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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

I. ELEMENTS DE LOGIQUE

a) Propositions - Règles logiques

définition :

on appelle propriété ou assertion une affirmation à laquelle on peut attacher

soit p une assertion , on appelle table de vérité de p la table : p

V F

exemples : 3 est un nombre impair ( proposition vraie ) Paris est la capitale de l’Italie (proposition fausse).

définition :

Un théorème ou proposition est une assertion vraie.

règles logiques : on admet les règles suivantes - principe d’identité : « A » est « A »

- principe de non contradiction : on ne peut avoir p vrai et p faux en même temps - principe du tiers exclu : une proposition qui n’est pas vraie est fausse et une

proposition qui n’est pas fausse est vraie . b) Opérateurs logiques

Les opérateurs logiques permettent de combiner des propositions pour en obtenir de nouvelles :

- négation : la négation d’une proposition p est notée non p ;  p ; p

p non p

V F

F V

exemple : p : les pommes sont bleues ; non p : les pommes ne sont pas bleues - conjonction : et notée ∧

- disjonction inclusive : ‘ ou notée ∨ - implication : notée

- équivalence : notée ⇔

AL.2

LOGIQUE - ELEMENTS DE LA THEORIE DES ENSEMBLES

une valeur de vérité : soit vraie soit fausse .

table de vérité

(2)

ils sont définis par la table de vérité :

p q p ∨∨∨∨ q p ∧∧∧∧ q p ⇒⇒ q p ⇔⇔ q

V V V V V V

V F V F F F

F V V F V F

F F F F V V

• On peut exprimer l’équivalence logique p ⇔ q de l’une des façons suivantes :

∗ pour que p, il faut et il suffit q; p est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour q

∗ p si, et seulement si q

c) Tautologie

définition :

Un théorème de logique (appelé aussi tautologie) est une assertion vraie quelles que soient les valeurs de vérité des éléments qui la composent .

exemples : 1. p p 2. ( p) ⇔ p

3. p∨( p) (tiers exclus)

4. (p ∧ (p q)) q (règle d’inférence, ou syllogisme)

exemple : soient les propositions p: « x=6 » et q: « x est un nombre pair » alors : (x =6 et (x=6 x et un nombre pair )) x et un nombre pair 5. lois de Morgan :

a) ( p ∧ q) ⇔ ( p ∨ q )

exemple : (x,y) ≠ (1,2) ⇔ x ≠1 ou y ≠ 2 b) (p ∨ q) ⇔ ( p ∧ q )

c) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) d) De même que (c) en permutant ∧ , ∨ 6. l’implication :

( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ⇔⇔⇔ ( ⇔ p ∨∨∨∨ q )

( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ⇔⇔⇔ (⇔ q ⇒⇒⇒⇒p ) contraposée

7. négation d’une implication : (p ⇒⇒⇒⇒ q) ⇔⇔⇔⇔ ( p et q)

Remarque : l’implication q p est appelée réciproque de p q Remarques :

• Dans l’implication p q, p s’appelle l’hypothèse, q la conclusion.

• On peut exprimer l’implication p q de l’une des façons suivantes :

∗ pour que p, il faut q ; q est une condition nécessaire de p

∗ pour que q, il suffit p ; p est une condition suffisante pour q

∗ si p, alors q.

(3)

d) principaux types de raisonnements

1. transitivité : de (p q) vraie et (q r) vraie on déduit que (p r) vraie.

2. syllogisme : de p vraie et p q vraie on déduit que q est vraie

3. disjonction des cas : de [ (p q) vrai et (p q) vraie ] on déduit que q est vraie exemple : pour n∈ montrons que n(n+1) est pair.

4. contraposition : on sait que (p q) ⇔ (non q non p) exemple : pour démontrer que a ≠ b f(a) ≠ f(b)

il est souvent plus facile de montrer que f(a) = f(b) a = b

5. raisonnement par l’absurde : Pour montrer que p q est vraie, on suppose que p est vraie et q fausse, et on montre que cela entraîne une contradiction ; car dans une théorie logique, une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse (s’il en est ainsi la théorie est dite contradictoire) ; ce raisonnement par l’absurde utilise le résultat suivant :

( p q ) vraie équivaut à ( p ou q ) vraie soit (p et q) fausse

6. méthode du contre exemple : pour montrer que p q est faux , il suffit d’exhiber un cas où p est vrai et q est faux . ( négation d’une implication )

exemple : montrer que la proposition suivante est fausse:

« si n est divisible par 4 et par 6 alors n est divisible par 24

II. ENSEMBLES

définition : On appelle ensemble une collection d’objets.

a) Quantificateurs

Soit P une proposition dépendant d’une variable x . On introduit 2 nouveaux opérateurs :

: se lit « quel que soit » ou « pour tout »

: se lit « il existe au moins un»

∃ ! : se lit « il existe un unique»

Remarque : ordre des quantificateurs :

2 quantificateurs de même nature peuvent être permutés

2 quantificateurs de nature différentes ne peuvent pas être permutés.

b) Négation d’une phrase quantifiée

Soit P une proposition dépendant d’une variable x et E un ensemble, alors :

 (∀x ∈E, P) ⇔ (∃x ∈E, P)

(4)

 (∃x ∈E, P) ⇔ (∀x ∈E, P) Exemples :

