10 Exercices d’applications directes du cours 10.1 Onde progressive
On considère l’onde 𝑠(𝑥, 𝑡 = 0) représentée ci-contre se propageant à la célérité 𝑐 = 2𝑚. 𝑠−1 dans le sens des 𝑥 croissants.
1) Représenter la forme de l’onde à l’instant 𝑡 = 1𝑠.
2) Un récepteur est placé à l’abscisse 𝑥0= 8𝑚. Tracer l’évolution temporelle du signal reçu par ce récepteur.
1) Onde progressive de longueur d’onde λ = 4m.
En t = 0 : 𝑠(𝑥, 0) = 𝑓1(𝑥)
En t quelconque : 𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑓1(𝑥 − 𝑐𝑡) En t = 1s : 𝑠(𝑥, 1) = 𝑓1(𝑥 − 2)
début du signal en x = 6 m
2) 𝑠(𝑥0, 𝑡) = 𝑓1(𝑥0− 𝑐𝑡) = 𝑓1(8 − 2𝑡)
signal inversé (négatif de 0 à 1 s, positif de 1 à 2 s)
10.2 Onde plane progressive monochromatique et notation complexe
On considère une onde électromagnétique polarisée selon 𝑂𝑦. Le champ électrique possède donc une seule composante selon 𝑢⃗⃗⃗⃗ . On utilise la notation complexe. On peut donc écrire le champ électrique sous la forme : 𝑦 𝐸⃗ = 𝐸⃗⃗⃗⃗ 𝑒0 𝑗(𝜔𝑡−𝑘⃗ ⋅𝑟 ) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐸0 0𝑦𝑒𝑗𝜑0𝑦𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑦 0𝑢⃗⃗⃗⃗ où 𝐸𝑦 0 représente l’amplitude complexe du champ électrique.
1) Il est possible de simplifier l’écriture des équations de Maxwell en utilisant la notation complexe. Montrer que :
[
(𝑀𝐺) 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 0 (𝑀𝐴) 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝜀0𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡 (𝑀𝑇) 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0 (𝑀𝐹) 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = −𝜕𝐵⃗
𝜕𝑡 ]
⇒ [
(𝑀𝐺) 𝑘⃗ ⋅ 𝐸⃗ = 0 (𝑀𝐴) 𝑘⃗ ∧ 𝐵⃗ = −𝜔
𝑐2𝐸⃗
(𝑀𝑇) 𝑘⃗ ⋅ 𝐵⃗ = 0 (𝑀𝐹) 𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗ = 𝜔𝐵⃗ ]
2) Retrouver à partir de ces équations que le champ électromagnétique est transverse et forme un trièdre direct avec la direction de propagation.
3) L’équation de propagation peut aussi se simplifier en utilisant la notation complexe. En déduire la relation de dispersion : 𝑘 =𝜔
𝑐.
4) Donner l’expression de 𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝐵0 0,𝑥𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑥 0,𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧 où 𝐵0,𝑥 et 𝐵0,𝑧 représentent respectivement les amplitudes complexes du champ magnétique selon 𝑂𝑥 et 𝑂𝑧.
1) Equations de Maxwell
On peut aussi simplifier les équations de Maxwell en utilisant les propriétés suivantes :
𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡 = 𝑗𝜔𝐸⃗ 𝜕2𝐸⃗
𝜕𝑡2= −𝜔2𝐸⃗ 𝜕𝐸⃗
𝜕𝑥= −𝑗𝑘𝑥𝐸⃗ 𝜕2𝐸⃗
𝜕𝑥2= −𝑘𝑥2𝐸⃗
Ce qui donne pour les opérateurs différentiels sans faire aucune hypothèse sur le champ électrique :
𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ =𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑥 +𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑦 +𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑧 = −𝑗𝑘𝑥𝐸𝑥− 𝑗𝑘𝑦𝐸𝑦− 𝑗𝑘𝑧𝐸𝑦= −𝑗𝑘⃗ ⋅ 𝐸⃗
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = (
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑦 −𝜕𝐸𝜕𝑧𝑦
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑧 −𝜕𝐸𝜕𝑥𝑧
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥 −𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑦)
= (
−𝑗𝑘𝑦𝐸𝑧+ 𝑗𝑘𝑧𝐸𝑦
−𝑗𝑘𝑧𝐸𝑥+ 𝑗𝑘𝑥𝐸𝑧
−𝑗𝑘𝑥𝐸𝑦+ 𝑗𝑘𝑦𝐸𝑥
) = −𝑗 ( 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑧
) ∧ ( 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧
) = −𝑗𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗
Alors les équations de Maxwell se simplifient en :
[
(𝑀𝐺) 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 0 (𝑀𝐴) 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝜀0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 (𝑀𝑇) 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0 (𝑀𝐹) 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = −𝜕𝐵⃗
𝜕𝑡 ]
⇒ [
(𝑀𝐺) − 𝑗𝑘⃗ ⋅ 𝐸⃗ = 0
