TABLE DES MATI `ERES

(1)

Table des mati` eres

1 Algèbre linéaire . Calcul matriciel et déterminants . 5

1.1 Espaces vectoriels , applications lin´eaires et matrices . . . 5

1.1.1 Groupes , anneaux et corps . . . 5

1.1.2 Espaces vectoriels , projecteurs et sym´etries vectoriels . . . 10

1.1.3 Familles g´en´eratrices , libres , bases , dimension . . . 16

1.1.4 Matrices d’une application lin´eaire ; rang d’une matrice . . . 22

1.1.5 Espaces affines, vari´et´es affines, applications affines . . . 34

1.2 D´eterminant ; orientation d’un espace vectoriel r´eel . . . 36

1.2.1 Formes n - linéaires alternées ; déterminant d’une famille de vecteurs . . . 36

1.2.2 D´eterminant d’un endomorphisme , d’une matrice carr´ee . . . 39

1.2.3 Calcul des d´eterminants . . . 40

1.2.4 Applications du calcul des d´eterminants . . . 42

1.2.5 Opérations élémentaires ; pivot de Gauss . . . 47

2 Suites et fonctions : limites et continuit´e. 51 2.1 Espaces vectoriels norm´es. . . 51

2.1.1 Normes et distances. . . 51

2.1.2 Exemples de normes . . . 55

2.1.3 Suites convergentes dans un espace vectoriel norm´e . . . 58

2.2 Espace vectoriel normé de dimension finie ; éléments de topologie. . . 62

2.2.1 Suites `a termes dans un K- espace de dimension finie non nulle . . . 63

2.2.2 Relations de comparaison entre suites . . . 63

2.2.3 El´ements de topologie dans unK- espace norm´e de dimension p . . . 66

2.3 Etude locale d’une application d´efinie de A⊂E vers F . . . 70

2.3.1 Limite d’une application en a , point adh´erent `a A . . . 70

2.3.2 Relations de comparaison pour des applications vectorielles . . . 73

2.3.3 Applications continues d´efinies de la partie A de E vers F . . . 78

2.3.4 Applications lin´eaires (resp. bilin´eaires) continues . . . 84

3 Suites et séries à termes dansK. Séries de fonctions 87 3.1 Suites et séries à termes dans K . . . 87

3.1.1 S´eries convergentes . . . 87

3.1.2 S´eries `a termes positifs . . . 89

3.1.3 S´eries absolument convergentes . . . 94

3.2 S´eries de fonctions `a valeurs dans le corps K . . . 97

3.2.1 Convergences simple et convergence normale . . . 97

3.2.2 Th´eor`eme d’interversion des limites (ou de la double limite) . . . 99

3.2.3 Approximations de fonctions continues par morceaux sur un segment . . . 101

(2)

2 TABLE DES MATI `ERES

4 R´eduction des endomorphismes 107

4.1 El´ements propres d’un endomorphisme , d’une matrice carr´ee . . . 107

4.1.1 Sous-espaces stables. Polynˆomes d’un endomorphisme, d’une matrice carr´ee . . . . 107

4.1.2 Valeurs propres , vecteurs propres et espaces propres . . . 109

4.2 R´eduction des endomorphismes et des matrices carr´ees . . . 113

4.2.1 Endomorphismes et matrices carr´ees diagonalisables , trigonlisables . . . 113

4.2.2 Applications de la diagonalisation des endomorphismes et des matrices carr´ees . . 117

5 Calcul différentiel et calcul intégral 119 5.1 Dérivation et développements limités d’une fonction vectorielle . . . 119

5.1.1 Fonction de classe C^k sur I , d´eveloppement limit´e d’ordre k de f . . . 119

5.1.2 Rappels relatifs aux applications d´efinies de I vers R . . . 135

5.1.3 Rappels relatifs aux suites r´eelles d´efinies par u_n+1= f (u_n) . . . 142

5.1.4 Fonction de classe C^k par morceaux d´efinie de I vers F . . . 144

5.2 Int´egrale d’une fonction vectorielle continue par morceaux sur un segment . . . 145

5.2.1 Int´egrale d’une fonction en escalier sur le segment J = [a , b] . . . 145

5.2.2 Int´egrale d’une fonction continue par morceaux d´efinie sur J . . . 147

5.2.3 Norme de la convergence en moyenne (resp. moy. quadratique) . . . 149

5.3 Lien entre d´erivation et int´egration . . . 151

5.3.1 Primitives , int´egration par parties , par changement de variables . . . 151

5.3.2 In´egalit´e des accroissements finis et formules de Taylor . . . 157

5.3.3 Intégration et dérivation de la somme d’une série d’applications . . . 158

5.3.4 Etude de la fonction exponentielle . . . 159

5.3.5 Calcul des valeurs approch´ees d’une int´egrale . . . 163

5.3.6 Intégrale sur [a , b] de f dépendant d’un paramètre réel . . . 164

5.4 Int´egration sur un intervalle quelconque . . . 168

5.4.1 Int´egrales impropres convergentes . . . 168

5.4.2 Applications continues par morceaux int´egrables sur I . . . 174

5.4.3 Calcul de l’int´egrale d’une application int´egrable sur I . . . 181

5.4.4 Norme de la convergence en moyenne (resp. moy. quadratique) . . . 182

5.5 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . 183

5.5.1 Théorème de convergence dominée . . . 185

5.5.2 Intégrale sur I non compact de f dépendant d’un paramètre réel . . . 187

6 Espaces euclidiens et espaces hermitiens 191 6.1 Espaces pr´ehilbertiens r´eels ou complexes . . . 191

6.1.1 Produit scalaire , in´egalit´e de Cauchy - Schwarz . . . 191

6.1.2 Orthogonalit´e . . . 193

6.1.3 Espaces euclidiens et espaces hermitiens . . . 195

6.2 Endomorphismes d’un espace vectoriel euclidien . . . 197

6.2.1 Endomorphismes sym´etriques . . . 197

6.2.2 Le groupe orthogonal de l’espace vectoriel euclidien (E ,|) . . . . 198

6.2.3 R´eduction des endomorphismes sym´etriques . . . 204

7 Séries entières . Séries de Fourier 213 7.1 Séries entières . . . 213

7.1.1 Rayon de convergence d’une s´erie enti`ere . . . 213

7.1.2 Continuité , dérivation et intégration des séries entières de la variable réelle . . . . 216

7.1.3 Fonctions développables en série entière . . . 217

(3)

