans un ensemble E. On dit que R est une relationd’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
exemples : ≤ dans ( ou Z ou ...)
⊂ dans un ensemble E
| dans * (relation divise)
Rq : on note souvent (E, ≤) un ensemble ordonné (muni d’une relation d’ordre ) éléments particuliers dans un ensemble ordonné :
Soient (E, ≤) un ensemble ordonné, A ⊂ E et x∈E.
• x est un majorant de A si ∀a∈A, x ≥ a minorant de A si ∀a∈A, x ≤ a
Si A admet un majorant (Resp. minorant), on dit que A est majorée (Resp. minorée)
• p∈A , p est le plus grand élément de A si ∀a∈A, p ≥ a . On note p = max A (s’il existe ! ).
De même avec le plus petit élément noté min A
• On appelle borne supérieure (resp. inférieure ) de A, le plus petit (s’il existe) des majorants de A, notée sup A (resp. le plus grand des minorants, noté inf A) exemple : A = [ 2, 5 [ n’admet pas, dans , de plus grand élément mais admet une borne
supérieure : sup A = 5.