cours manuscrit

(1)

Calcul ^des Variations

LI

^:

^La

méthode ^duxdê

en calcul des

variations

(2)

E evn

J ^: ^E ^→ ^M ^.

x^: ⁼

IIE

^J ^lu⁾ ^Ht ^.

Si

^XEIR

, ^ou

conidie une suite ^uruii ^-

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Jlui ^→ ^x

Méthode

^du^lot^.

-

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^: ûn ^" û ^pour ûne

^tape

- t^-vie

adéquat

- Semi^-continuité

vilaine

^de ^J ^:

J là) ^s

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^Jl ^un⁾ ^.

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solution

^' ^de _#

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^: ^J ^est ^ami^- ^couturier

inférieurement

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pour

^t

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(3)

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^: ^J ^est

^hilarant ⁾ faiblement

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faiblement

^ds ^E^,

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^fsa

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^J

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,

Leny

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Hilbertienne

.

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^: ^tu ^C- ^H _,

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)

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lui

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fai

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(4)

Def

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,

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,

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¥

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applications

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② ^un ^hall ^couve

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(5)

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^: ^J ^: ^E ^→ ^IR -^convexe ^,

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^fsa

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^.

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(6)

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JkHNt#

Supposons

^ce

^#

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réparation

^de ^Hahn ^- ^Barack^, ^Z ^LE ^E^' ^, ^tt ^q

z

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^.

Avec

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, M E C L _, _u) ^- ^E En

particulier

^' ^pour ^a- ^Halal

< h

,

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^faible

^E

<

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^absurde

^.

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= , Jlu) s a ⁼

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⁾ ^D

(7)

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^.

J ^: Ê ^→ ÎR ^Lou ^Hae_, ^sui _, ^↳âutre^:

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à en nuque ^.

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Or Java⁾ → x <ta

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⁽

^pour ^une

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)

(8)

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Eleni

^Jluu⁾ ⁼ ^a

= , X = Jlà) ^→ ⁷

¥è

^. ^Soient ^Tro ^, ^à ^, ^deux ^solutions

Ko _#à)

Par _stricte _convexité ex ex

×

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^t ^- ^x

Absurde ào ^-^à _, ^D

{ du CÂËÎÎ Ar

-

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^-

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7 ¥

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^-

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^,

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1MHz

^-^Ho

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( ^Hiei )

^Il

^Aéill

^-^Hit ^tro

¥Èto

^dite

(9)

② Atatürk

^.

Déf

^.^. ^r ^CIR^" ^ouvert

f

^: ^r ^× ÎRM ^→ ÎR êst ûne

faeotuai

^de

Caeathéodry

^si ^:

- ppttxfr ,

flx

^, ^. ⁾ ^contourne ^sur ^IRM

- t ^7f IRM _,

ffyzl

^mesurable ^sur ^.

tourne

^.^.

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-

z : M ^→ IRM

= ^, mtn

f

⁽^x ^,^2- ^(A) ^mesurable ^.

Dz

^: ^2- ⁼

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^. ^-

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^. ^. _Ai

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^, ^dit ^RM

. ^.^. ^- ,Au

partitionnera

de M ^.

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^,^a)

^AA

^.^. ^est ^meruath^.

¥

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,

3- Zu

étageâmes

^.

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⁽xD rues^.

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⁼

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(10)

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^}

Z ts Flzl ^-

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^: ^RCIR^" ^ouvert

"

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⁽^x ^. ^. ⁾ ^cortex

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,

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^'

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^

atbuidéfaécê

(11)

On va monter

que F ^est _convexe et

fortement

^soi ^sur ^LP ^.

* 7,7 ^' ^EL^" ^, ^Otto^, ^D

ff

⁽ ^x ^, tzlxltltttz ^'

(a)

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^, ^e- ⁽^x⁾ ⁺ ^Il^-

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⁾

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*

F

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^a)

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^- ^acxt ^- ^t

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^- ^a ^- ^b.

