Calcul littéral – Equations : Rappels
Leçon 1
I. Simplification d'écriture
Afin d’alléger les écritures, on peut ne pas écrire le signe ´ dans les calculs lorsqu'il est suivi d'une lettre ou d'une parenthèse.
Par exemple :
« 3 ´ (5 + 6) » devient « 3 (5 + 6) »
« (1 + 2) ´ (3 + 4) » devient « (1 + 2)(3 + 4) »
« 5 ´ a » devient « …. »
« a ´ b » devient « …. »
Exemples : Réécrire ces lignes de calculs en supprimant les signes « ´ » quand c’est possible.
a. « -2 ´ (L + 4) » devient « ... » b. « (2 – 7) ´ (3 + 5) » devient « ... » c. « 15 ´ x + a ´ b » devient « ... » d. « a + b ´ 3 » devient « ... » Remarque : a ´ a se note a2 (et non aa !!), déjà vu dans………
Cette notation est aussi valable pour les nombres : 3 ´ 3 = 32 =…..
Leçon 2 Correction des exercices
Rappels de cours
II. Développer a. Simple distributivité
Pour calculer l'aire de ce rectangle, on peut procéder de deux manières :
Première manière :
On considère qu'il s'agit d'un rectangle dont les dimensions sont (a + b) et c. L'aire est alors égale au produit ………
Deuxième manière :
On considère que ce rectangle est constitué de deux rectangles dont les dimensions sont, pour l'un a et c, et pour l'autre b et c. L'aire est alors égale à la somme …………...
Ces deux calculs donnant l'aire de la même surface, il y a donc égalité. Cette égalité porte le nom de
"distributivité du produit sur la somme".
c(a + b) = ac + bc.
Elle doit se lire dans les deux sens.
Le passage de l'écriture c(a + b) à l'écriture ac + bc porte le nom de développement.
Le passage de l'écriture ac + bc à l'écriture c(a + b) porte le nom de factorisation
a b
c
Développer, c'est transformer un produit en une somme ou une différence. Pour développer, on se sert des formules suivantes : pour tous nombres a, b et k on a
k (a + b) = ka + kb et k (a – b) = ka – kb
produit somme produit différence Exemples : Développer et calculer tant que c'est possible.
A = 6 (t – 3) B = 3 (2x + 5) C = -8 (-3 + y)
Leçon 3 Correction des exercices
Rappels de cours
b. double distributivité
L'aire du rectangle peut se calculer de deux manières : soit en considérant le rectangle de dimensions (a + b) et (c + d), soit en considérant les quatre petits rectangles le composant. On obtient alors deux expressions équivalentes qui généralisent la règle de distributivité à des produits dont les deux facteurs sont des sommes.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Pour développer ce produit de deux sommes, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la deuxième.
Leçon 4 Correction des exercices
Rappels de cours
III. Equations
a. Les opérations inverses
Si x ´ b = p alors x =
Si x b = q alors x = q ´ b Si x – b = d alors x = d + b Si x + b = s alors x = s – b b. Le principe de la vérification
Sans chercher à résoudre ces équations, retrouver parmi les nombres proposés ceux qui transforment l’équation en une égalité vraie.
Exemple : 4 – x = 5x – 14 a-t-il 6 pour solution ???
4 – 6 = -2 et 5 ´ 6 – 14 = 30 – 14 = 16 ; -2 16 ; donc le nombre 6 ne convient pas pour la première équation ; 6 n’est pas solution de l’équation 4 – x = 5x – 14.
Équations Solutions proposées
c
d a b
bc ac
ad bd
4 – x = 5x – 14 6 2 3 1 0
= 6 5 4 3 2
2(9x + 15) = 3(8x – 3) 1 3 5 8
c. Équations à résoudre
Considérons les équations du type ax + b = c. Les lettres a, b et c représentent des nombres connus et x représente celui que l’on cherche. Le premier membre de l’équation est ax + b et le deuxième membre est c.
Etudions l’exemple suivant 4x + 5 = 13.
Ici a = 4, b = 5 et c = 13 ; le nombre cherché est x.
Le premier membre de l’équation est 4x + 5 et le deuxième membre est 13.
A partir de x on peut décrire la suite des opérations permettant d’obtenir le premier membre de la manière suivante : multiplier par 4 puis ajouter 5.
x ¾¾¾¾®;\s\up9(\d\fo2( 4x ¾¾¾¾®;\s\up9(\d\fo2( 4x + 5
Alors à partir du nombre 13 il semble possible de retrouver la valeur de x en renversant les flèches et en choisissant les bonnes opérations : soustraire 5 d’abord, puis diviser par 4.
2 ¬¾¾¾¾;\s\up9(\d\fo2( 8 ¬¾¾¾¾;\s\up9(\d\fo2( 13
Cela donne 2. On vérifie que 4 ´ 2 + 5 = 8 + 5 = 13 et que la valeur 2 est solution de l’équation 4x + 5 = 13.
De la même manière, schématiser pour résoudre les équations suivantes :
2x – 4 = 0 x + 2 = 15 3 + 7x = 24 + 1 = 4
x = 15 x + 4 = 4x – = 0 5 + x = 12
