Problème proposé par Louis Rogliano
Dans une urne il y a N boules noires (N > 0) et B boules blanches (B >
0).
On utilise l'algorithme suivant jusqu'à ce que l'urne soit vide:
1) S'il reste des boules dans l'urne, on en prend une au hasard, on la jette et on continue en 2)
2) S'il reste des boules dans l'urne, on en prend une au hasard et on note sa couleur :
a) Si cette couleur est la même que celle de la dernière boule prise dans l'urne, on la jette et on continue en 2)
b) Sinon, on remet la boule dans l'urne et on continue en 1)
Question : Quelle est la probabilité pour que la dernière boule tirée soit blanche ?
Solution
La probabilité que la dernière boule tirée soit blanche est égale à ½ quel que soit le nombre de boules blanches et noires. On le prouve en deux temps en remarquant que dans cette expérience aléatoire à rebondissement, il n’y a que deux situations terminales possibles : la dernière boule tirée est soit blanche, soit noire.
Première étape
Supposons N=B=1, alors
Supposons que B=2 et N=1. Les tirages favorables sont NBB, ou bien BNNB, donc
On peut symétriser N et B et on obtient le même résultat.
En effet, supposons que N = 2 et B = 1, on a les tirages favorables suivants : NNB ou NBNB et
Supposons maintenant que N = B = 2, on a les trois débuts de tirages favorables suivants : soit NN, soit NB ou BN qui se ramènent tous deux aux cas précédents : B=2 et N=1, ou B=1 et N=2.
Donc
Seconde étape
Supposons maintenant que pour tous les rangs inférieurs ou égaux à B = p et N = q-1 ou B = p-1 et N = q, on ait bien la même probabilité égale à ½. C’est au moins vrai pour p = q = 2.
Examinons alors B =p et N = q.
Le premier début favorable est BN... puis on se ramène au cas B = p-1 et N = q Le second début favorable est NB ... puis on se ramène au cas B = p et N = q-1 Le troisième début favorable est BBN ... puis on se ramène au cas B = p-2 et N = q
Le quatrième début favorable est NNB ... puis on se ramène au cas B = p et N = q-2 Ainsi de suite ...
Sans oublier le dernier cas favorable : NNNN...N, i.e. celui où on a obtenu les q boules noires successivement.
Le calcul de la probabilité de sous cette hypothèse est, avec n = p+q :
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"$ !
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&
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& ( ( ( En réarrangeant les termes, on voit que le calcul de la probabilité de l‘événement complémentaire : « la dernière boule tirée est noire », a la même expression et donc la même valeur.
D’où l’on déduit que les deux probabilités, dont la somme doit être égale à l’unité, sont égales à ½.
Remarque : on peut aussi symétriser le nombre de boules blanches et noires et l’on obtient le même résultat.