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^xp⁾ ^- ^a- ^b. ^z

^]

⁴⁾

(12)

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^- ^a ^- ^b. ^Znu

^]

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^-

^{

^a ^-

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^-

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⁾ ^-

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^E

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⁾

(13)

Corollaire^: ^SLCIRN ^ouvert

-

fin

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Caeatleeedry

fluo

⁾ ^couvée ^pp ^Ax

flair

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^MERD

^"

ou

'

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be ^LP ^'(nord ^le _pca⁾

F^: ^W ^" PCR_; IRD ⁾ ^- _z IR

,

le ↳ Fuel ⁼

ff4

^,^Ruldx

est

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^: RCIRN ouvert

boxé

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Caeathéadry ^tq

-

flx

^, ^e) ^cortex

-

- DUNE

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-

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,

b)

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Alors

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{ ^flakes dxtfqcx.mg

(14)

"

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^- ^× ^ca ^a^. ^C- ^l ^'

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#

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^fait

^bluél ^star

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Soit (un) ^C uotw^"! KM ^suite ^moi^.

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⁾^→

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, r ouvert

, boue^'

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ooh

^, ^E

^Callum

^-

Paella

^, ^EC

=) (un^- udu.ca ^bouée ^ds ^W^' ⁽^le ^pca⁾

réflexif

(15)

Quitte ^à ^extraire ^une ^cour^. ^rentre

Un ^- ^no ^- ^le

faiblement

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Ù : = a-+ ^ne C- not W^'! ↳^IRD⁾

un ⁼ ^4. then^- ^Ue⁾ ^-1 ^ke ^tu ⁼^: ^à

faille

ds ^Whp

Donc ^d ^E ^Jlù⁾ ^car ^à ^E ^not ^W^'^! ^.

② Semi^. continuité

vif

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✓ '

un^- û

faille

^ds ^W^'^"

Pour

appliquer

^le ^corollaire ^, ^il

faut ^vaîfa

^.

que

fut

^meurtrie ^par ^un

fautai affeé

flxieh.dk

^M

^CMD

> tkt ^_ ^c ^ai c) ⁰

> la ^.} ^- ^c ôù â ÊIRN ^, ^lat^'

D'_apoi ^le corollaire

beef ^flatteur

^,

^ff4

^, ^là⁾ ^a)

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, au^- ^ce^. ^- ^u

faille

^ds ^W^"^!

Belle^.de ^=L ûn ^-â. ^→ â

fortement

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=, un ^→ ^a.^tu ⁼ ^: ^à

fort

^ds ^Lt

(16)

Réciproque

^de ^la ^cu ^donnée ^,

^quitte

^à ^extêanè

vues tour. rentre

un ^→ ^à pp

( _Unl Ç h C- Lt

glxiuul-sglx.nl

^pp ⁽ ^car ^g ^Caeathèe^-

ce I of ⁽^Xcun⁾ ^fait ^bluulp

- "

J^' L'CN ^?

ça_, +bhl ^C- ^L'EN

convergence

^dominée ^:

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^, ^û ⁾ ^K⁾

(e)_, (21 ₌₎

× ⁼

lecture

⁾ ^>^Jlû ⁾ ^> ^x

Donc Jlâtx ^. ^D

Rg

^:

_Ksipmq

, ^on

peut changer

^le

type

de ^cuuiauce ^un

f etg

pour

faire

^'

fonctionner

l'

argument ⁽

^car ^les ^suites ^bornées ^ds ^W

'_'

admettent ^du ^tour ^- suite _qui

convergent ^fable

^#

*

S

^: ^W^'^' ^' ^IRD)

L' ll

;R9

La rente louée ^ds ^l^' admettent ^de ^roue^-

faites

qui ^ne converge ⁽

futile

^# ^que ^var ^des ^axones^.

Pour

placer

^W^"^' ^par ^Bv ⁽ ^variation ^bouée ⁾

(17)

↳ Lux) ^- ^O ^L

' (IR)

cours manuscrit

Calcul des Variations

LI

La

IIE

Si

tg

Méthode

coulé

tape

adéquat

vilaine

lut

solution

① Sa'Üï

Dcf

inférieurement

(

patate

URÉE

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Êtes

#u

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fermé

En Irie

JkHNt#

Supposons

#

réparation

+9¥

Avec

Calcul ^des Variations

^La

^tape

Ë! ^finie ^← ^m ^,

^hilarant ⁾ faiblement

^fsa

^ZK

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^fsa

DE ^fait

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^ppxfr