7.2 S´eries de Fourier . . . 222

7.2.1 Coefficients de Fourier exponentiels (resp. trigonom´etriques) . . . 222

7.2.2 Convergence en moyenne quadratique , (Bessel et Parseval) . . . 226

7.2.3 Convergence simple et normale de la s´erie de Fourier de f . . . 232

7.2.4 Application T - p´eriodique continue par morceaux (o`u T>0) . . . 233

8 Equations différentielles 235 8.1 Généralités . . . 235

8.2 Equations diff´erentielles lin´eaires . . . 236

8.2.1 Système linéaire à coefficients constants . . . 236

8.2.2 Equations diff´erentielles scalaires d’ordre 1 . . . 239

8.2.3 Equations diff´erentielles lin´eaires scalaires d’ordre 2 . . . 242

8.3 Exemples d’équations différentielles non linéaires . . . 244

8.3.1 Equations différentielles à variables séparées , (resp. incomplètes) . . . 245

8.3.2 Equations diff´erentielles homog`enes . . . 246

8.3.3 Syst`emes diff´erentiels autonomes . . . 246

9 Fonctions d´efinies d’un ouvert non vide U inclus dans R^p vers Rⁿ 251 9.1 Calcul diff´erentiel . . . 251

9.1.1 Diff´erentielle de f , de classe C¹, d´efinie de U⊂ R^p vers Rⁿ . . . 251

9.1.2 Matrice jacobienne , C¹- diff´eomorphisme . . . 257

9.1.3 Dérivées partielles d’ordre k>2 ; théorème de Schwarz . . . 260

9.1.4 Exemples de changements de variables . . . 264

9.1.5 Application de classe C^k d´efinie de U⊂ R^p vers R . . . 266

9.1.6 Analyse vectorielle . . . 268

9.2 Calcul int´egral : int´egrales multiples . . . 271

9.2.1 D´efinition des int´egrales doubles . . . 271

9.2.2 Calcul des int´egrales doubles . . . 277

9.2.3 Int´egrales triples . . . 279

10 Courbes et surfaces définies dans le plan ou dans l’espace . 281 10.1 Arcs paramétrés et nappes paramétrées . . . 281

10.1.1 Arcs param´etr´es de classe C^k, orientation . . . 281

10.1.2 Etude locale d’un arc défini en coordonnées cartésiennes . . . 282

10.1.3 Etude d’un arc plan d´efini en coordonn´ees polaires . . . 287

10.1.4 Etude métrique d’un C^k- arc paramétré . . . 290

10.1.5 Nappes param´etr´ees de classe C^k . . . 292

10.2 Etudes des courbes et des surfaces d´efinies intrins`equement . . . 296

10.2.1 Point régulier d’une courbe plane (surface) d’équation F (x , y) = 0 (F (x , y , z) = 0) 296 10.2.2 Surfaces cylindriques , surfaces coniques , surfaces de révolution . . . 299

10.2.3 Intégrale curviligne , théorème de Green - Riemann . . . 302

10.2.4 Calculs d’aires , de volumes , de masses , de centres et de moments d’inertie . . . . 303

(4)

4 TABLE DES MATI `ERES

(5)

Chapitre 1

Alg` ebre lin´ eaire . Calcul matriciel et d´ eterminants .

1.1 Espaces vectoriels , applications lin´ eaires et matrices .

1.1.1 Groupes , anneaux et corps [rappels de PCSI]

a) Relations binaires et permutations

Définition 1 E étant un ensemble quelconque, on appellerelation binaire définie sur E tout couple (E , G) où G est un sous ensemble de E×E . Les éléments x et y de E sont en relation si et seulement si le couple (x , y) appartient à G ; on note alors xRy ; G s’appelle le graphede la relation binaire R.

La relation R est :

– r´eflexive si et seulement si ∀x∈E , xRx ;

– antisym´etriquesi et seulement si ∀x , y∈E , (xRy et yRx)⇒x = y ; – transitive si et seulement si ∀x , y , z∈E , (xRy et yRz)⇒xRz .

La relation R est une relation d’ordre si et seulement si elle est r´eflexive, antisym´etrique et tran- sitive.

Remarque 1 La relation R est une relation d’équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique (soit :∀x , y∈E , (xRy=⇒yRx)) et transitive .

D´efinition 2 Si E est un ensemble quelconque , on appellepermutation de E toute bijection de E sur E ; l’ensemble des permutations de E est not´eS(E) .

Si E ={k∈ N, 16k6n} est l’ensemble des entiers compris entre 1 et n , on note [[1 , n]] l’ensemble E , tandis queS(E) est alors not´e S_n.

La permutation σ de E (où le cardinal de E est supérieur ou égal à 2) est une transposition si et seulement si il existe deux éléments distincts de E notés a₁ et a₂ tels que :

i ) ∀x∈E\ {a₁, a₂}, σ(x) = x ; ii )σ(a₁) = a₂ et σ(a₂) = a₁.

Théorème 1 Le cardinal de S_n est égal à : n ! = Q

16k6n

k . Le sous - ensemble des transpositions de [[1 , n]] admet n (n - 1)

2 pour cardinal .

(6)

6 CHAPITRE 1. ALG ÈBRE LIN ÉAIRE . CALCUL MATRICIEL ET D ÉTERMINANTS . b) Structures élémentaires

Définition 3 On appelle groupe tout ensemble G muni d’une loi , notée . , vérifiant :

(G1) . est une loi de composition interne: ∀x , y∈G , x . y∈G , on dit aussi que G est stable par la loi .(ou que G est . - stable) ;

(G2) . est associative: ∀x , y , z∈G , (x . y) . z = x . (y . z) ;

(G3) (G , . ) admet unélément neutre: ∃e∈G , ∀x∈G , x . e = e . x = x ; (G4) tout élément de G possède un symétrique:

∀x∈G , ∃x ’∈G , x . x ’ = x ’ . x = e ; on dit alors que (G , . ) est symétrisé. Si (G , . ) vérifie de plus :

(G5) . est commutative: ∀x , y∈G , x . y = y . x , on dit que (G , . ) est un groupe commutatif (ougroupe ab´elien) .

