cours manuscrit

(1)

Calcul ^des _Variations

Chaput

^:

quelques

applications

(2)

① Relaxation

Flat

^-^_

{ ^face ⁾

^,

^new ^r ^CLR ^" ^"

^"

^Grail

^.

CNS

^à

la faible ^sa

^-

^de ^F

^seu

^W

^' ^"

^et

la _quai ^convexité ^de f

( ^D=

^I ^,

^scolaire

_, ^⇐

^convexité ⁾

Que

^se

_passe

^-

^t

^-

il

m'

f ^n' ^est ^pas

quasi

^convexe

?

Si ₍ _un ^vite ^www.isaute

Haut

^→ ^x ⁼

info

et

_un ^→

^à fae.be ^ds ^W

^" ^"

lui Fcuu ) ^C ^Flù )

( ^F _par fsà ^le long ^de

cette autre )

Est

^- ^ce

que

^à

^est ^solution ^d'

^un

pb

de www.satoi Ces ^f- convergence ⁾

P

^-

convergence ^d'

^une

^autre stationnaire de fonctionnelle

⁼

^relaxation

^.

Calcul ^de ^l' enveloppe faiblement

^sa^.

(3)

def ⁽

⁼

^la _plus grande fonction fsa

^.

Sue W

^' ^' ^" ^e

F)

⁼

^F

à

ma ^un

povihdrmuiuu.mn ^de ^É É

^-^-

^t

^-

^huit

Gfaeotiaeulle ^relaxée ⁾

EI

^.

^N

^-^_

^D=

¹

flirt ⁽ ^t

^-

⁷⁴

^'

^, f. ^M

^-

^SIR

f ^f ^la

_et

^faute _l' _enveloppe

^.ae

^f-

t.me#-::::k-Flul--f'fluD,uc-W'

^' ^"

⁽

^ou

⁾

fuaecouvexe

^-

^F. ^n' ^eut ^Sur ^pas ^W ^fsa

^l'⁴^,^.

une tq ^une

^' ⁼

^Il

Unit

⁼

utulux ⁾

^avec

^n'

⁼

^±

^'

^périodique

(4)

¥ ^n' ^aille ^ente

- -

les valeurs ^#

" "

ï-Ë¥tÆÆ÷Ë÷

u ^.

Un

_→ ^a

renformirent

^seu

^R

Wu

⁼ ^Ii ⁼ ,

n' ufo ^faible ^dsw

^" ^°

=) Une ^-10

ds W

^' ^' ^"

(

^Oci

)

Floret

^.

{ ^flaire ⁾

⁼ ^o

F- (a)

⁼

{ ^fle ⁾

⁼

¹

F (a)

⁼

1)

^o ⁼

Flou ) ^tu ^C- ^IN

=)

F n'

^en

par fsà

^sur

^W

^" ^"

^Lou ⁾

(5)

de Jock vtq

"

^-

ËËËËË

^- ^± ^.

"

vient

^-^-

Idm

⁾

^, ^viii. ^virus { ^t' ^lyldy

( ⁽

^vieil^-

^Ut

^-^il^NE

)

⁼ ^1×4 ^-^txt^-^d)

= 2d^-^t

# ^EJ

^-

^4K

=>

vu

^_

( ^2d

^-

^e)

^×

faible

^ds

^W

^"^"

⁽

^ou

⁾

Flirt

^-^-

{ fl2-t-Ddx-fud-ssot.edu

de

la partie ^les

^valeurs^' ^non

couver

def

^.

Flore ⁾

^-^_

f.

^"

^flou

^'

⁾

^-^_ ^o

Du

^nouveau _, ^on ^a

( ^2d

^-^le

^]

^-^toi

^[ ⁾

FCEt-f.CH

^-^il ^> ⁰ ⁼

^Flou ⁾

(6)

Il

^est

plus favorable

^, ^d'^un

^ph

^de ^vue

^énergique

^,

de ^roue

placer ^le parti

^non ^couver ^de

f ^pa

^o ^.

Ici

on ^ne

converge ^par

^un ^vu ^{moi de}

^F

^, ^mais

vers un mm

' de

la fonctionnelle ^relaxée

^, ^cool

F- ^lol

⁼

jflv

^'

⁾

où

f-

^est

^l' ^enclave

^convexe ^de

^f.

-

Espace métrique ⁽

^X^,

^d)

F

^:

^X

^- ^s

trusta _}

Def

^:

Ôn âppelle ênveloppe

^sa^"

^Conclave ⁾

^de

F ,

la fonctionnelle

^:

F ^:X

^→

Kutta }

défaire ^par

F- (a)

⁼

sup {

^G

^(a)

^, ^G ^E ^F ^, ^G ^Sai

^}

Prep

^.

