1. Introduction
L'étude des régimes permanents qu'ils soient continus ou périodiques ne suffit pas à définir complètement un système électronique. Certaines transitions de signaux, par exemple le basculement de l'état bas (0) à l'état haut (1) de la sortie d'un circuit numérique, vont provoquer un régime transitoire qui mettra un certain temps avant de devenir un régime permanent.
Ces états transitoires sont dus aux composants réactifs (condensateur ou bobine) dont la loi de variation du courant en fonction de la tension introduit une opération mathématique de dérivation ou d’intégration entre courant et tension (contrairement aux résistances pour lesquelles la relation U=RI ne dépend pas du temps).
Ces composants réactifs peuvent être placés volontairement dans le circuit, dans le but d'obtenir une temporisation par exemple (multivibrateur monostable) ou encore une accumulation d'énergie (alimentation à découpage). Ils peuvent également être simplement des éléments parasites devenant très gênants dès que l'on fonctionne avec des signaux haute fréquence, les durées des transitoires n'étant alors plus négligeables devant la période du signal. A titre d'exemple la capacité parasite entre deux broches d'un circuit intégré est de l'ordre de 5 pF et l'inductance d'un fil conducteur vaut environ 10 nH/m.
Nous allons passer en revue les principaux régimes transitoires rencontrés en électronique.
2. Circuit RC attaqué par un échelon de tension
Considérons le circuit figure 1.
R C
E i vc
1 2
Figure 1 : échelon de tension à l'entrée d'un circuit RC
Le basculement d'un circuit numérique peut être simulé par le basculement de l'interrupteur.
Supposons que celui-ci passe en position 1 à l'instant t=0. Le circuit RC va alors subir une variation de tension appelée aussi échelon de tension. Quel est alors le courant dans le circuit et la tension aux bornes du condensateur?
D'un point de vue purement qualitatif, une première réponse peut être donnée en se rappelant qu'un condensateur est formé par deux armatures conductrices séparées par un isolant. L'apparition de la tension aux bornes du circuit RC provoque l'accumulation de charges électriques sur les armatures, charges provoquant la montée de la tension aux bornes du condensateur. L'augmentation de cette tension a pour effet de diminuer celle aux bornes de la résistance, donc le courant -figure2-.
Le condensateur peut être comparé à une batterie en charge : au début la batterie est déchargée et un fort courant est appelé puis en fin de charge le courant tend à s'annuler.
t
t E
R
ττττ
63% de E
ττττ E
v
i
c
Figure 2 : tension et courant de charge d'un condensateur D'un point de vue quantitatif la loi des mailles nous donne :
E R i v= + c
la relation fondamentale du condensateur nous précisant : i C d v= d tc
Les deux équations deviennent alors :
E RC d v d tc vc
= +
La solution de cette équation différentielle est la somme d'une solution de l'équation sans second membre et d'une solution générale, ce qui donne en supposant le condensateur déchargé à l'instant pris comme origine des temps :
vc E e
t
= (1− −τ)
Le paramètre τ est appelé la constante de temps du circuit et vaut RC. Le courant est calculé à partir de cette équation et de la relation fondamentale du condensateur :
i ER e
= −tτ
La figure 2 représente l'évolution du courant et de la tension. Quelques points importants sont à noter. La tension aux bornes du condensateur démarre de la valeur initiale avant le basculement de l'interrupteur. En effet cette tension ne peut subir de discontinuité qui provoquerait d'après l'équation i C d v= d tc un courant théoriquement infini. En début de charge le courant est uniquement limité par la résistance. Sur les deux courbes la tangente à l'origine coupe l'asymptote au temps τ, celui-ci étant représentatif de la rapidité d'évolution du circuit ; à cet instant la charge est à 63% du maximum. En fin de charge le courant tend vers 0 et la tension vers la valeur de l'alimentation. Le condensateur se comporte comme un réservoir d'énergie. On montre qu'à chaque instant cette énergie vaut :
w= 1C vc
2 2
On retrouve bien le fait que le condensateur ne peut subir une discontinuité de tension, celle - ci conduisant à une discontinuité d'énergie, ce qui est contraire aux lois de la physique. A la fin de la charge cette énergie vaut donc :
w= 1C E
2 2
Si on bascule maintenant l'interrupteur en position 2, le condensateur va jouer le rôle d'un générateur et restituer toute l'énergie accumulée. C'est la phase de décharge : sa tension va descendre vers 0, de même que le courant, important au début, puis s'annulant en fin. L'équation différentielle du circuit est identique à la précédente en remplaçant E par 0.