Les éléments x et y d’un groupe (G , . ) commutent si et seulement si ils vérifient : x . y = y . x . x étant un élément du groupe (G , + ) d’élément neutre 0 et n étant un entier relatif , le n^ème itéré de x est l’élément n x défini par récurrence comme suit :

0 x = 0 et ∀n∈ N* , (n x = (n - 1) x + x) et ((- n) x = - (n x)) ; lorsque la loi est notée multiplicativement , le n^ème itèrè de x est noté xⁿ.

Remarque 2 La popriété iii ) prouve qu’un groupe n’est jamais vide . On note fréquemment + la loi du groupe G lorsque celui - ci est abélien .

On note (G , . ) le groupe G lorsqu’il peut y avoir ambigu¨ıt´e concernant la loi du groupe . Le cardinal d’un ensemble E est not´e card (E) ou # E .

Propriété1 Si E est un ensemble quelconque , l’ensemble S(E) des permutations de E est muni d’une structure de groupe par la loi de composition des applications , notée◦; ce groupe est abélien si et seulement si le cardinal de E est inférieur ou égal à 2 .

Définition 4 On appelle anneautout ensemble A muni de deux lois notées + et× vérifiant : (A1) (A , + ) est un groupe abélien dont l’élément neutre sera noté 0 ;

(A2) × est une loi de composition interne : ∀x , y∈A , x×y∈A , c’est - `a - dire que A est stable par la loi ×(ou ×- stable) ;

(A3)× est associative : ∀x , y , z∈A , (x×y)×z = x×(y×z) ; (A4) la loi× estdistributive par rapport `a la loi + :

∀x , y , z∈A , (x + y)×z = x×z + y×z et z×(x + y) = z×x + z×y ; (A5) (A ,×) admet un ´el´ement neutre : ∃e∈A , ∀x∈A , x×e = e×x = x .

Si (A , + ,×) v´erifie de plus :

(A6)×est commutative : ∀x , y∈A , x×y = y×x , on dit que (A , + ,×) est unanneau commu- tatif(ou anneau ab´elien) ;

Si (A , + ,×) est un anneau abélien non réduit à {0} vérifiant de plus : (A7) tout élément non nul admet un symétrique pour la loi×, soit :

∀x∈A\ {0}, ∃x ’∈A , x×x ’ = e , on dit que (A,+,×) est un corps.

Remarque 3 Dans un anneau , on omet fréquemment le symbole ×, ainsi x×y est noté x y ; de même , l’élément neutre multiplicatif est fréquemment noté 1 .

De manière plus précise , la loi×est distributive à gauche par rapport à la loi + si et seulement si :∀x , y , z∈A , z×(x + y) = z×x + z×y ; elle est distributive à droite si et seulement si :∀x , y , z∈A , (x + y)×z = x×z + y×z ; l’élément non nul x possède un symétrique à gauche si et seulement si : ∃x ’∈A , x ’×x = e , il possède un symétrique à droite si et seulement si: ∃x ’∈A , x×x ’ = e .

(7)

{0} est muni d’une structure d’anneau évidente ; certains auteurs imposent que les éléments neutres additif et multiplicatif soient différents , excluant ainsi ce cas particulier .

On constate aisément que (A , + ,×) est un corps si et seulement si (A , +) est un groupe abélien d’élément neutre 0 , (A\{0},×) est un groupe abélien et ×est distributive par rapport à + .

Définition 5 L’élément x de l’anneau (A , + ,×) est une unité (ou un élément inversible) si et seulement si : ∃x ’∈A , x×x ’ = x ’×x = e ; l’ensemble des unités de A est notéU(A) .

α est un´el´ement absorbant dans l’anneau (A , + ,×) si et seulement si :

∀x∈A , x×α=α×x =α.

L’élément x de l’anneau (A , + ,×) est un élément nilpotent si et seulement si :∃n∈ N* , xⁿ= 0 ; le plus petit exposant non nul vérifiant cette égalité s’appelle l’indice de nilpotence de x .

x , élément de l’anneau (A , + ,×) est involutifsi et seulement si : x×x = e . x , élément de l’anneau (A , + ,×) est idempotent si et seulement si : x×x = x .

L’anneau (A , + ,×) est int`egre si et seulement si (A , + ,×) est un anneau ab´elien distinct de {0}

v´erifiant : ∀x , y∈A , x y = 0⇒x = 0 ou y =0 .

L’élément x de l’anneau (A , + ,×) est régulier à gauche (ou simplifiable à gauche) si et seule- ment si :∀y , z∈A , x y = x z⇒y = z ; x estrégulier à droite(ousimplifiable à droite) si et seulement si :∀y , z∈A , y x = z x⇒y = z ; x estrégulier(ousimplifiable) si et seulement si il est régulier à gauche et à droite .

On appelle centre de l’anneau (A , + ,×) , l’ensemble noté Z (A) des éléments de A qui commutent avec tous les éléments de A , c’est - à - dire que :

Z (A) ={x∈A , ∀a∈A , x×a = a×x}.

Remarque 4 L’anneau (A , + ,×) est donc un corps si et seulement si c’est un anneau ab´elien v´erifiant U(A) = A\ {0}.

Dans l’anneau (A , + ,×) , 0 est le seul ´el´ement nilpotent d’indice 1 .

Dans un ensemble muni d’une loi de composition interne, l’itéré d’ordre 0 est toujours , par convention , l’élément neutre, ainsi , dansP(X) , on a :

i∈∩∅A_i= X et ∪

i∈∅A_i=Ø. Théorème 2 Règles de calcul

Dans le groupe (G , .) , on a : ∀a , b∈G ,

∃! x_d, a . x_d = b

∃! x_g, x_g. a = b .

∀a , b , c∈G , (a . b = a . c=⇒b = c) et (b . a = c . a=⇒b = c) . Dans l’anneau (A , + ,×) , on a :

∀x , y∈A , (- x) y = x (- y) = - x y et ∀n∈ Z, n (x y) = (n x) y = x (n y) .

∀x , y∈A ,∀n∈ N* , xⁿ- yⁿ= P

06k6n-1

x^k(x - y) y^n-k-1 ;

si de plus , x et y commutent (entre autres , si (A , + ,×) est ab´elien) on a :

∀x , y∈A , x y = y x⇒ ∀n∈ N* , xⁿ- yⁿ= (x - y) (x^n-1+. . .+ x^ky^n-k-1+. . .+ y^n-1) ; donc :

∀x∈A , ∀n∈ N* , 1 - xⁿ= (1 - x) P

06k6n-1

x^k (où 1 est l’élément neutre multiplicatif de (A , + ,×)) .