^On

^a

^F- ^=P

^-

^lui

^F ^et ^donc

F- ⁽

^ul^-^_

iuf IÇI ^Fly

^.⁾ ^:

^y ^#

^ce

^}

82g

^.

^La ^l

^'^-

^lui

^d' ^une

^suite stationnaire ^F

^n'^est

pas forcement

^F ^car ^une

^P

^-

^lui ^est ^toujours

^sa

-

DE ^:O zdrlat.hu#

f-

^'

(

^re

)

^: ⁼

vif { fq÷ ^Flan

^,

^y ^#

^ce

^}

(7)

On

^va

^monter

_que

^t'

^eut ^la ^P^- ^lunette ^de ^F.

*

Auj

^. ^-^ru ^, ^F ^'

^lut

^E

bg ^Fly

^.

⁾ ^par ^def

^de ^F^'

*

Par déf

^de

^F

^' ^,

^tte

^,

Jude

_, ^u

^tg

LE ^Flag ^? ⁾

^s

^Fln ⁾

⁺

^¥ ⁽ ^par ^l' ^def ^uef

^de

⁾

TKEIN

ftp://V-zlN/tqhgiFlujuy.,)--hgFCuYIEFTutttz

, ^.

Soit

^le

GIN

_,

J jle

^C-

^IN tq tj 78k

,

F ( ↳ _↳ _µ ⁾

^E

^F

^'

^Cult ^I

_le ⁽^e⁾

{ dinde , "

^,

ut

^±

#

^"

^'

tête

^: ⁼

uh

,

(2)

⁼ ^, ^à

#

^u

Tuttle

⁾

(

^e) ⁼^,

hnuiffàwl ^IFK

⁾

Or

_,

^d' apaè ^la boue nef

^.

LE ^Flàrel ^> ^Flat

donc Çi ^Flûte ⁾

^-^_

^Elu ⁾

Dae IF=

② MqF?

# t' ^=P

^-

^huit

⁼ ^,

^F

^'

^sui

^au

# ^d)

Par F

^'

^EF

^car

uj

^Eu ⁼ ^,

^Fleet ; ¥f§é ^Flags ⁾

(8)

= ,

F

^'

( ^ul

^E

loup { ^Glu

⁾ ,

G

^E ^F

, Gsa

]

⁼

^Élu

⁾

* Soit ^G

^EF

,

G

soi

up

^→ ^ce

^dsl

G_sa^'⁼ ,

G ( ^ul

^E

by Guy

^.

⁾

s

hui Flag

^.

⁾

Par passage

^à

^l' uef ^parmi ^toutes ^les ^suites

g-

^→^ce

Glee

) E

ref } ^LE Flujl

^:

^y

^.

^#

^ce

f- ^Fla ⁾

Par passage

^au

^coup ^parmi ^tous ^les ^GEF

^, ^Goa^;

F- (a)

⁼

_sup { ^Glu

⁾ ^, ^GEF^,

^Gsa

^.

^}

^E

^F

^'

⁽

^re

⁾ ^D

-

f

^:

^Rd

^"^→

^IR ^centaine ^tq ⁷ ^d)

^a^,

^3- ^A-

²⁰

7 la

pa

^a

tq

^:

TRIPE forte ^A- ⁽

^HKLM

^f2

^c-

^Rdx

^?

SLCIRN ^ouvert borné

.

F

:

L

^"

IRM

^_^,

^[

^oct ^a

]

" 1-^,

F

_(a)=

{ ^fif ^a)

^si ^u

^EW

""

Coryza

⁾

+ ^• Senior

the ^(Dacæog

^:

^l' ^enveloppe

^sa^- ^sur

^l'

^Cr^>^RH

drf

est

donnée par

F

^:

^L

^"

(

_{r ;}

^IRD

⁾ ^- ^t

[

_oct ^a

_]

(9)

le 1-

F- (

^up ⁼

{ ^Sn ^Qf

^to

⁽

^Malek ^, ^ne^Suède

^www..ae

où

Qf

^:

^IR

^{" '} ^→ ^IR

^est ^la guarini

"

%

Qfczl

^: ⁼

mf { {

_"

ufltttylgdy

^:

qe

^C

I ( Cour

_,^Rat

}

Rg

^:

Sie

^,

^tte

^c-

^Rd

^» ^et

tt

y

^c-

^CE Kon

)

Rd )

_,

fut

^c-

{

a.

µ fut Thelghdy

Par _pansage

^à

^l' uf ^my fut

^e-

^Qfte ⁾

^-

Par album

, ^en

prenant ^4=-0

,

on a

toujours

^que

9f41

^E

ft ⁾

Donc QFLEK flic ⁾

En geùerel

^,

^Q ^for ⁾

^c

^fr ⁾

Rg

^:

^Comme f ^continue

^,

^par ^densité

^de

^CE

ds W ^'

, ^on ^a ^:

Qflzl

^-^-

ref { / ^futile

^:

^y

^c-

^W

^'

^! ^Kami ^Y

COHN

Dey

^.