RC d v
d tc +vc=0
Ce qui donne comme solution en appelant VCO la charge initiale du condensateur (c'est à dire E dans notre cas) :
vC=VCO e−τt
i V
R e
CO t
= − −τ
La figure 3 représente les courbes de décharges. Les remarques concernant les tangentes à l'origine restent valables. Les conventions récepteurs prisent au départ pour le condensateur (qui est maintenant générateur) nous imposent un courant négatif. Alors que pour la charge la montée de la tension aux bornes du condensateur était ralentie, c'est maintenant au tour de la descente d'être ralentie.
ττττ t E
v
i c
37% de E
ττττ
t
RE 0
0
Figure 3 : décharge du condensateur
D'une manière générale on remarque que la charge et la décharge sont régies par des équations de même forme, la décharge n'étant qu'une charge vers une valeur nulle. On peut donc établir la loi de variation ci-dessous pour l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur attaqué par un échelon de tension à travers une résistance. Si VF est la valeur finale vers laquelle tend la tension, et VI sa tension de charge initiale, on obtient :
vc VF e V e
t I
t
= (1− −τ)+ −τ
En donnant les bonnes valeurs à VF et VI on retrouve bien les équations précédentes.
Analogie
Un condensateur peut être vu comme une réserve d’électricité. L’analogie avec l’hydraulique nous donne alors un réservoir d’eau, tel que la chasse d’eau des W.C.
Le niveau d’eau dans le réservoir représenterait la tension aux bornes du condensateur, tandis que le débit d’eau appelé sur l’installation ou envoyé dans la cuvette représenterait le courant appelé ou fourni par le condensateur.
Après tirage de la chasse, le réservoir est vide (tension nulle aux bornes du condensateur déchargé) et se rempli en appelant un débit d’eau important (courant de charge élevé au début de la charge) car le robinet d’alimentation est ouvert au maximum par le flotteur de la chasse d’eau. Au fur et à mesure que le réservoir se rempli (la tension monte dans le condensateur), le flotteur de la chasse réduit l’ouverture du robinet, le débit d’eau diminue (le courant diminue en cours de charge), jusqu’à la fermeture complète (le courant est pratiquement nul en fin de charge, en théorie il ne s’annule jamais).
Le temps de remplissage dépend de la manière dont a été ouvert manuellement le robinet d’arrêt alimentant les W.C., ainsi que de la capacité du réservoir (le temps de charge du circuit RC dépend des valeurs de la résistance et de la capacité).
Lorsque l’on tire la chasse (début de la décharge), l’ouverture vers la cuvette étant importante (faible résistance électrique), un débit d’eau important s’écoule (fort courant au début de la décharge), diminuant rapidement pour s’annuler le réservoir étant vide (en fin de décharge le courant est pratiquement nul, théoriquement il ne s’annule jamais).
3. Circuit LR attaqué par un échelon de tension
Considérons le circuit figure 5.
R i
E vl
1 2
Figure 5 : circuit LR attaqué par un échelon de tension
A l'instant t=0 on bascule l'interrupteur en position 1, puis à t'=0 on repasse en 2, on obtient alors les courbes figure 6
t
E
R
ττττ E v
i
l
0 ττττ
0 t
phase 1 phase 2
t'=0
t'=0
Figure 6 : tension et courant dans l'inductance
Celles-ci ont été obtenues comme précédemment avec la loi des mailles et la loi fondamentale d'une inductance rappelée ci-après :
u L d il= d t
On remarque cette fois que les rôles des courant et tension sont inversés par rapport au condensateur (c'est le composant dual) ; c'est la montée et la descente du courant qui est retardée.