Formule du binˆome de Newton : dans l’anneau (A , + ,×) , on v´erifie :

II 4 !

∀x , y∈A , x y = y x⇒ ∀n∈ N, (x + y)ⁿ= X

06k6n

n !

k ! (n-k) !x^ky^n-k ; on note :

n k

=

C

^k_n⁼k ! (n-k) !^{n !} .

Dans l’anneau (A , + ,×) , l’ensemble U(A) des ´el´ements inversibles est muni d’une structure de groupe par la loi ×.

(8)

8 CHAPITRE 1. ALG ÈBRE LIN ÉAIRE . CALCUL MATRICIEL ET D ÉTERMINANTS . Démonstration de l’un des résultats du théorème :

Prouvons que (U(A) ,×) est un groupe :

∗ U(A) est stable par la loi ×car si x et y sont deux unit´es , leur produit est inversible , en effet : si x x ’ = x ’ x = 1 et y y ’ = y ’ y = 1 , alors :

(x y) (y ’ x ’) = x (y y ’) x ’ = x x ’ = 1 et (y ’ x ’) (x y) = y ’ (x ’ x) y = y ’ y = 1 ;

∗ l’associativité étant vérifiée dans A , elle l’est a fortiori dansU(A) ;

∗ de même 1 , élément deU(A) est neutre dans A donc a fortiori dans l’ensembleU(A) ;

∗ si x est un élément de U(A) , son inverse dans A , noté x ’ , appartient à U(A) car x ’ x = x x ’ = 1 prouve que x ’ est inversible , son inverse n’étant autre que x .

D´efinition 6 Les entiers n

k

=

C

^k_n⁼ ^{n !}

k ! (n-k) !s’appellent les coefficients binomiaux.

Si (X ,∗) est un ensemble muni d’une loi de composition interne , la partie X’ de X eststable par la loi∗ si et seulement si : ∀x , y∈X’ , x∗y∈X’ ; l’application ((x , y)7→x∗y) ainsi d´efinie de X’×X’ vers X’ est la loi induite par∗ dans X’ .

(G , . ) ´etant un groupe , la partie G ’ de G en est un sous - groupe si et seulement si : (SG1) G ’ est stable par la loi . , soit : ∀x , y∈G ’ , x . y∈G ’ ,

(SG2) (G ’, . ) est un groupe (ici la loi not´ee . est la loi induite dans G ’ ) , entre autres G ’6=Ø. Si (A , + ,×) est un anneau , la partie A’ de A est un sous - anneaude A si et seulement si : (SA1) A’ est stable par les lois + et ×, soit :

∀x , y∈A’ , x + y∈A’ et x×y∈A’ ,

(SA2) l’élément neutre multiplicatif e_A appartient à A’ , entre autres A ’6=Ø ;

(SA3) (A’ , + ,×) est un anneau (ici les lois not´ees + et× sont les lois induites dans A’ ) . Si (C , + ,×) est un corps , la partie C ’ de C est unsous - corps de C si et seulement si : (SC1) C ’ est stable par les lois + et ×, soit :

∀x , y∈C ’ , x + y∈C ’ et x×y∈C ’ ,

(SC2) (C ’ , + ,×) est un corps (ici les lois not´ees + et × sont les lois induites dans C ’ ) , entre autres C ’6=Ø .

Th´eor`eme 3 La partie G ’ de G est un sous - groupe de (G , . ) si et seulement si : i ) G ’6=Ø ; ii )∀x , y∈G ’ , x . y∈G ’ et iii ) ∀x∈G ’ , x^{- 1} ∈G ’ .

La partie G ’ de G est un sous - groupe de (G , . ) si et seulement si : i ) G ’6=Ø ; iv ) ∀x , y∈G ’ , x . y^{- 1} ∈G ’ .

II

La partie A’ de A est un sous - anneau de (A , + ,×) si et seulement si : i ) e_A ∈A’ et ii ) ∀x , y∈A ’ , x - y∈A’ et x×y∈A’ .

La partie C ’ de C est un sous - corps de (C , + ,×) si et seulement si :

i ) e_C ∈C ’ ; ii ) ∀x , y∈C ’ , x - y∈C ’ et iii ) ∀x , y∈C ’\ {0}, x×y^{- 1} ∈C ’ . Si (G_j)_j_∈_J est une famille de sous - groupes du groupe (G , . ) , alors : T

j∈J

G_j est un sous - groupe de (G , . ) ; de mˆeme , si (A_j)_j_∈_J est une famille de sous - anneaux de l’anneau (A , + ,×) , alors : T

j∈J

A_j est un sous - anneau de (A , + ,T ×) et si (C_j)_j_∈_J est une famille de sous - corps du corps (C , + ,×) , alors :

j∈J

C_j est un sous - corps de (C , + ,×) .

Si G₁ et G₂ sont deux sous - groupes du groupe (G , . ) , G₁∪G₂ est un sous - groupe de G si et seule- ment si G₁ ⊆G₂ ou G₂ ⊆G₁, il en est de mˆeme lorsque l’on consid`ere des sous - anneaux ou des sous - corps .

Si G₁ et G₂ sont deux sous - groupes du groupe commutatif (G , + ) , l’ensemble G₁+ G₂={x∈G ,

∃(x₁, x₂)∈G₁×G₂, x = x₁+ x₂} est un sous - groupe de (G , +) .

(9)

Démonstration de l’un des résultats du théorème :

Montrons que A’ est un sous - anneau de (A , + ,×) si et seulement si : i ) e_A ∈A’ et ii )∀x , y∈A ’ , x - y∈A’ et x×y∈A’ :

∗ implication directe: c’est une conséquence immédiate des définitions ;

∗ implication réciproque: A’ étant non vide puisqu’il contient e_Aet vérifiant∀x , y∈A ’ , x - y∈A’ , le résultat précédent prouve que A’ est un sous - groupe de (A , + ) ; A’ est stable par la loi×grâce à ii ) , la loi étant associative et distributive par rapport à l’addition dans A , elle l’est a fortiori dans A’ ; de même e_Aétant neutre dans A et appartenant à A’ , e_A est a fortiori neutre dans A’ . Le résultat relatif aux sous - corps s’en déduit .

Remarque 5 Ci - dessus , (G ’6=Ø) peut ˆetre remplac´e par : (e_G∈G ’) .