^On

^va

^appliquer ^le ^uiulhats

^du

chapitre précédent

^avec

fa ⁽

^x

^Mk for ⁾

On

sait

^d'

apaè ^la proposition ^précédente ^que

F-

⁼

Eleni ^F ^existe

^et ^d'

apeû ^la ^théorie

^de

représentation ^intégrale

(10)

J f-

^:

caatbiodrytqdklteflx.IE

^Rx

^now

^→ ^IR

^A- ⁽ ^HKLM ^ppx

et

F- (a)

⁼

{

^{^}

^ff4

tu^Re⁾

^www.ttz

, ^ce

c-

LPLW

^" ^P

Ouvert

mater

_que

f- ⁽ ^xclk ^9ff21

tlqfeutuidépeudautedexeftttd

^"

①

^Xo^,

_je

^C- ^M _,

^f)

^o

^tg ^Belxe

⁾ ^Cr ^,

^Belge

⁾ ^ch^.

M'

^*^"

Ae Beta

⁾^,

tg ^=p

^"^" ^zo ^,

^June ^W

^'^"

⁽ ^Beta

⁾ ^;

tq

^un ^→

^ûz

^ds

^L' ⁽ ^Be ^Kel

^; ^Md

⁾ ^tg

fcthen ⁾

^±

ff-4

^,

^Ruiz ⁾

⁺

^zee

^"^"

LE feu

^,

_Bel

^"

⇐

EH

=

ff-4,2 ⁾ _tz ^CA

Belxe

⁾

vu (g)

⁼ ^un

⁽ ^y

^. ^-

^yetxo ⁾

^,

y

^C-

Belge

⁾

EB¥

vue

U

^'

'P( Belgo ⁾

^; ^ki

⁾

Rqvn

^→

^ûz

^-

^Ike

^-

^yo ⁾ ^ds ^l' ^% ^Belge ⁾

^;

§ ^vnlyt

^-

^âz

lyt-7lxe-yoskdy-a.gyyjuly-yotxel-lly-yatxellPdyy-y.tk

^-^×

(11)

=

f ⁽ ^uucxl

^-

^2x ^Mdr

^→ ⁰

Belxe

⁾

Par def

F

^'

( ûz ^-24

^.^-

gel

^,

Belge

^'

⁾

< ET { ça

^,

fltvuçnoy

=

Spey

^.^,

^Hilda

=

¥ ↳ _eç

_._,

f

^un

^" ^Y

×

±

LE §y f ⁽ ^Munk ^Ddx § ^, ^,§ ^Kidd

⁺

^G- ^eu

^"

ETÉ ! ^! ^" ^" ^" ^eEËe ^! ^! ^"

^* ⁺

^¥ ⁾

= ,

ftp.zleflx.ir ⁾

= eu ni

versant ^le rôle

^de ^xo

etg

^. ^.

② QT

}

^C-

^IR

^N ,

Ûzcxt

^-^_

^la

Xo Ed

,

f70 tq ^Q

^: ⁼ ^Xo ⁺ ^Ce^,

^e)

^N

^ch

^.

7

_un E

W

^'^"

( _Q

_;

^IRD ) tq

^un ^→

ûz

^ds

^l' ^CQ

^,

^Rd ⁾

et

hyn pq ^faut

^⇐

§ ^f- ⁽ ^Rûz ⁾

⁺

^en

^"

-

e

^"

f- ⁽²⁾

⁺

^en

^" ^a)

(12)

On peut également ^suppurer ^que

^un^-^-

^ûzàs

^un

voisinage

^de

QQ

^.

- ⁼ un ^-

ûz ^EW ^!

^"

⁽ ^Q ^; ^Rd ⁾

{ ^faut

^-^-

^Saf ⁽ ^Run

^-

^ûzttitâz ⁾

=

fqflthlutl ⁾ ^cu

{ j' ^YE.sn ^, ^Yul

^C- ^Xot

^Ca

^, ^=p

^scene ^ami ^:

§

^.

^! ^! ! ^! ^"

^*

^" ^" ^" ^¥ ! ^! ^" ^" ^cent

⁼_y

^là

=L

^"

{ yiftttthlnlgildg ^↳ ^,

" G- ËI

(c)

_, ^CU_, ^CH ^donnent

en f- ^tentent

^' ^>

^en {

a.

+ flirt Renly May

-

>

Qftrl

^car

Quei Kann

,

d)

= ,

f- ^tette ^> ^Qfte ⁾

f-

^sa ⁼⁾

f- ^{tes Qflz} ⁾

(13)

③ Mqftsteofcsm ^?

