I-Récurrence :
Notations:
ECS 1 Cpge
Errazi
Année : 2020/2021
Entiers naturels-Sommes et produits
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Théorème
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Dé monstration : (Exercice)
On se place dans|R. Les sommes et les produits dont on va parler ne contiennent qu’un nombre fini de termes.
1) Définition
SoitAune partie finie de|R, la somme des éléments deAest notée P
a∈A
aet le produit des éléments de Aest noté Q
a∈A
a. Par convention, lorsqueAest vide, la somme est nulle et le produit vaut1.
Définition (somme et produit sur une partie finie)
Remarque – Ces opérations étant commutatives dans |R, l’ordre n’a pas d’importance. Comme elles sont également associatives, il est inutile de préciser un parenthésage pour la somme ou le produit.
Soit(ak)k∈Iune famille de complexes indexée par un ensemble finiI. La somme des éléments de la famille est notée P
k∈I
aket le produit des éléments de la famille est noté Q
k∈I
ak. Par convention, lorsque Iest vide, la somme est nulle et le produit vaut1.
Définition (somme et produit d’une famille finie)
À retenir
La récurrence forte est utile lorsque le seul fait que P(n) soit vraie ne suffit pas à en déduire P(n+1).
L’hypothèse de récurrence peut alors s’écrire : « supposons la propriété vraiejusqu’aurangn».
Théorème(récurrence forte)
SoitP(n)un prédicat portant sur une variablen∈N.
Si on aP(0)(initialisation) et si∀ ∈N, (P(0)∧P(1)∧ · · · ∧P(n))=⇒ P(n+1)(hérédité), alors nécessai- rement∀n∈N, P(n).
||- Sommes et poduit:
Remarque :
– L’initialisation est juste une vérification, mais elle est indispensable.
Par exemple, soit le prédicatP(n):« n=n+1», celui-ci vérifie bien l’hérédité (n=n+1 =⇒ n+1=n+2), mais pour tout n,P(n)est fausse.
– Démontrer l’hérédité c’est démontrer une implication. En général on le fait par la méthode directe, on fait donc l’hypothèseP(n), c’est ce que l’on appellel’hypothèse de récurrence, et on essaie d’en déduire P(n+1).
Preuve: Pour le premier point, on applique le principe de récurrence au prédicat Q(n)=P(n+a) avecn∈N. Pour le deuxième, on applique le principe de récurrence au prédicat Q(n)=P(a−n) avecn∈N.
Théorème (variantes)
Soita∈ZetP(n)un prédicat portant sur une variablen∈Z.
•Si on aP(a)et si∀n>a, P(n) =⇒ P(n+1), alors on peut conclure que∀n∈Z,n>a =⇒ P(n).
•Si on aP(a)et si∀n6a, P(n) =⇒ P(n−1), alors on peut conclure que∀n∈Z,n6a =⇒ P(n) (récurrence descendante).
2 Soit P(n) un prédicat portant sur une variablen∈N.
Si on a P(0) (initialisation) et si∀n∈N, P(n) =⇒ P(n+1) (hérédité), alors nécessairement∀n∈N, P(n).
Théorème
(Récurrence simple):
Exemples d'applications 1: (En classe)
Soit(ak)k∈Iune famille de complexes indexée par un intervalle d’entiersI=Jn;mK. La somme des éléments de la famille est notée
m
P
k=n
ak et le produit des éléments de la famille est noté
m
Q
k=n
ak. Par convention, lorsquen>m, la somme est nulle et le produit vaut1(car dans ce cas l’intervalleJn;mK est vide).
Définition (lorsqueIest un intervalle d’entiers)
Dans la notation Pm
k=n
ak, il est implicite quel’indicekaugmente de1lorsqu’on passe d’un terme au suivant (idem pour le produit). Par exemple, la somme des entiers impairs de1à15ne s’écrit pas 15P
k=1
k (qui correspond à la somme de tous les entiers de1à15), mais
7
P
k=0
2k+1.
Attention !
Remarque :
– Le terme akest appelé terme général de la somme (ou produit), la valeur n est appelée valeur initiale de l’indice et m la valeur finale.
– Dans les formules donnant la somme ou le produit, l’indice est une variable ditemuette, on peut lui donner le nom que l’on veut,le résultat ne dépend pas de l’indice.
Cas particuliers
– Terme général constant: Pm
k=nα=(m−n+1)αet Qm
k=nα=αm−n+1sin6m.