D´efinition 7 G₁ et G₂ ´etant deux sous - groupes du groupe commutatif (G , +) , l’ensemble : G₁+ G₂={x∈G , ∃(x₁, x₂)∈G₁×G₂, x = x₁+ x₂}

s’appelle lasomme de deux sous - groupes G₁ et G₂ .

Dès que E est un ensemble muni d’une loi de composition interne notée∗, si A et B sont deux parties de E , on définit :

A∗B ={x∈E , ∃a∈A , ∃b∈B , x = a∗b}.

X étant une partie du groupe (G , . ) , on appelle sous - groupe engendré par X le plus petit (pour l’inclusion) sous - groupe contenant X , c’est l’intersection des sous - groupes de (G , . ) contenant X ; on dit alors que X est unepartie génératrice de ce sous - groupe que l’on note gr (X) ou <X>. On définit de même lesous - anneau engendré parla partie X de l’anneau (A , + ,×) et lesous - corps engendré parla partie X du corps (C , + ,×) .

Propriété2 G₁+ G₂ est le sous - groupe de (G , +) engendré par G₁∪G₂. S_n est engendré par les transpositions de [[1 , n]] .

Démonstration du deuxième résultat de cette propriété :

Pour établir queS_nest engendré par les transpositions de [[1 , n]] , on va prouver que toute permutation σ de [[1 , n]] est la composée de transpositions de [[1 , n]] en raisonnant par récurrence sur le cardinal p de l’ensemble des éléments de [[1 , n]] qui ne sont pas invariants parσ.

Hr(p) : “ si card{k∈[[1 , n]] , σ(k)6= k}= p , alors σ est la composée de transpositions ” est vérifiée pour p = 0 , p = 1 et p = 2 car pour p = 0 , σ= id , il n’existe pas de permutation telle qu’un seul élément ne soit pas invariant et pour p = 2 ,σ est une transposition .

Etablissons que [Hr(0) et Hr(1) et . . . Hr(p)]⇒ Hr(p+1) : soit donc σ une permutation de [[1 , n]]

telle que le nombre d’éléments de [[1 , n]] distincts de leur image parσ soit égal à p + 1 , notons a l’un des

éléments tels que σ(a)6= a , soit b =σ(a) et τ₁ la transposition qui échange a et b , alors s =τ₁ ◦ σ est une permutation de [[1 , n]] telle qu’au plus p éléments ne sont pas invariants (car s (a) = a et siσ(c) = c , alorsτ₁(c) = c car c∈ {a , b}) , ainsi s =/ τ₂ ◦τ₃ ◦. . . ◦ τ_let donc σ=τ₁ ◦ τ₂ ◦τ₃ ◦. . . ◦ τ_lest bien une composée de transpositions . Remarquons que l’on constate aisément que si card{k∈[[1 , n]] ,σ(k)6= k}= p il est possible de choisirl 6p - 1 de telle sorte queσ=τ₁ ◦ τ₂ ◦ τ₃ ◦ . . . ◦ τ_l.

c) Morphismes

D´efinition 8 Si (G , . ) et (G ’ ,∗) sont deux groupes , l’application f d´efinie de G vers G ’ est un homomorphisme de groupes si et seulement si :

∀x , y∈G , f (x . y) = f (x)∗f (y) ; si f est bijective , f s’appelle un isomorphisme de groupes; dans le cas particulier o`u (G , . ) = (G ’ ,∗) , f est respectivement appel´e un endomorphisme de groupes et un automorphisme de groupes.

(10)

10 CHAPITRE 1. ALG ÈBRE LIN ÉAIRE . CALCUL MATRICIEL ET D ÉTERMINANTS . Propriété3 La composée de deux homomorphismes est un homomorphisme ; la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme ; on en déduit que la composée de deux isomorphismes est un iso- morphisme , que la composée de deux endomorphismes est un endomorphisme , que la composée de deux automorphismes est un automorphisme , que la réciproque d’un automorphisme est un automorphisme , ainsi l’ensemble des automorphismes d’un groupe est un sous - groupe de l’ensemble de ses permutations . L’applicationεdéfinie du groupe (S_n,◦) des permutations de [[1 , n]] vers le groupe ({-1 , 1},×) par :

∀σ ∈ S_n, ε(σ) = Q

16i<j6n

σ(j) -σ(i)

j - i est un homorphisme . Hors

programme

Démonstration du dernier résultat (hors programme) de la propriété :

∗ ε d´efinie par : ∀σ ∈ S_n, ε(σ) = Q

16i<j6n

σ(j) -σ(i)

j - i est bien une application de S_n vers {-1 , 1}

car σ ´etant une bijection de [[1 , n]] sur [[1 , n]] , les n (n - 1)

2 termes intervenant dans le produit Q

16i<j6n

(σ(j) -σ(i)) sont les mˆemes , au signe pr`es , que les termes du produit Q

16i<j6n

(j - i) , le quotient de ces deux produits Q

16i<j6n

σ(j) -σ(i)

j - i est donc égal à 1 ou à - 1 .

∗ V´erifions queεest un homomorphisme : soitσ etσ’ deux permutations de [[1 , n]] , alors : ε(σ ◦ σ’) = Q

16i<j6n

σ ◦ σ’ (j) -σ ◦ σ’ (i)

j - i = Q

16i<j6n

σ ◦ σ’ (j) -σ ◦ σ’ (i)

σ’ (j) -σ’ (i) × σ’ (j) -σ’ (i) j - i

= Q

16i<j6n

σ ◦ σ’ (j) -σ ◦ σ’ (i)

σ’ (j) -σ’ (i) × Q

16i<j6n

σ’ (j) -σ’ (i)

j - i = Q

16i<j6n

σ(j) -σ(i)

j - i × Q

16i<j6n

σ’ (j) -σ’ (i) j - i carσ’ est une bijection de [[1 , n]] sur [[1 , n]] et si i et j sont des indices distincts ,σ(j) -σ(i)

j - i =σ(i) -σ(j) i - j ; on a bien prouv´e que∀σ,σ’∈ S_n,ε(σ ◦ σ’) =ε(σ’)ε(σ) .

Définition 9 Si f est un homomorphisme de G vers G ’ , on appelleimagede f , l’ensemble Im (f) = f (G) , image de l’ensemble de départ ; on appellenoyaude f , l’ensemble Ker (f) = f^-1({0_{G ’}}) , image réciproque du singleton réduit à l’élément neutre de G ’ .