Par def

^d

^Q ^# ^tel

^,

^Azzo

^,

⁷ ^Y

^C-

^CI ⁽ ^Canal

^;

^Md ⁾

tq { wfttihelylldye ^Qfctttz § _étendre

^. par

^Ciel

Qncxt

⁼

± ^Cf ⁽

^ux⁾

^prédiction ^IRN Hyuk

a E

± ^Ilya

^, ^→ ⁰

Myulxl

^-^_

^Relax

⁾ ^-

^Kthlulla ^EUR94

= ,

Un

^-10

faiblement

^ds

^W

^'^"

⁽

^r

^; ^IRD ⁾

Qu

^→ ^o

fort

^ds

^l' ^Cd

^;

^Rd ⁾

F- ₍ _ûz ₎

±

LE ^Flûz

⁺

^qui

= ,

t.nl f77 ⁾

^e

LE { flztthecnxndx ^CA

"

Yi !¥â :# { ^www.EY.in

= ,

{ ^fameux ^#

^→

^tu ^{

^a.

^Être } ^" ^dy

Culotte ^Ca # f- ^tete ^# Ça

,

jftetthe ⁾

←

# _[ effet +21 ]

=)

f- ⁽ ^El

^E

^Qftttz

^,

^zteo

^.

^D

(14)

Prep

^:

^Qf

^est

^l' ^enveloppe ^quasi

^convexe ^de

^fatiguiez

et^:

Q fort

⁼

^up I got

^:

^g ^Ef

^,

^g quaucouoexe }

^.

Dex

^. ^R⁼

^B.

^le

⁾

^=D^.

F

^: ^ne

LPCB

_;^Rd

⁾ ftp. { ^§ ^f42

⁾ ^a

EU^'^"

to Swan

F

^: ^{c .}

Fleet

^.

{ ^SQFCRUI

^B +• ^aLemon^EU.^'^"

F- ^=P

^-

^lui

^F ^est

( fatemeut ⁾

^soi ^Sue

^LP ⁽ ^Bd ^Rd ⁾

^.

Soit

^{un -} ^a

faiblement

^W^' ^"

⁽ ^Bird ⁾

Rellich

⁼ ^, ^un ^→ ^a

fort

^ds

^tt ⁽ ^Bird ⁾

= ,

Flute lui

^un⁾

m

Dax F

^est

faiblement

^soi ^sur ^W^" ^P

⁽

^D-^;

^IRD ⁾

=,

qfut.eu

^.

Par ailleurs

,

en

prenant ^4=-0

^ds

^la def

^de

^Qf

^, ^on

a

Qf¥h

Donc Qfte ⁾ ^Emp { _ga

⁾ ^,

_g

^E

^f

^,

gqaaneouoexe }

Pour mater l' autre

^n'

égalité

^,

^soit ^g

^E

^f

^,

gquancouoexe.tt ^y

^C-

^C ^% ⁽ ^look ^; ^RM

^,

g Chef ^goethe ⁾

^E

f ^fort ^The ⁾

(^ou

)N ⁽

^ou

)N

Par _passage

^à

^l' if ^par ^rapport

^à

^y

^dans

^le

meurtre

d

droite

,

you

^E

^Q for ⁾

(15)

Par passage

^au

^mp

^en

^g ^dans ^le ^nombre

^de

droite

_,

up L _girl

^,

g

^E

f

^,

gquancouvexe }

C-

Qfcz ⁾

^D

Rq ^D=

^I

⁽

^car

^scolaire ⁾ quancouvexité

^⇐^,

^convexité

Qf ^n'

^eut

^autre

^que

^l' ^enveloppe

^convexe

^de f.

¥

^.

^D=

^lui _,

fort

⁼

⁽

^t^-

⁷⁴

^'

paie

^.

Flat

^-^_

ff4

^'

⁾

*

ⁿⁱ

:{ ^ici ^,

j'

⁼

^Cf ^enveloppe

courte^.

Rg

^:

^En général

^,

^il

^est

^toi difficile

^de

^calculer

explicitement

^une

enveloppe quancouaexe

EYE

^:

Optimisation

^de

fanas

Mécanique

^de

^l' endommagement

^.

N=

^R ^CIR ^' ^ouvert

^borné

On ^va

chercher

^une

faune

^co ^c ^r

^ouvert Energie élastique

^annonce ^{à w} ^:

Flat

⁼

IL { { ^Mal

^' ^-

^Cg

^, ^ce^> ^: ^ne

^t' ^té ^RY ^}

On ^cherche

^des

formes

^"

^optimale

^" ^u ^C

^d

^.

^relation

^:

(16)

Inf # ⁽

^w

⁾

^:

^wch ^ouverts

hot

^m

}

où

me

Irl

On modifié ^le ^pb

^en

^remployant ^la ^contrainte

égalité ^lui

⁼ ^ne

^pa

^un

multiplicateur ^de Lagrange

d

^C-

^IR

^:

Inf # ⁽

^u

⁾

⁺

^Nul

^- ^m

⁾

^, ^ce

^Cd ^}

On _espère

_que

, ^en

choisissant d convenablement les solutions

^de ^ce ^nouveau

pb donnent ^des solutions

du

pb

^de

départ

^.