– Sommes et produits télescopiques: soit (ak)k∈Jn;m+1
Kune famille de complexes, alors :
m
P
k=n
(ak+1−ak)=am+1−anet si aucun terme ne s’annule, alors Qm
k=n ak+1
ak =aamn+1.
– Sommes géométriques: somme de termes consécutifs d’une suiteugéométrique de raisonq∈|R(i.e.
∀k∈N,uk+1=uk×q) :
m
X
k=n
uk=
(un−q×um
1−q siq6=1
(m−n+1)up sinon
On retiendra la formule oùpdésigne le premier terme de la somme etdle dernier.
– Sommes arithmétiques: somme de termes consécutifs d’une suiteuarithmétique de raisonr∈|R(i.e.
∀k∈N,uk+1=uk+r) :
m
X
k=n
uk=(m−n+1)(un+um) 2
On retiendra la formule oùpdésigne le premier terme de la somme,dle dernier etnle nombre de termes.
2) Changement d’indice
Cas particuliers
Lorsque l’ensemble des indices est un intervalle d’entiers, les changements qui reviennent le plus souvent dans les sommes
m
P
k=n
ak(ou produits) sont les suivants (avecn6m) : – translation de l’indice : soit à calculer Pm
k=n
ak, soitp ∈Z, posons un nouvel indicek0 =k+p (i.e.
k=k0−p), on a alors :
m
X
k=n
ak=
m+p
X
k0=n+p
ak0−p
S=n(p+d) 2 S=p−q×d
1−q
Exemples d'applications 2: (En classe)
En effet,
m+p
P
k0=n+p
ak0−p=an+an+1+ · · · +am=
m
P
k=n
ak. – symétrie de l’indice: soit à calculer mP
k=n
ak, soitp∈Z, posons un nouvel indicek0=p−k(i.e. k=p−k0) , on a alors :
m
X
k=n
ak=
p−n
X
k0=p−m
ap−k0
En effet, p−nP
k0=p−m
ap−k0=am+am−1+ · · · +an=an+an+1+ · · · +am=
m
P
k=n
ak.
Le nouvel indice doit également varier de1en1. Considérons par exempleS=
n
P
k=1
2k=2+4+6+ · · · +2n, alors le
changement d’indice k0=2k n’est pas « valable », car 2nP
k0=2
k0=2+3+4+5+6+ · · · +2n6=S.
Attention !
Formulation générale
Soit (ak)k∈Iune famille finie de complexes indexée par I non vide, supposons qu’il existe une bijection f: J→I (où J désigne un autre ensemble), par composition on a ainsi une autre famille, indexée par J, et qui est (af(k0))k0∈J. La fonctionf étant bijectiveles deux familles comportent exactement les mêmes termes à l’ordre près, par conséquent la somme des termes des deux familles est la même, et le produit aussi (l’addition et la multiplication étant commutatives) :
X
k∈I
ak=X
k0∈J
af(k0)et Y
k∈I
ak=Y
k0∈J
af(k0)
On dit qu’on a fait le changement d’indicek=f(k0)aveck0∈J.
3) Propriétés
Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice.
4) Sommes doubles
Sur un rectangle
Soit (ak,l)(k,l)∈Jp;qK×Jn;m
Kune famille indexée parJp;qK×Jn;mKoùp6qetn6msont des entiers. La somme de la famille est appeléesomme doubleet notée P
(k,l)∈Jp;qK×Jn;mK
ak,l = P
p6k6q n6l6m
ak,l.
Disposons ces nombres dans un tableau en indexant les lignes depàq, et les colonnes denàm: Soientα,a1,a2, . . . ,an,b1, . . . ,bn,c1, . . . ,cmdes nombres complexes,p6q6ndes entiers, on a : - pour la somme :
q
P
k=p
ak+
n
P
k=q+1
ak=
n
P
k=p
ak;
n
P
k=pα×ak=α×
n
P
k=p
ak;
n
P
k=p
(ak+bk)=
n
P
k=p
ak+
n
P
k=p
bk
- pour le produit : Ã
k
Q
= q p
ak
!
× Ã
k=
Qn
q+1
ak
!
=
k
Q
= n p
ak;
k
Q
= n
pα×ak=αn−p+1×
k
Q
= n p
ak;
k
Q
= n p
(ak×bk)= Ã
k
Q
= n p
ak
!