Propri´et´e4 L’homomorphisme f de G vers G ’ est surjectif si et seulement si Im (f) = G ’ ; il est injectif si et seulement si Ker (f) ={e_G}.

1.1.2 Espaces vectoriels , projecteurs et sym´etries vectoriels a) Espaces vectoriels et sous - espaces vectoriels .

Définition 10 Si E est un ensemble etKun corps , on appelleloi de composition externedéfinie sur E àdomaine d’opérateurs K toute application deK×E vers E .

L’ensemble E muni de la loi de composition interne notée + et de la loi de composition externe à domaine d’opérateurK notée . est un K- espace vectorielsi et seulement si :

(EV1) (E,+ ) est un groupe abélien , son élément neutre sera noté 0_E(ou 0 s’il n’y a pas d’ambigu¨ıté);

(EV2) la loi . est distributive par rapport `a la loi + , soit :

∀α ∈ K, ∀x , y∈E , α. (x + y) =α. x +α. y ;

(EV3) la loi . est pseudo - distributive (les additions sont diff´erentes) , soit :

∀α,β ∈ K,∀x∈E , (α+β) . x =α. x +β. x ;

(EV4) la loi . est pseudo - associative (les multiplications sont diff´erentes) , soit :

∀α,β ∈ K,∀x∈E , α. (β. x) = (α × β) . x ;

(EV5) 1 est pseudo - neutre (la loi n’est pas interne) , soit :∀x∈E , 1 . x = x .

(11)

Les éléments de E sont appelés lesvecteurstandis que ceux deKsont lesscalaires; si x et y sont deux vecteurs , tout vecteur α. x +β. y (où α et β sont deux scalaires) s’appelle une combinaison linéaire des vecteurs x et y et de manière plus générale , si (x_k)_k∈K est une famille de vecteurs de l’espace vectoriel (E , + , . ) , on appelle combinaison linéaire des vecteurs x_k tout vecteur P

k∈K

α_kx_k o`u les scalaires α_k sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux .

(E , + , . ) ´etant un K- espace vectoriel , la partie E ’ de E en est un sous - espace vectoriel si et seulement si :

(SEV1) E ’ est stable par les lois + et . ;

(SEV2) (E ’ , + , . ) est unK- espace vectoriel (les lois notées + et . étant ici les lois induites) . Si (E , + , . ) et (F , + , . ) sont deux K- espaces vectoriels , on appelle application linéaire (ou ho- momorphisme linéaire ouhomomorphisme vectoriel) de E vers F toute application u définie de E vers F et vérifiant :

∀x , y∈E , ∀λ ∈ K, u (x + y) = u (x) + u (y) et u (λ. x) =λ. u (x) .

L’ensemble des applications linéaires définies de (E , + , . ) vers (F , + , . ) est noté L (E , F) ; lorsque F =K, u s’appelle uneforme linéaire, l’ensemble des formes linéaires définies sur E est noté E* = L (E ,K) et s’appelle le dual algébrique de E ; on définit comme précédemment lesisomorphismes vectoriels (u étant alors bijective) , lesendomorphismes vectoriels (ici (E , + , . ) = (F , + , . )) et lesautomor- phismes vectoriels (ici u est simultanément un isomorphisme et un endomorphisme) , l’ensemble des automorphismes vectoriels de (E , + , . ) est noté GL (E) .

Théorème 4 Si (E_i)_i_∈_I est une famille de K- espaces vectoriels , le produit cartésien E =Q

i∈I

E_i est muni d’une structure deK- espace vectoriel par les lois produits d´efinies par :

∀λ ∈ K, ∀x , y∈E , x = (x_i)_i_∈_I et y = (y_i)_i_∈_I ⇒x + y = (x_i+ y_i)_i_∈_I et λ. x = (λ. x_i)_i_∈_I.

On en déduit que (Kⁿ, + , . ) est un L- espace vectoriel pour tout entier strictement positif n et pour tout sous - corpsLdeKet plus généralement , si X est un ensemble non vide quelconque et E unK- espace vectoriel , alors (E^X, + , . ) est unK- espace vectoriel .

(E , + , . ) ´etant un K- espace vectoriel , la partie E ’ de E en est un sous - espace vectoriel si et seule-

ment si : i ) E ’6=Ø et ii ) ∀x , y∈E ’ , ∀λ ∈ K, λx + y∈E ’ ;

II 4 !

la propriété ii ) précédente peut être remplacée par : “ toute combinaison linéaire de vecteurs de E ’ appartient à E ’ ” ou par “∀x , y∈E ’ , ∀λ,µ ∈ K, λx +µy∈E ’ ”;

Si (E_i^’)_i∈I est une famille de sous - espaces vectoriels duK- espace vectoriel (E , + , . ) leur intersection

II

E ’ = T

i∈I

E_i^’ est un sous espace vectoriel de E .

Remarque 6 Lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıté possible , on omet le signe . pour une multiplication externe , ainsiλ. x est fréquemment noté : λx .

On v´erifie ais´ement que dans un K- espace vectoriel (E , + , . ) , on a :

∀λ,µ∈K,∀x , y∈E , (λx = 0_E⇐⇒λ= 0_K ou x = 0_E) ; (λ-µ) x =λx -µx etλ(x - y) =λx -λy .

∀λ∈K,∀(x_i)_16i6n∈Eⁿ, P

16i6n

(λx_i) =λ P

16i6n

x_i.

∀(λ_i)_16i6n∈Kⁿ,∀x∈E , P

16i6n

(λ_ix) = ( P

16i6n

λ_i) x

∀(x_ij)_{16i6n et}_16j6p∈E^np, P

16i6n

( P

16j6p

x_ij) = P

16j6p

( P

16i6n

x_ij)

Il ne faut pas omettre de préciser le corps considéré lorsqu’on étudie la linéarité d’une application , ainsi , par exemple , (z7−→z ) est une applicationR- linéaire deCvers Cmais elle n’est pasC- linéaire .

4 !

L’ensemble E muni des lois de composition internes notées + et × et de la loi de composition externe surK notée . est uneK- algèbre si et seulement si :

(E , + , .) est unK- espace vectoriel; (E , + ,×) est un anneau;

∀λ∈K,∀x , y∈E , λ. (x×y) = (λ. x)×y = x×(λ. y) .