¥1 ^{ { ^Nuit ^d ^hot

^-

^eg.us ^}

=

Eff fftmutt-D-cg.us ^}

¥¥çut

⁼

^Inf { ^zfa.LI ^[ ^Matt ⁾

^-

^qui

} ^EIR

^"^'

-

Inf ^[ { ^faut

^-

^agent ^]

aè

fort

^.

{ ^Meta

^o ^si^2-

^to ²⁼⁰

Footix

^-^de ^Kohn ^-

Shang

^:

flic f ^trkl

^o ^si

Si ^lto 2=0 ^PAS ^continue

(17)

¥EY

^:

Cftzh

^.

{

^*

^2Mt ^M

^" ^Ii^si

^te ^trkl ^>

^,

¥1

Evie

^:

Qflzt

^.

{ ² ^tt ^VÊTIT ^"

^" ^-

^si 2ldethsikttfde.tl ^tlitzldetl

^> ^,

Ce qui

^rend

^le ^calcul ^pour .ba ^c'est _que

Qf

^est ^aussi

poly

^convexe

Qf

⁼

^enveloppe ^queue

^. ^couver

^def

=

enveloppe pelgwuveœ ^de f

=

enveloppe _ray

^- ^t^- ^couver ^de

^f-

(18)

② HËju

Elasticité

^non

^lunaire

^en

mécanique

^des

^solide

^.

Matériau qui ^occupe

^au

^repos

^une

configuration

de référence

^:

^M ^CIR

^'

^ouvert ^boui

^.

n

^va

être défendrai

^sous

l' effet

^de

contraintes externes

( forces

^de

^volume

⁼

^poids

R forces

^de

surfaces

÷÷m÷ü ^:

i

FF

^-

^¥ ^# ^A

- - - -

une

déformation

^' ^u ^:p ^→

¹⁷³ ^champ

^de

Ü ⁿ

¥Ëi

^:

quand

^on

^uladu ^les sollicitations

externes

,

le matériau revient exactement

^à ^sa

configuration

^m'

^étiole

^.

Elastiate-uoul-ueaeDeuu.li ^d' _aiugè _élastique

W

^:

h

^x

R

" "

→

IR

(19)

Elu )

^: ⁼

{ ^W ^↳ ^Pu _dépendance ^txt ⁾

^dx ^,

spatiale

^ce

^:D

^-

^sms

modélise ^l' hétérogénéité

du

matériau

.

On

^va

^oherdeer ^du ^états

^d'

équilibre

^du

Système

^en

^cherchant ^des déformations

^ce^:D^→

^IBJ

qui ^vont

^ruuiueiisn

^l' eeiegè Elastique

^E

⁽

^tous

l' effet

^de

^couteau ^tes ^externes ⁾

Ianffjnwlx ^Me ⁾ ^" ^I ^anita }

te Leéteéeguieétéerh

périodiquement ^désherbera

^ou

^période

^Ezo^.

matériau ^④

•o ^• ^a ^• ^a *

¥ËÏ÷Ë

^•^•^• ^•^•Ôoo ^•ôn^• ôe^•ôe ôe^•â ôe^à ^•

^÷

^.

fui plefeé ^le ^pb

^en ^"

^dénuant

^" ^un

^modèle

moyenné ( ^modèle hauguteisé ⁾

^en

^faisant

^E-^so

W

^:

IRNXIR

^"^N ^→

^IR ^densité ^d' eùegeé élastique

( fauteur

^de

Carathéoàry ⁾

tg ^WL

^. ^,

³⁾

^est

^la ^.su

^-

^période ^que

(20)

W ( xte.ie ⁾

⁼

^W ⁽ ^Xie ⁾ ppt

^* ^c-

^MN

02

^c-

^IR

^N

V

( Ei EN

ai

{ ^ey

^.^.^- ^, ^en

^}

^est

^la ^base

^canon

^que

^de ^IRN ^.

On suppurer ⁷ ¹²⁰

^,

^J' ^A-

⁷⁰^,

⁷ ^Kp

^au

kg

^.

tkt ^PE ^Wlx

,

2)

^e-

A- ( ^HKLM ppxer

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^: ^tt ^Elo

te

EE

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L' ↳ ^Rd ⁾

^→

[

a. ^ta

]

" 1-

Eclat { ^{ ^WLÊ

⁺^×

^Nu

^{suce C-}

⁾

^,^new

^LPLW

^"^'^"

Analyse asymptotique ^qd

Ê ^→ â âu ^sens ^de

^le

F- convergence ( tique ⁾

Guide ^salar

^à

^l' homogénéisation stochastiques

Théorème ⁽ ^Braid

^,

^Müller ⁾

La faeotvauulle ^EE ^P

^-

^courage ^qd

^E-^so ^dans

Lks ;RM

^vais

Ehan

^:

^LP ^IRM

^→

^[

^e.^ta

^]

^:

than ^(a)

⁼

{ ^Jrwhau ⁽ ^Re ⁾ dxsiuc-WKPfr.IR ⁾

+ A

Senior

œè

,

C-

IRDXN

,

← * ^à

j ! _:*

,

" ! ^faut ^" ^" ^" ^" ^" ^" ^}

T^-oto

( ^densité

^d'

_uieygri homogénéisée ⁾

(21)

PYD ^Pas ^d' ^extraction

^' ^de ^tous ^_

^suite

2) Wham

^est

indépendant

^de ^× ^→

modélisation

d'

^{u n} ^matériau

moyenne

^.

homogène

^.

3) La ^boite _qui défaut ^Whale ⁾ ^existe ( peopuété

d' ergodicité ^qui

^se

guèeèalece

^dans

^le ^code

^de

l' kougeeieisat.ae ^stade ^antique ⁾

4) Si ^Wlx

,

a) cage

^,

^alors

^,

^Wham ^UK Wall ^U ⁾

où

Wcdeltt

^.

nef

YEW

_,

⁽ ^cave

^,

^a) § yiltthelglldy

Dans ^le

^cas ^non ^convexe ,

c'est faux ⁽ ^Müller ⁾

Whoa (7)

^<

Walla ) 5) ^Si Wly ^il

^-^-

^Woo

^,

^alors

Whoa tu

⁼

QW G) ⁽

^exercice

⁾

Lune

^,

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^d^" ^,

^la ^lueiitî

Whom Ut

^-

¥+4

^m'

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^,

^4- ^Ttylylldy

^:

YEW ⁽ ^loin

^;

Katy

existe

^.

Ry

^.

^Comme ^W claeatlréodrg

^à ^croissance^, ^on

^peut

remplacer

^W ^'

^! ⁽ ^COIN ^; ^Rd ⁾ ^pare ^CI ⁽

^left ^" ^,

^Rd ⁾

^.

D= ^tro

wt-mbffaa.wlyczttylghdg.ec?6qttixdD

(22)

On

^a

toujours ^que LE :L ^Wt Effy ^wo

^.

On

^va

montrer

_que

h¥çpWt ^Effigie ^we

^.

S »

^t ^.

Par définition

^de

^Wt 74T

^C-

^CI ⁽ ^lo

^, ^rt

⁾

^"^;

^IRD ⁾ ^tq

¥ ^! ⁽ ^y

^,

ztthec-lyddg-wttf.lt )

⁼

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^entière ^det

Ou pelage ^yr

^par ^o ^sen

^le ^cube ⁽

^o^,

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"

Qte ^CI ( ⁽

^o^,

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On

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subdiviser ( ^qd

^"

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^du

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cube (

^o, +

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C- la^, HN

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^:

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"

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Y

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^- ^il

csiye-itle.HN

l' EI

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^,^, ^.^. ^.^,

^ciao ⁾ ^EZN

^: ^it ^to^,

^[ ^TITAN

^c

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^, ^.^.^.

^,N

( ^[ Htt ) fiz.tn

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^tt

le plus grand ^entier ^qui ^satisfait

^euh

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^- ^t

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^-^_

( ^[ ¥+1

^- ^'

⁾

^"

(23)

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^.

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⁾

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^"

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²⁾

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W ⁽ ^lacs

⁾^'^;

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^,

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^.

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,

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^✓, ⁼ ^Z

+

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,

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^,

^7- ^Thee ^#

^de

Lo

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+

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Canne ^W

^et

peéieoque

^et ^{i C-}

^EN

(24)

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CItf@ywWLzRtRceeCzHdztA_GttKlPllEslJEttTvfo.ynWGcZtThet ^# ^Daz

+

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^MN ) [

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⁺

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I

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⁺

^A- ⁽ ^HKLM ^[

^t^- ^µ

^]

= ,

huisupws ^E luuruf ^Ut ^D

C-_→ a S^-_r a C-_→ •

Dur

^de

Théorème

^..

0 ^.

D' _apex

^'

^le ^théorie

^de

compacité

et de

repaient

^-^Eon

uilegeole

^,

⁷ ^Ej

^-^u^-^s ^o

3- Tv

^: ^RX

^IR

^"^" ^→

^Io

^,

^taf tg Eç !

^-

^courage

dans

LP ( ^Rd ⁾

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^:

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⁾→

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⁼

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^×

^Mee ⁾ ^sine ^W

'"

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+• senior ^.

? tôlxiekweeaulzl ^?

① Tu

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dépendant

^de ^× ^.

-

Xe , y^. Eh

,

f70 tq Bete

⁾

^CR

^,

^Belgo

⁾

^Cd

^.

