E117 - Quitte ou double [*** à la main]
Solution :
La réponse est : 3013.
Examinons les premiers termes :
rang n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
présents 1 3 4 5 7 9 11 12 13 15 absents 2 6 8 10 14 18 22 24 26 30
Les nombres absents sont tous pairs (car doubles des présents), donc tous les impairs sont présents.
Notons I un nombre impair quelconque.
Ainsi tous les nombres de la forme 2I sont absents,
donc tous les nombres de la forme 4I sont présents (car si 4I était absent ce serait le double du présent 2I ce qui est en contradiction avec l'affirmation précédente),
Donc tous les nombres de la forme 8I sont absents,
donc tous les nombres de la forme 16I sont présents (on raisonne comme pour 4I), et ainsi de suite.
Finalement la clé du problème réside dans la remarque suivante :
Les présents sont les entiers n de la forme 4i ( 2 j + 1 ) i, j étant des entiers naturels quelconques.
Cherchons donc le nombre de présents jusqu'à disons 3000.
Puisque le nombre d'impairs compris entre 1 et I est 2
1
I , les présents de 1 à 3000 sont :
- les impairs de 1 à 2999 il y en a 1500,
- les 4I de 4 1 à 4 749 = 2996 il y en a 375,
- les 16I de 16 1 à 16 187 = 2992 il y en a 94,
- les 64I de 64 1 à 64 45 = 2880 il y en a 23,
- les 256I de 256 1 à 256 11 = 2816 il y en a 6,
- les 1024I le seul est 1024 1 = 1024 il y en a 1,
soit au total 1999 présents jusqu'à 3000.
Pour obtenir les 10 présents supplémentaires, il suffit de faire un simple décompte avec les entiers 3001, 3003, 3004 (multiple de 4), 3005, 3007, 3008 (multiple de 16), 3009, 3011, 3012 (multiple de 4) et 3013.
Donc le 2009ème nombre présent est 3013.
La "formule" donnant le nombre (n) de présents inférieurs ou égaux à n est :
(n) =
m
i 0
1 2 4
1 i
n où m =
) 4 ln(
) ln(n
, le crochet inférieur désignant la partie entière.