(12)

12 CHAPITRE 1. ALG ÈBRE LIN ÉAIRE . CALCUL MATRICIEL ET D ÉTERMINANTS . Définition 11 Si (E_i)_i_∈_I est une famille deK- espaces vectoriels , E = Q

i∈I

E_i s’appelle l’espace vec- toriel produit des espaces E_i.

A ´etant une partie du K- espace vectoriel (E , + , . ) , on appelle sous - espace vectoriel de E en- gendr´e par A l’intersection des sous - espaces vectoriels de E qui contiennent A , on le note Vect (A) .

Théorème 5 Vect (A) est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A ; en particulier , si E₁ et E₂ sont deux sous - espaces vectoriels de (E , + , . ) ,

Vect(E₁ ∪ E₂)={x∈E ,∃x₁ ∈E₁, ∃x₂ ∈E₂, x = x₁+ x₂}= E₁+ E₂

et plus g´en´eralement , si (E_i)_16i6p est une famille finie de sous - espaces vectoriels de (E , + , . ) ,

Vect S

16i6p

E_i

!

={x∈E,∀i∈[[1 , p]] ,∃x_i ∈E_i, x = P

16i6p

x_i}= P

16i6p

E_i.

Si (x_i)_i∈I est une famille de vecteurs du K- espace vectoriel (E , + , . ) , l’ensemble Vect ({x_i}_i∈I) est

II II

l’ensemble des combinaisons lin´eaires des vecteurs x_i, cet ensemble est donc un sous - espace vectoriel de (E , + , . ) .

Si (E_i)_16i6p est une famille de p sous - espaces de (E , + , . ) , l’application u :





 Q

16i6p

E_i −→ P

16i6p

E_i (x_i)_16i6p 7−→ P

16i6p

x_i est linéaire et surjective ; les propriétés suivantes sont équivalentes :

i ) u est injective , ii ) ∀(x_i)_16i6p ∈ Q

16i6p

E_i, P

16i6p

x_i= 0⇒ ∀i∈[[1 , p]] , x_i= 0 , iii )∀i∈[[1 , p]] , E_i ∩ P

16j6p et j6=i

E_j)

!

={0}, iv ) ∀i∈[[2 , p]] , E_i ∩ P

16j6i-1

E_j

!

={0}.

D´efinition 12 Si (E_i)_16i6p est une famille finie de sous - espaces vectoriels du K- espace vectoriel (E , + , . ) , on appelle somme des sous - espaces vectoriels E_i l’espace vectoriel not´e P

16i6p

E_idont les éléments sont les sommes de vecteurs appartenant respectivement à ces sous - espaces E_i.

Cette somme est une somme directe si et seulement si :

∀(x_i)_16i6p ∈ Q

16i6p

E_i, ∀(y_i)_16i6p ∈ Q

16i6p

E_i, P

16i6p

x_i= P

16i6p

y_i ⇒ ∀i∈[[1 , p]] , x_i= y_i; la somme des sous - espaces vectoriels E_i est alors not´ee L

16i6p

E_i (on dit aussi dans ce cas que les sous - espaces vectoriels E_i sontlin´eairement ind´ependants) .

Les deux sous - espaces vectoriels E₁et E₂ duK- espace vectoriel (E , + , . ) sontsuppl´ementairessi et seulement si E₁ L

E₂= E , ce qui signifie que :

II II

E₁∩E₂={0} et E₁+ E₂= E .

Propri´et´e5 Si A et B sont deux parties du K- espace vectoriel (E , + , . ) , on a :

∗ A⊂B=⇒Vect A⊂Vect B ;

∗ A = Vect A si et seulement si A est un sous - espace vectoriel de E (entre autres , Vect (Vect A) = Vect A) . Si E₁, E₂ et E₃ sont trois sous - espaces vectoriels duK- espace vectoriel (E , + , . ) , on obtient :

∗ E₁∩E₂= E₂∩E₁;

(13)

∗ (E₁∩E₂)∩E₃= E₁∩(E₂∩E₃) ;

∗ E₁∩E₂= E₁ ⇐⇒E₁ ⊂E₂ donc : E₁∩ {0}={0} et E₁∩E₁= E₁∩E = E₁;

∗ E₁+ E₂= E₂+ E₁;

∗ (E₁+ E₂) + E₃= E₁+ (E₂+ E₃) ;

∗ E₁+ E₂= E₂ ⇐⇒E₁ ⊂E₂ donc E₁+ E = E et E₁+ E₁= E₁+{0}= E₁;

∗ (E₁∩E₃) + (E₂∩E₃)⊂(E₁+ E₂)∩E₃;

∗ E₁+ (E₂∩E₃)⊂(E₁+ E₂)∩(E₁+ E₃) .

4 !

Lorsque E₁, E₂ et E₃ sont en somme directe , on obtient :

∗ E₁ L

E₂= E₂ L E₁;

∗ (E₁ L E₂)L

E₃= E₁ L

(E₂ L E₃) .

Remarque 7 A l’exception des sous - espaces vectoriels E et{0}, tout sous - espace vectoriel E’ duK- espace vectoriel (E , + , . ) admet plusieurs supplémentaires ; le complémentaire du sous - espace vectoriel E ’ n’étant jamais un espace vectoriel (il ne contient pas 0) , on ne confondra pas le complémentaire et un supplémentaire de E ’ ._L

4 !

n’est pas une loi de composition interne dans l’ensemble des sous - espaces vectoriels de E tandis que + et

∩sont deux lois de composition internes dans cet ensemble.

Une intersection de sous - espaces vectoriels n’est jamais vide .

4 !4 !

Si E₁, E₂ et E₃ sont trois sous - espaces vectoriels du K- espace vectoriel (E , + , . ) v´erifiant : ∀i , j∈[[1 , 3]] ,

E_i∩E_j={0}, la somme des sous-espaces E_i (o`u 16i63) n’est pas obligatoirement directe ; de mˆeme l’inclusion

4 !4 !

(E₁∩E₃) + (E₂∩E₃)⊂(E₁+ E₂)∩E₃ peut ne pas être une égalité . Vect (Ø) ={0}.

b) Applications lin´eaires .

Théorème 6 L’application u définie du K- espace vectoriel (E , + , . ) vers le K- espace vectoriel (F , + , . ) est linéaire si et seulement si elle vérifie :

∀x , y∈E , ∀λ ∈ K, u (λx + y ) =λu (x) + u (y) ;

II II

cette dernière propriété pouvant être remplacée par :

∀x , y∈E ,∀λ,µ ∈ K, u (λx +µy ) =λu (x) +µu (y) ,

ou encore par : “ l’image par u de toute combinaison linéaire de vecteurs de E est la combinaison linéaire , avec les mêmes coefficients , des images par u de ces vecteurs ” .