(25)

7

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;

^"

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⁾ ^; ^IRD

⁾

_, ^un ^→ ^- ^ds

^LP ⁽ Belxeldké

⁾

"

Î÷ ! _, !lË" ^" ^de ! ^! ^Kitten

^"

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_un

_peu

^a ^à ^tout

A

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EW

^'^"

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-

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⁼ ^un

⁽ ^y

^-

g.

⁺^×^.

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'"

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y

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⁾

_vu

_→ _o

l' ( Belge

^'

)

§ ,ÏKMdxE¥§ç ^! ⁽ ^¥

^,

^4- ^Romlgilg

^× ⁼

_y

^-

_yotxo

=

E ! ^! ^" ^" ^" ^¥

NE

FONCTIONNE

^PAS

-

remplacer ya

^- ^x.

^par

_In⁼

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^→

^yo

^- ^Xo

Vu (g)

^: ⁼

^un ⁽ _y

^_

^qu ⁾ y

^-^Tu ^C-

Bete ⁾

y

^C-

Belxetzu ⁾ Soit ^l' 71

,

Bee ⁽ ^yo ⁾

^,

^pour

^u

_assez grand

Belxetculc ^Belge ⁾

(26)

a. ÷ "

i

{ yleflgtlky-funly-zulkdy-B.EU

^#^re

⁾ ⁽

^×^-

^y

^-

^Tm ⁾

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§ ^Iuulxtlldx ^-30

-

Bete

⁾

ËµÈ" .eu?,E.RNrmgtri--?Ifw(?q,ltThenly-TnMdyBtqlyd ^* ^← ^E- ^§ ^T

=Æ¥* .int?...RtMuuhEal+swlE=RtEnI-aDBtelydlB

(27)

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iettunlxiàx

¥

^-^-

^Es ^ai

1- Htt l Brésil Belxetenll

=

HE ^[ § _, ^! ^IËR ^"

+

A- ( HKLM ^com ( ^t' _en

^-

l

^'

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I f ^tvlxczldx

⁺

^put

^' ⁺

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_TN

^come

^"

- e

)

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f ^Ù ⁽ xihaxefwlx.hu ^xp

^"^"

Belgo

⁾

Becket

+

Attribuai ⁾

( ^tt tz

ⁱ

)

tt l

È§eù ^" ^" ^¥ ^! ^" ^" ^ ^¥

ÇI ^! ^Û ⁽ ^yo

^,

^Il ^EÙ ⁽ ^xie ⁾

(28)

② ^tu

⁼

^Whoa ^? ^CR fondamental

^de

^la

F- convergence ⁾

W-quan.com

^vexe

⁽

^car

^È ^est ^faiblement

Sce^' vu W ^' ^'^"

)

tôt ₎

⁼

meuf §

^..

} ^ltttheldx _QEW

^:

₍

le .nu

,

D' _aprés

^'

^le ^théorème fondamental

^de

^la

t

-

convergence

^:

ùttk II. ^1f ! ^! ^¥ ^Rt ^Remote

QEW ( ^la DIR (

^are

^uelxt

^-^_

^Ex

,

gto ⁾

Ie

⁼

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"

u.tw au :* ^, §

_"

^! ^LEM

I

^-^- moi

• Etre tw

!

^"

( ^lançage ⁾ f ^Û ⁽ ^Mv ⁾

( add

Ign

^→

^I

^avec^:

Ign

⁼

vif

( ^Y

"

linaires haut ¥

^.

^Rire ⁾

(29)

Eu ^:( amiral

.mil?iIY,vy--E-*(oy-- _Ë ⁾

Iga

⁼

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^,

^Et Rtlylldy

^:

latent

^"

_yew

^'

^! ₍ ^le

_,

Nik } )

( Tu

^-^-

Egretta ⁾

=

vif f- Wly

^,

^Italy ^Day

^:

( octet

^"

y

^c-

^W

^'

? ( low _, ROY }

→

( ^Larme )

When G)

Done When ^the till ⁾

^.

= ,

E-

⁼

Elian

^.

③ ^V _Ey

^→ ^o ,

J' Ejn

^-^so

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^-

^contage

vers

than ( _qui

^ne

_dépend _par ^de ^la

Sour^.

Seule )

^.

^D' _aprà ^la peepuété ^d' ^Key ^eden

^,

EE Elan ^D.

(30)

EXILE

^:

^N

^{=D =)}

wlyid-alylktona.IR

-

IR 1- périodique

,

mesurable Ocde

^a

SA _pp y

^C-

^IR

^.