Les observations sur les tangentes à l'origine restent les mêmes. Alors qu'un condensateur atténuait les variations de tension, une inductance atténue les variations de courant, celui ci ne pouvant subir de discontinuité, ce qui conduirait d'après l'équation précédente à une tension infinie. Ce résultat est corroboré par le calcul de l'énergie emmagasinée par l'inductance qui a pour expression :
w= 1L i
2 2
Les équations permettant de tracer les courbes précédentes sont données ci-dessous : - interrupteur en position 1
vl E e
t
= −τ
i ER e
t
= (1− −τ) - interrupteur en position 2
vl E e
t
= − −τ' i E
R e
t
= −τ'
avec L
τ =R
4. Circuit RLC
Nous allons étudier maintenant l'influence d'un échelon de tension sur un circuit RLC série - figure 7-.
R i
E vc
1
2 L
C Figure 7 : circuit RLC série
La loi des mailles donne une équation différentielle du deuxième ordre, dont les solutions dépendent de la valeur de la résistance.
4.1. Régime apériodique
Ce cas correspond à une forte résistance par rapport à une valeur critique :
R L
>2 C
La tension aux bornes du condensateur est alors donnée figure 8.
t vc
0
Figure 8 : régime apériodique
4.2. Régime sinusoïdal amorti C'est le cas des faibles résistances :
R L
<2 C
Dans ce cas la résistance absorbe très peu d'énergie celle ci transitant entre l'inductance et le condensateur -figure 9- :
t vc
0
Figure 9 : régime sinusoïdal amorti
La fréquence des oscillations f0 dépend de la valeur des composants réactifs : f0 LC
= 2π
Les amplitudes des oscillations seront d'autant plus faibles que la valeur de la résistance sera importante. On dit alors que le circuit est amorti.
Les mêmes résultats peuvent être obtenus par un circuit RLC parallèle attaqué par une source de courant (circuit dual).
Analogie
Beaucoup de systèmes mécaniques entre en résonance lorsqu’on les sollicite : par exemple un diapason (pour l’accord des instruments de musique) va se mettre à vibrer lorsqu’on va le heurter (application de la tension). Si le diapason n’est pas tenu sur la branche prévu à cet effet, il ne vibre plus (résistance supérieure à la valeur critique).
5. Condensateur attaqué en courant
La figure 10 représente une telle configuration :
I
vc C
Figure 10 : condensateur attaqué en courant
L'équation du condensateur nous prédit alors une montée linéaire de la tension. Cette propriété est très utilisée pour générer une tension triangulaire à partir d'un courant carré comme sur la figure 11 :
C
I vc
t vc t
I
Figure 11 : génération d'un signal triangulaire Analogie
Toujours en faisant une analogie avec l’hydraulique, la charge du condensateur peut être vue comme le remplissage d’un seau au robinet, le débit d’eau est constant (courant constant), le remplissage du seau est alors linéaire en fonction du temps (tension évoluant linéairement)…
La décharge peut être vue comme la vidange du seau par une petite pompe dont le débit serait constant (l’analogie s’arrête lorsque le seau est presque vide, le débit ne pouvant plus être constant).
6. Inductance attaquée en tension
C'est le circuit dual du précédent -figure 12-. L'équation de la bobine nous donne une montée linéaire de la tension.
i
vl E
Figure 12 : inductance attaquée en tension
Cette propriété est très utilisée en électronique de puissance pour la réalisation d'alimentation à découpage où on convertit une tension carrée en un courant triangulaire.
i L
i ve
ve t
t
Figure 13 : principe utilisé dans certaines alimentations à découpage