× Ã
k
Q
= n p
bk
! Théorème
ap,n ap,n+1 · · · ap,m
ap+1,n ap+1,n+1 · · · ap+1,m ... ... ... ... aq,n aq,n+1 · · · aq,m
4
Exemples d'applications 3: (En classe)
La somme des nombres figurant sur la lignekest Sk=ak,n+ak,n+1+ · · · +ak,m=
m
P
l=n
ak,l. Si maintenant nous faisons le total des sommes sur chaque ligne, nous obtenons Sp+ · · · +Sq=
q
P
k=p
Sk=
q
P
k=p
µm P
l=n
ak,l
¶ , or ce total représente la somme des nombres de la famille (car l’addition est commutative et associative), d’où :
X
p6k6q n6l6m
ak,l=
q
X
k=p
Ãm X
l=n
ak,l
!
De même, la somme des nombres figurant sur la colonnelest Cl =ap,l+ap+1,l+ · · · +aq,l =
q
P
k=p
ak,l. Si maintenant nous faisons le total des sommes sur chaque colonne, nous obtenons Cn+ · · · +Cm=
m
P
l=n
Cl=
m
P
l=n
à q
P
k=p
ak,l
!
, or ce total représente la somme des nombres de la famille (car l’addition est commutative et associative), d’où finalement :
X
p6k6q n6l6m
ak,l =
q
X
k=p
Ãm X
l=n
ak,l
!
=
m
X
l=n
à q X
k=p
ak,l
!
Soit (ak)k∈Jp;q
Ket (bl)l∈Jn;m
Kdeux familles alors : P
p6k6q n6l6m
akbl=
q
P
k=p
µm P
l=n
akbl
¶
=
q
P
k=p
µ ak Pm
l=n
bl
¶
= Ã q
P
k=p
ak
!µm P
l=n
bl
¶ À retenir: produit de deux sommes simples
Sur un triangle
Soit (ak,l)(k,l)∈A une famille indexée par A={(k,l)|16k6l6n} oùnest un entier. La somme de la famille est notée P
(k,l)∈A
ak,l= P
16k6l6n
ak,l.
Disposons ces nombres dans un tableau en indexant les lignes de 1 àn: a1,1 a1,2 · · · a1,n
a2,2 · · · a2,2 . .. ...
an,n
La somme des nombres figurant sur la lignekest Sk=ak,k+ak,k+1+ · · · +ak,n=
n
P
l=k
ak,l. Si maintenant nous faisons le total des sommes sur chaque ligne, nous obtenons S1+ · · · +Sn=
n
P
k=1
Sk=
n
P
k=1
µ n P
l=k
ak,l
¶ , or ce total représente la somme des nombres de la famille (car l’addition est commutative et associative), d’où :
X
16k6l6n
ak,l=
n
X
k=1
à n X
l=k
ak,l
!
De même, la somme des nombres figurant sur la colonnel est Cl =a1,l+a2,l+ · · · +al,l =
l
P
k=1
ak,l. Si maintenant nous faisons le total des sommes sur chaque colonne, nous obtenons C1+ · · · +Cn=
n
P
l=1
Cl =
n
P
l=1
µ l P
k=1
ak,l
¶
, or ce total représente la somme des nombres de la famille (car l’addition est commutative et associative), d’où finalement :
X
16k6l6n
ak,l=
n
X
k=1
à n X
l=k
ak,l
!
=
n
X
l=1
à l X
k=1
ak,l
!
5
Exemples d'applications 4: (En classe)
II| BINÔME DE NEWTON Factorielle
1)
Soitn∈N∗, on posen!=
n
Q
k=1
k=1×2× · · · ×n. Par convention, on pose0!=1.
Définition
ZExemple: 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, ...
À retenir
∀n∈N, (n+1)!=(n+1)×n!
2) Coefficients binomiaux
Soientn,pdeux entiers positifs tels quep6n, on pose¡pn¢=p!(nn!−p)!(lirepparmin).
Par convention, lorsquep>n, on pose¡
p n¢
=0.
Définition
ZExemple:¡n0¢=1 ;¡n
1
¢=n;¡n
2
¢=n(n2−1).
En simplifiant dans la formulen! avec (n−p)!, il reste :
Si 16p6nalors¡
p n¢
=n(n−1)···(n−p+1)
p! .