Whoa Gt ¥g ^# alylktvtdy.mu ^¥ ^!

q

^c-

Hollow) } EËgge

^:

^la ^solution y

^,

du

pls

^de ^vrai

satisfait ^l' ^EDO

^:

(

^a

(2+41)

^' ⁼ ⁰ ^dans

^la

^,

^les

q.edu#o=i7cc-KtqaYky--c/ppdslaH {

=,

Qu' lys

^-

Ey ^, ^-7

= ,

Un Lyle § ¹⁾ ^ok

Qd ^a)

⁼

^OAK

a-

Quel

⁼

µ ^#

^-

²⁾ ^ok

^-^-

^le Ë

^,^-

^zxu

-

-1

^-

^periode ^que

=fc=3C!¥I

(31)

Wharton qui ¥ ^" ^acyl ^Ktllàtdy

=

lui ^Te [ lttcéulyldy

-

3k

^to

= c

}

-

µ¥*t

Moyenne géométrique ^de

^a.

Se généralise

^en

^douleur ^plus ^grande

^en

jurant

^des ^"

lamentations

^"

séquentielles ^dans

de directions fixée

^.

(32)

③

-

^Réduction ^de ^daimon

^.

⁽ ^PbÜ

Passage

^3D^- ^2D

( ^Elasticité

^non

^lunaire )

^-

Bet

^:

^model ^.su

^à

^parti ^de ^l' ^élasticité

^.

non

linéaire ^3D ^des membranes Elastiques

( surface

^non

linéairement élastiques ^dans

f133 )

Ex

^:

^toiles ^de ^tentes

^:

les déformations

admissible

^m

^voient ^que ^les effets

d' ^étui ^eurent ( ^pas

^de

^purge

^en

^compte

^à

^la

flexion ⁾

Configuration

^:

le

⁼ ^w ^×

^C- E. E) ^E)

⁰

W

CIR

^' ^auteur

borné

Ë

^.

^et ne

On ^lourideèe

^un

milieu

^non

louvoiement

élastique Loujine

^:

W

^:

^R

^" ^' ^_^,

^IR ^centaine

densité

^d'

énergie

'

cours manuscrit

Calcul des Variations

Chaput

quelques

applications

① Relaxation

Flat

{ face )

new r CLR " "

Grail

CNS

la faible sa

de F

W

et

la quai convexité de f

( D=

scolaire

convexité )

Que

passe

t

il

f n' est pas

quasi

?

Si ( un vite www.isaute

Haut

info

et

à fae.be ds W

lui Fcuu ) C Flù )

( F par fsà le long de

cette autre )

Est

que

est solution d'

pb

de www.satoi Ces f- convergence )

P

convergence d'

autre stationnaire de fonctionnelle

relaxation

Calcul de l' enveloppe faiblement

def (

la plus grande fonction fsa

Sue W

F)

F

à

povihdrmuiuu.mn de É É

t

huit

Gfaeotiaeulle relaxée )

EI

N

D=

flirt ( t

74

, f. M

SIR

f f la

faute l' enveloppe

f-

t.me#-::::k-Flul--f'fluD,uc-W'

(

)

fuaecouvexe

F. n' eut Sur pas W fsa

une tq une

Il

Unit

utulux )

n'

±

périodique

¥ n' aille ente

les valeurs #

" "

ï-Ë¥tÆÆ÷Ë÷

Calcul ^des _Variations

{ ^face ⁾

^new ^r ^CLR ^" ^"

^Grail

la faible ^sa

^de ^F

^W

^et

la _quai ^convexité ^de f

( ^D=

^scolaire

^convexité ⁾

_passe

^t

f ^n' ^est ^pas

Si ₍ _un ^vite ^www.isaute

^à fae.be ^ds ^W

lui Fcuu ) ^C ^Flù )

( ^F _par fsà ^le long ^de

^est ^solution ^d'

de www.satoi Ces ^f- convergence ⁾

convergence ^d'

^autre stationnaire de fonctionnelle

^relaxation

Calcul ^de ^l' enveloppe faiblement

def ⁽

^la _plus grande fonction fsa

^F

povihdrmuiuu.mn ^de ^É É

^t

^huit

Gfaeotiaeulle ^relaxée ⁾

^N

^D=

flirt ⁽ ^t

⁷⁴

^, f. ^M

^SIR

f ^f ^la

^faute _l' _enveloppe

^f-

⁽

⁾

^F. ^n' ^eut ^Sur ^pas ^W ^fsa

une tq ^une

^Il

utulux ⁾

^n'

^±

^périodique

¥ ^n' ^aille ^ente

les valeurs ^#

^R

n' ufo ^faible ^dsw

{ ^flaire ⁾

{ ^fle ⁾

¹

Flou ) ^tu ^C- ^IN

^W

^Lou ⁾

^, ^viii. ^virus { ^t' ^lyldy

( ⁽

^Ut

# ^EJ

^4K

( ^2d

^e)

^W

⁽

⁾

la partie ^les

Flore ⁾

^flou

⁾

( ^2d

^]

^[ ⁾

^Flou ⁾

^ph

^énergique