Probabilités
Exercice 1 : Dans une entreprise, il y a 800 employés.
300 sont des hommes, 352 sont membres d’un syndicat, 424 sont mariés, 188 sont des hommes syndiqués, 166 sont des hommes mariés, 208 sont syndiqués et mariés, 144 sont des hommes mariés syndiqués.
Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées ?
Exercice 2 :
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20% chez le fournisseur B.
10% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :
— évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
— évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
— évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1) Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2) a) Quelle est la probabilité de l’évènement ∩ ̅ ?
b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0,88.
3) On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Exercice 3 :
Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?
Exercice 4 : Dans un jeu de 32 cartes, on en tire 4 au hasard.
Déterminer les probabilités des événements suivants : 1) L’une au moins des cartes est un as
2) Les 4 cartes sont de la même couleur 3) Les 4 cartes sont de la même hauteur 4) Les 4 cartes ont des hauteurs distinctes
Exercice 5 :
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
A et B sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : A = 0,4, B = 0,7 et B = 0,1.
Proposition : La probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à
.
Exercice 6 : Une urne contient 8 boules noires et 12 boules blanches.
On tire une boule au hasard dans cette urne et on regarde si elle est noire.
On note N l'évènement « la boule est noire ».
Soit la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'événement N est réalisé, 0 sinon.
1. Distribution de probabilité :
a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire ? b) Donner le tableau de distribution de .
c) Calculer son espérance et sa variance.
2. On procède maintenant à 10 tirages successifs avec remise.
On note X le nombre de fois où l'on a obtenu une boule noire.
a) Quelle est l'image de X ?
b) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?
c) Quelle est la probabilité d'obtenir 5 boules noires au cours des 10 tirages ? d) Calculer son espérance et sa variance.
Exercice 7 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de trois questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des quatre propositions est exacte.
1. Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d’atteindre la cible est de 0,3. On effectue tirs supposés indépendants. On désigne par la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois sur ces tirs.
La valeur minimale de pour que soit supérieure ou égale à 0,9 est :
a. 6 b. 7 c. 10 d. 12
ln 0,1
ln 0,7≈ 6,46
2. Un joueur dispose d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s’il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6; il perd s’il obtient 1.
Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants. La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d’une partie est :
a. "#$%& b. "#$%' c. "#% d. (#
3. Soient ) et deux évènements indépendants d’un même univers Ω tels que ) = 0,3 et ) ∪ = 0,65. La probabilité de l’évènement est :
a. 0,5 b. 0,35 c. 0,46 d. 0,7
Exercice 8 : Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services.
Pour tout entier naturel non nul, on note - l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » et - l’évènement contraire.
Soit . la probabilité de - et / celle de -.
La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :
- si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8;
- si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7.
1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
(a) Déterminer la loi de probabilité de X. (On pourra utiliser un arbre de probabilité) (b) Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
2. On s’intéresse maintenant au cas général.
(a) Donner les probabilités conditionnelles 012-3 et 012-3.
(b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul , on a : .3 = 0,1.+ 0,7.
3. Soit la suite 5 définie pour tout entier naturel non nul par 5 = 9.− 7.
(a) Montrer que la suite 5 est géométrique et exprimer 5 puis . en fonction de , pour tout entier naturel non nul.
(b) En déduire la limite de la suite ..
Exercice 9 :
Une urne contient n boules (n > 2): 2 blanches et les autres noires. On tire les boules une à une sans remise et on désigne par la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tirée (c’est à dire au numéro du tirage pour lequel on obtient, pour la première fois une boule blanche).
1) Quelles sont les valeurs prises par ? 2) Calculer { = 1} et { = 2}.
3) Calculer { = ;} pour toute valeur ; prise par .
Exercice 10 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On considère une urne contenant :
• une boule numérotée 1
• deux boules numérotées 2
• ………..
• n boules numérotées n.
1) Déterminer le nombre total de boules dans l’urne.
Épreuve I
On tire une boule de l’urne et on note X la variable aléatoire représentant le numéro de la boule obtenue.
2) Déterminer la loi de X et vérifier en particulier que : = =3"
3) Calculer l’espérance de X en fonction de n. Épreuve II
On tire maintenant 10 fois une boule avec remise dans cette urne, et on note Y la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l’on a obtenu une boule numérotée n.
4) Reconnaître la loi de Y.
5) Donner la valeur de l’espérance et de la variance de Y.
Épreuve III
On tire maintenant une infinité de fois une boule avec remise et on note Z la variable aléatoire représentant le numéro du tirage où pour la première fois on obtient une boule numérotée n.
6) Reconnaître la loi de Z.
7) Donner la valeur de l’espérance et de la variance de Z.
