C'est un entraînement pour savoir rédiger sans perdre de temps.

(1)

Correction de l'exercice 1 : Le premier exercice de la fiche est vraiment classique. C'est le même type que l'exemple du cours.

C'est un entraînement pour savoir rédiger sans perdre de temps.

Sur le schéma ci-contre, les droites (AR) et (BP) sont sécantes en O et (AB) // (PR). Calcule OR et PR.

Rappelons : il faut annoncer déjà quelles droites sont parallèles et quelles droites sont sécantes en quoi. Ce qui peut donner ceci

Je sais que (AB) et (PR) sont parallèles et (AR) et BP) sont sécantes en O.

Ensuite, on annonce que l'on utilise le théorème de Thalès, et on écrit les rapports avec les lettres. Pour cela, on commence du point où les droites sont sécantes (ici, c'est O), et on trouve les longueurs qui se correspondent, en général la grande longueur sur la petite. (c'est le coefficient d'agrandissement)

D'après le théorème de Thalès, On remplace ensuite par les valeurs :

On utilise la proportionnalité, par exemple le produit en croix, pour calculer les longueurs désirées : et

Correction de l'exercice 2 : Ce deuxième exercice de la fiche est classique aussi. Il mélange Pythagore et Thalès.

Dans la figure ci contre, AH=4cm, HK=3cm et BC=7cm.

1) Déterminer la longueur AB et en déduire HB

On reconnaît une figure dans laquelle utiliser Thalès.

Je sais que (AB) et (PR) sont parallèles car toutes les deux perpendiculaires à AB. Par ailleurs, (AR) et BP) sont sécantes en O.

D'après le théorème de Thalès,

et donc

On utilise la proportionnalité, cm et donc cm

2) Déterminer la longueur AC

On peut utiliser Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B. Le souci, c'est que la longueur AB est une fraction ou alors un arrondi. (mais c'est faisable)

On peut aussi utiliser Pythagore dans le triangle AHK rectangle en H.

donc

Donc cm

On peut ensuite remplacer dans les rapports de Thalès précédent et on obtient et donc

Correction de l'exercice 3 de la fiche d'entraînement

La figure commencée ci-dessous est à construire et à compléter au fur et à mesure des questions.

On donne AC = 4,2 cm ; AB = 5,6 cm et BC = 7 cm.

K est le point du segment [BC] tel que CK = 3 cm. La parallèle à la droite (AK) passant par B coupe la droite (AC) en D.

a. Démontre que le triangle ABC est rectangle.

D'une part :BC²=7²=49

D'autre part : AC²AB²=4,2²5,6²=17,6431,36=49

D'où :BC²=AC²AB² et donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

A B

D

K C

P

O A

B

R 2,4 cm 4,5 cm 6 cm

5 cm

(2)

b. Calcule CD.

Comme les droites (AD) et (KB) sont sécantes en C, et que les droites (AK) et (DB) sont parallèles, on a, d'après le théorème de Thalès :

CB CK =CD

CA=BD

KA et donc ⁷ 3=CD

4,2 D'où : CD=4,2×7÷3=9,8 cm.

c. Calcule AD ; déduis-en que le triangle ADB est un triangle rectangle isocèle.

Comme A∈[CD], AD = CD − CA = 9,8 − 4,2 = 5,6 cm.

D'où : AB=AD et donc le triangle ABD est isocèle et rectangle en A (_BADest un angle droit).

d. Détermine la mesure de l'angle^DBA.

Comme le triangle ABD est un triangle rectangle isocèle en A, les angles à la base sont égaux et valent la moitié de 90°.

(car la sommes des trois angles est 180° et il y a déjà un angle droit) D'où :^DBA=45°.

e. Démontre que l'angle^KABest égal à 45°.

Comme les angles ^_KABet ^DBAsont alternes internes et que les droites (AK) et (BD) sont parallèles, alors l'angle ^_KAB=_ABD=45°

Que peux-tu en déduire pour la droite (AK) ?

La droite (AK) est donc la bissectrice de l'angle ^CAB. C'est aussi la hauteur du triangle ACB issue de A.

f. La perpendiculaire à (AB) passant par K coupe (AB) en E et la perpendiculaire à (AC) passant par K coupe (AC) en F.

Démontre que le quadrilatère AEKF est un rectangle.

AEKF possède trois angles droits c'est donc un rectangle.

g. Calcule KE et KF.

Les droites (AE) et (CK) sont sécantes en B, et les droites (EK) et (AC) sont parallèles (car toutes deux perpendiculaires à (AE)). Donc d'après le théorème de Thalès, on a :

BA BE=BC

BK=AC

EK donc ⁷ 4=4,2

EK Par suite, EK=4,2×4÷7=2,4 cm.

Les droites (AF) et (KB) sont sécantes en C, et les droites (FK) et (AB) sont parallèles (car toutes deux perpendiculaires à (AF)). Donc d'après le théorème de Thalès, on a :

CA CF=CB

CK=AB

FK donc ⁷ 3=5,6

FK Par suite, FK=5,6×3÷7=2,4 cm.

Quelle précision peux-tu alors apporter quant à la nature du quadrilatère AEKF ?

On en déduit que : EF = FK et donc que AEKF est un carré.

Remarque : On pouvait noter que le triangle AEK est un triangle rectangle en E, dont l'angle en A mesure 45°. L'angle en K mesure alors 180-(90+45)=45°. Le triangle est donc isocèle rectangle.

Il en va de même pour AKF.

Ainsi, sans calculer les longueurs, on pouvait montrer que AEKF est un carré.

Correction de l'exercice 4 : Cet exercice était clairement plus difficile.

Je vous en ai fait une correction en vidéo, disponible ici : Correction exo 4

C

A B

K D

E

F

@options;

repereortho(308,273,30,1,1){ 0 , moyen , noir , num1 ,i};

@figure;

A = point( 0 , 0 ) { (-0.77,- 0.23) };

C = point( 0 , -4.2 ) { (- 0.7,0.03) };

sCA = segment( C , A );

perpAsCA = perpendiculaire( A , sCA ) { sansnom , i };

B = pointsur( perpAsCA , -5.6 ) { (0.27,-0.7) };

sAB = segment( A , B );

sCB = segment( C , B );

cerayC3 = cerclerayon( C , 3 ) { i }; K1 = intersection( cerayC3 , sCB , 1 );

sK1A = segment( K1 , A );

paraBsK1A = parallele( B , sK1A ) { i };

dCA = droite( C , A ) { i };

D = intersection( paraBsK1A , dCA ) { (-0.63,-0.77) };

perpK1perpAsCA = perpendiculaire( K1 , perpAsCA ) { i };

perpK1sCA = perpendiculaire( K1 , sCA ) { i };

E = intersection( perpAsCA , perpK1perpAsCA ) { (-0.03,- 0.9) };

F = intersection( perpK1sCA , sCA ) { (-0.7,-0.1) };

sDA = segment( D , A );

sK1F = segment( K1 , F );

sEK1 = segment( E , K1 );

sDB = segment( D , B );