1. La négation de la proposition (∀x ∈E, x.0 = 0) est (∃ x ∈E, x.0 ≠ 0).

2. La négation de la proposition (∀(a,b)∈2, (a<b a2<b2)) est (∃(a,b)∈2, (a<b et a2>b2)) 3. La négation de la proposition : ∀a ∈E ,∀ε>0, ∃η>0, ∀x ∈E, (Ix-aI≤ η⇒If(x)-f(a)I≤ ε) est ∃a ∈E , ∃ε>0, ∀η>0, ∃x ∈E, (Ix-aI≤ η et If(x)-f(a)I> ε)

c) Inclusion

définition :

Soient A et B 2 ensembles , on dit que A est inclus dans B ou A est une partie de B si pour tout x de A, x est élément de B ( ∀x∈A, x∈B ) . On note alors A ⊂ B

On note P (A) l’ensemble des parties de A.

exemple : pour A = {a,b} P (A) = {∅ , {a},{b},{a,b} } remarques :

• A ⊂ B ⇔ (x∈A x∈B ) ; on a ∅⊂ A , A ⊂ A pour tout ensemble A.

• A = B ⇔ (A ⊂ B et B ⊂ A ) .

• La négation de A ⊂ B est notée A ⊄ B ceci veut dire : ∃x∈A, x∉B.

• A ≠ B ⇔ (A ⊄ B) ou (B ⊄ A).

• (A ⊂ B et B ⊂ C) (A ⊂ C) transitivité

d) Opérations dans P (E) 1) Définitions

Soient E un ensemble, A et B des parties de E :

CE(A) ={ x∈E, x∉A} =A complémentaire de A dans E A∩B = {x∈E, x∈A et x∈B} intersection de A et B A∪B = {x∈E, x∈A ou x∈B} réunion de A et B A \ B = {x∈A, x ∉B} = A∩B différence A moins B

A∆B = (A \ B)∪(B \ A) différence symétrique de A et B 2) Propriétés

- la réunion et l’intersection de 2 ensembles sont commutatives, associatives, distributives l’une par rapport à l’autre (A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C))

- A∩B=A∪B , A∪B=A∩B lois de Morgan

Rq : soit (Ei)i∈N une famille de parties de E, on note i

i

E

= {xE / i , xEi }

et i

i

E

= {xE / i , xEi }

3) Partition

définition :

(5)

I ⊂ (Ei)i∈I une famille de parties d’un ensemble E est une partition de E si :

( , ) 2/ , ,

i I i

i j

i

E E

i j I i j E E

i I E

=



∀ ∈ ≠ ∩ = ∅



∀ ∈ ≠ ∅



exemple : E = {1,2,3,4,5,6} E1={1,2,3} E2={4,5} E3={6} (Ei)i∈{1,2,3} est une partition de E 4) produit cartésien

définition :

Soient E et F deux ensembles , on appelle produit cartésien de E et F l’ensemble E × F = { x = (x1,x2) , x1∈E , x2∈F }

exemple : E = {1, 2}, F = {a, b, c} E × F = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

mais (a, 1)∉E × F.

Rq : cette définition s’étend au produit cartésien d’une famille d’ensembles

III. RELATIONS

a) Définitions

définition :

Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R de E vers F

un triplet (E,F,G) où G est une partie de E ×F (appelé graphe de la relation) pour x∈E, y∈F, on note x R y lorsque (x,y)∈G

Rq : si E = F une relation binaire R de E vers E est dite relation dans E définitions :

Soit R une relation dans un ensemble E. On dit que : R est réflexive si ∀x∈E x R x

R est symétrique si ∀(x,y)∈E2 x R y y R x

R est transitive si ∀(x,y,z)∈E3, ( x R y et y R z ) x R z R est antisymétrique si ∀(x,y)∈E2, ( x R y et y R x ) x = y exemples : étudier les relations suivantes :

• inclusion (⊂) dans un ensemble E

• strictement inférieur à (<) dans

• non inclusion b) Relation d’équivalence

définition :

(6)

Soit R une relation dans un ensemble E. On dit que R est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.

Rq : soient R une relation d’équivalence sur E et x∈E .

x = { y∈E, y R x } est appelé classe d’équivalence de x .

L’ensemble des classes d’équivalence forme une partition de E appelé ensemble quotient de E par R et noté E / R .

exemples : - l’égalité dans est une relation d’équivalence

- dans * la relation x ≡ y [5] ⇔∃∃∃∃k∈Z / x - y = 5k ( congruence modulo 5 ) dans ce cas * / R = {0 1 2 3 4, , , , }

c) Relation d’ordre

définition :

Soit R une relation dans un ensemble E. On dit que R est une relationd’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

exemples : dans ( ou Z ou ...)

⊂ dans un ensemble E

| dans * (relation divise)

Rq : on note souvent (E, ≤) un ensemble ordonné (muni d’une relation d’ordre ) éléments particuliers dans un ensemble ordonné :

Soient (E, ≤) un ensemble ordonné, A ⊂ E et x∈E.

• x est un majorant de A si ∀a∈A, x ≥ a minorant de A si ∀a∈A, x ≤ a

Si A admet un majorant (Resp. minorant), on dit que A est majorée (Resp. minorée)

• p∈A , p est le plus grand élément de A si ∀a∈A, p ≥ a . On note p = max A (s’il existe ! ).

De même avec le plus petit élément noté min A

• On appelle borne supérieure (resp. inférieure ) de A, le plus petit (s’il existe) des majorants de A, notée sup A (resp. le plus grand des minorants, noté inf A) exemple : A = [ 2, 5 [ n’admet pas, dans , de plus grand élément mais admet une borne

supérieure : sup A = 5.

Références

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