La composée de deux applications linéaires est une application linéaire ; la réciproque d’un isomor- phisme vectoriel est un isomorphisme vectoriel ; on en déduit des résultats similaires relatifs aux endo- morphismes et automorphismes du K- espace vectoriel (E , + , . ) .

(E , + , . ) et (F , + , . ) étant deuxK- espaces vectoriels , (L (E , F) , + , . ) est un sous - espace vectoriel du K- espace vectoriel FÊ des applications définies de E vers F .

Si E n’est pas égal à {0}, (L (E) , + ,◦) est un anneau vérifiant :

∀u , v∈L (E) , ∀λ ∈ K, λ(u◦v) = (λu)◦v = u◦(λv) . (GL (E) ,◦) est un groupe .

Si u est une application définie du K- espace vectoriel (E , + , . ) vers l’ensemble F muni d’une loi de composition interne notée > et d’une loi de composition externe sur K notée ∗ qui vérifie : ∀x , y∈ E , ∀λ ∈ K, u (λx + y) =λ∗u (x)>u (y) , alors u (E) est >- stable et ∗- stable et les lois induites le munissent d’une structure de K- espace vectoriel .

Entre autres , si u est une application lin´eaire d´efinie du K- espace vectoriel (E , + , . ) vers le K- espace vectoriel (F , + , . ) , l’image u (E ’) du sous - espace vectoriel E ’ de E est un sous - espace vectoriel

(14)

14 CHAPITRE 1. ALG ÈBRE LIN ÉAIRE . CALCUL MATRICIEL ET D ÉTERMINANTS . de (F , + , . ) et si A est une partie de E , u (Vect (A)) = Vect (u (A)) , en particulier Im u = u (E) est un sous - espace vectoriel de (F , + , . ) .

Si u est une application linéaire définie du K- espace vectoriel (E , + , . ) vers le K- espace vectoriel (F , + , . ) , l’image réciproque u^-1(F ’) du sous - espace vectoriel F ’ de F est un sous - espace vectoriel de (E , + , . ) , entre autres , Ker (u) = u^-1({0_F}) est un sous - espace vectoriel de (E , + , . ) .

L’application lin´eaire u d´efinie du K- espace vectoriel (E , + , . ) vers le K- espace vectoriel (F , + , . ) est surjective si et seulement si Im (u) = F et injective si et seulement si Ker (u) ={0_E}.

II II

On en d´eduit qu’une forme lin´eaire est soit nulle soit surjective .

Propriété6 Soit u une application linéaire définie duK- espace vectoriel (E , + , . ) vers leK- espace vectoriel (F , + , . ) et b un vecteur appartenant à F .

Considérons l’équation linéaire (E) u (x) = b

et notons S l’ensemble{x∈E , u (x) = b} des solutions de cette ´equation ; on obtient :

∗ si b∈/Im (u) , alors S = Ø , on dit alors que l’´equation lin´eaire est incompatible;

∗ si b∈Im (u) , notons x₀ l’un quelconque des antécédents de b , alors S ={x₀+ z ; z∈Ker (u)} est l’espace affine de direction ker (u) contenant x₀, on dit ici que l’équation linéaire estcompatible.

II II

Dans le cas particulier o`u b = 0 , on constate que S = Ker (u) .

Superposition des solutions : si (b_j)₁₆_j₆_p est une famille de vecteurs appartenant `a Im (u) , x est solution de :

(E) u (x) = b₁+· · ·+ b_j+· · ·+ b_p si et seulement si il existe une famille (x_j)₁₆_j₆_pde vecteurs de E telle que :

x = x₁+· · ·+ x_j+· · ·+ x_p

∀j ∈ [[1 , p]] , u (x_j) = b_j . Th´eor`eme 7 Si (E , + , . ) , (F , + , . ) et (G , + , . ) sont trois K- espaces vectoriels , on a :

∀u∈L (E , F) ,∀v∈L (F , G) , v◦u = 0⇐⇒Im (u)⊂Ker (v) ; Ker (u)⊂ Ker (v◦u) et Im (v◦u)⊂ Im (v) ;

II

entre autres , si n est un entier positif , on a : Im uⁿ⁺¹ ⊂Im uⁿ et Ker uⁿ ⊂Ker uⁿ⁺¹.

Si u est une application linéaire définie du K- espace vectoriel (E , + , . ) vers le K- espace vectoriel (F , + , . ) et si E ’ est un sous - espace vectoriel de E , u induit une application linéaire de E ’ sur u (E ’) ; entre autres , si E ’L

Ker u = E , alors u induit un isomorphisme de E ’ sur Im u .

II

Recollement d’applications linéaires : si l’espace vectoriel E est la somme directe des sous - espaces vectoriels E_i où 16i6p (c’est - à - dire : E = L

16i6p

E_i) et si pour tout i de [[1 , p]] , u_i est une application linéaire définie de E_i vers le K- espace vectoriel (F , + , . ) (c’est - à - dire : ∀i∈[[1 , p]] , u_i ∈L (E_i, F)) , il existe une unique application linéaire u définie de E vers F telle que pour tout i de [[1 , p]] , u_i est l’application induite par u de E_i vers F (u est donc l’unique prolongement commun aux applications linéaires u_i) .

Définition 13 Soit (E , + , . ) et (F , + , . ) deuxK- espaces vectoriels , E ’ un sous - espace vectoriel de E et u une application linéaire de E vers F , alors l’application linéaire induite par u de E ’ vers F s’appelle la restriction de u à E ’ et se note u|_E’, si F ’ est un sous - espace vectoriel de F qui contient u (E ’) , l’application induite par u de E ’ vers F ’ est notée u|^F’_E’.

Le sous - espace vectoriel E ’ du K- espace vectoriel (E , + , . ) est stable par l’endomorphisme u de E si et seulement si u (E ’)⊂E ’ , E ’ est invariant par u si et seulement si : u (E ’) = E ’ , E ’ est ponctuellement invariant par u si et seulement si :∀x∈E ’ , u (x) = x .

Propri´et´e7 Si u et v sont deux endomorphismes du K- espace vectoriel (E , + , . ) qui commutent , les sous - espaces vectoriels Ker u et Im u sont stables par v .