À retenir: formule pour le calcul pratique
Cette formule pratique permet d’étendre la définition à tout réelx(etp∈N) en posant :¡
p x¢
=x(x−1)···(xp! −p+1) et¡x
0
¢=1.
Attention !
La fonction factorielle telle que nous l’avons définie, ne s’applique qu’à desentiers positifs.
Preuve: La première formule découle directement de la définition.
La deuxième formule est évidente sip>n, supposonsp6n,p n+
+ 1 1
¡
p n¢
=pn++11(n−n!p)!p!=(n+1−(p(n+1)!+1))!(p+1)!)!=¡
p n+
+ 1 1
¢. Pour la relation de Pascal, elle est simple à vérifier sip>nou sip=n. Supposonsp6n−1, alors¡
p n¢
+¡
p n +1
¢=
n!
(n−p)!p!+(n−p−1)!(p+1)!n! =n!(p(n−p)(p+1)!+1)+n!(n−p)=(n−p)!(p+1)!(n+1)! =¡
p n+
+ 1 1
¢.
Triangle de Pascal
La relation de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche dans un tableau : Soientnetpdeux naturels :
- Si06p6nalors¡pn¢=¡
n− n p
¢(symétrie).
-¡
p n+
+ 1 1
¢=pn++11¡
p n¢
. -¡
p n¢
+¡
p n +1
¢=¡
p n+
+ 1 1
¢(relation de Pascal).
Théorème (propriétés)
6
3) Formule du binôme
Preuve: Par récurrence surn : au rang 0 la formule donne 1 ce qui correspond bien à (a+b)0. Si la formule est démontrée au rangn, alors :
(a+b)n+1=(a+b)(a+b)n=a(a+b)n+b(a+b)n
=
n
X
k=0
Ãn k
!
ak+1bn−k+
k
Xn
=0
Ãn k
!
akbn+1−k
=
n+1
X
p=1
Ã
p n
−1
!
apbn+1−p+
k
Xn
=0
Ãn k
!
akbn+1−k(changement d’indicep=k+1 dans la première somme)
=
n+1X
k=1
Ã
k n
−1
!
akbn+1−k+
k
Xn
=0
Ãn k
!
akbn+1−k
=an+1+bn+1+
n
X
k=1
"Ã
k n
−1
! +
Ãn k
!#
akbn+1−k(on regroupe les sommes surJ1 ;nK)
=an+1+bn+1+
n
X
k=1
Ãn k +1!
akbn+1−k(relation de Pascal)
=
n+1X
k=0
Ãn k +1!
akbn+1−k(formule au rangn+1)
La formule est donc établie pour toutn∈N.
ZExemples: – Pn
k=0
¡n
k
¢=(1+1)n=2n. – Sin>1, Pn
k=1
k¡n k
¢=
n
P
k=1
n¡n k−
− 1 1¢
=n2n−1.
4) Une autre identité remarquable
Preuve: Sia=bil n’y a rien à faire, sia=0 alors le terme de droite devient−b×bn= −bn+1, la formule est encore vraie.
Supposons maintenant quea6=0 eta6=b, alors : an+1−bn+1
a−b =an 1−³
a b´n+1 1−b =an
n
X
k 0
µ
a b¶k
=
k
Xn
0
an−kbk Soienta,b∈|Retn∈N, alors :
an+1−bn+1=(a−b)(an+an−1b+ · · · +abn−1+bn)=(a−b) Pn
k=0
an−kbk. Théorème
Soienta,b∈Cetn∈N, alors :(a+b)n=
n
P
k=0
¡n
k
¢akbn−k=
n
P
k=0
¡n
k
¢an−kbk. Théorème
n\p 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6+ 4 1
1 5 10 10= 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Remarque : une preuve par récurrence est également possible.
Cas particulier: sinest pair alorsn+1 est impair et doncan+1+bn+1=an+1−(−b)n+1ce qui donne alors en remplaçantbpar−b:
an+1+bn+1=(a+b)
n
X
k=0
(−1)kan−kbk (sin+1 est impair)
À retenir: Une application
Si P(x) désigne une fonction polynomiale en la variablex, et sibest une racine de P (i.e.P(b)=0), alors P(x) est factorisable par (x−b).
Preuve: En écrivant P(x)=
n
P
k=0αkxk, alors : P(x)=P(x)−P(b)=
n
X
k=1
αk(xk−bk)=(x−b)
n
X
k=1
αk
Ã
p k
X−
=0 1
xk−1−pbp
!
8