(𝑀𝐴) − 𝑗𝑘⃗ ∧ 𝐵⃗ = 𝑗𝜔𝜇0𝜀0𝐸⃗
(𝑀𝑇) − 𝑗𝑘⃗ ⋅ 𝐵⃗ = 0
(𝑀𝐹) − 𝑗𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗ = −𝑗𝜔𝐵⃗ ]
⇒ [(𝑀𝐺) 𝑘⃗ ⋅ 𝐸⃗ = 0 (𝑀𝐴) 𝑘⃗ ∧ 𝐵⃗ = −𝜔
𝑐2𝐸⃗
(𝑀𝑇) 𝑘⃗ ⋅ 𝐵⃗ = 0 (𝑀𝐹) 𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗ = 𝜔𝐵⃗ ] 2) Structure d’une OPPM
La structure d’une OPPM s’en déduit immédiatement : 𝑘⃗ ⋅ 𝐸⃗ = 0 ⇒ 𝑘⃗ 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 à 𝐸⃗
𝑘⃗ ⋅ 𝐵⃗ = 0 ⇒ 𝑘⃗ 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 à 𝐵⃗ 𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗ = 𝜔𝐵⃗ ⇒ 𝐵⃗ = 𝑘⃗
𝜔∧ 𝐸⃗
3) Equation de propagation et relation de dispersion
𝛥 𝐸⃗ = (
𝜕2𝐸𝑥
𝜕𝑥2 +𝜕
2𝐸𝑥
𝜕𝑦2 +𝜕
2𝐸𝑥
𝜕𝑧2
𝜕2𝐸𝑦
𝜕𝑥2 +𝜕
2𝐸𝑦
𝜕𝑦2 +𝜕
2𝐸𝑦
𝜕𝑧2
𝜕2𝐸𝑧
𝜕𝑥2 +𝜕
2𝐸𝑧
𝜕𝑦2 +𝜕
2𝐸𝑧
𝜕𝑧2)
= (
−𝑘𝑥2𝐸𝑥− 𝑘𝑦2𝐸𝑥− 𝑘𝑧2𝐸𝑥
−𝑘𝑥2𝐸𝑦− 𝑘𝑦2𝐸𝑦− 𝑘𝑧2𝐸𝑦
−𝑘𝑥2𝐸𝑧− 𝑘𝑦2𝐸𝑧− 𝑘𝑧2𝐸𝑧)
= −(𝑘𝑥2+ 𝑘𝑦2+ 𝑘𝑧2) ( 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧
) = −𝑘2𝐸⃗
L’équation de propagation se met sous la forme : 𝑘⃗ ∧ (𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗ ) = 𝑘⃗ ∧ (𝜔𝐵⃗ ) ⇒ (𝑘⃗ ⋅ 𝐸⃗ )⏟
=0
𝑘⃗ − (𝑘⃗ ⋅ 𝑘⃗ )𝐸⃗ = 𝜔(𝑘⃗ ∧ 𝐵⃗ )
−𝑘2𝐸⃗ = 𝜔 (−𝜔
𝑐2𝐸⃗ ) ⇒ (𝑘2−𝜔2
𝑐2) 𝐸⃗ = 0⃗ ⇔ 𝛥 𝐸⃗ − 1 𝑐2
𝜕2𝐸⃗
𝜕𝑡2 = 0⃗ 4) Champ magnétique
Pour un champ électrique polarisé rectilignement suivant Oy, cela donne :
𝐸⃗ = 𝐸⃗⃗⃗⃗ 𝑒0 𝑗(𝜔𝑡−𝑘⃗ ⋅𝑟 ) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐸0 0𝑦𝑒𝑗𝜑0𝑦𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝑒𝑡 𝐵⃗ = 𝐵⃗⃗⃗⃗ 𝑒0 𝑗(𝜔𝑡−𝑘⃗ ⋅𝑟 ) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐵⃗⃗⃗⃗ = (0
−𝑘𝑧𝜔𝐸0𝑦𝑒𝑗𝜑0𝑦 0
𝑘𝑥𝐸0𝑦 𝜔 𝑒𝑗𝜑0𝑦
)
10.3 Champ électromagnétique
On considère le champ électrique, régnant dans une partie de l’espace vide de charge et de courant : 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝑥 0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 = √𝜀0𝜇0𝜔
1) Vérifier la compatibilité de cette expression avec l’équation de propagation.
2) Que peut-on dire de sa polarisation ? de sa direction de propagation ? 3) Déterminer le champ magnétique associé.
4) Déterminer le vecteur de Poynting de ce champ électromagnétique.
1) Compatibilité avec l’équation de propagation
𝛥 𝐸⃗ − 𝜇0𝜀0𝜕𝜕𝑡2𝐸⃗ 2 = (
𝜕2𝐸𝑥
𝜕𝑧2 − 𝜇0𝜀0𝜕2𝐸𝑥
𝜕𝑡2
𝜕2𝐸𝑦
𝜕𝑧2 − 𝜇0𝜀0𝜕2𝐸𝑦
𝜕𝑡2
0 )
= (−𝑘2𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) + 𝜇0𝜀0𝜔2𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧)
−𝑘2𝐸0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) + 𝜇0𝜀0𝜔2𝐸0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 0
) = 0⃗ 2) Polarisation
Polarisation circulaire 3) Champ magnétique
𝐵⃗ = 1
𝜔𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗ =1 𝑐(
0 0
−1 ) ∧ (
𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 𝐸0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 0
) =1 𝑐(
𝐸0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧)
−𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 0
)
=𝐸0
𝑐 (𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ − 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 𝑢𝑥 ⃗⃗⃗⃗ ) 𝑦 4) Vecteur de Poynting
𝛱⃗⃗ =𝐸⃗ ∧ 𝐵⃗ 𝜇0 = 1
𝜇0𝑐(
𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 𝐸0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 0
) ∧ (
𝐸0
𝑐 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧)
−𝐸0
𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧)
0 )
= 𝑐𝜀0𝐸02(−𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥) −𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥))𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧
𝛱⃗⃗ = −𝑐𝜀0𝐸02𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧
10.4 Réflexion d’une onde électromagnétique sur un conducteur parfait
4) On pose l’expression suivante du champ électrique réfléchi complexe : 𝐸𝑟
⃗⃗⃗⃗ = 𝐸0𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥
Expliquer la forme du champ électrique réfléchi fournie. A l’aide de la relation de passage pour le champ électrique en 𝑧 = 0, donner l’expression de l’amplitude du champ électrique réfléchi 𝐸0𝑟 en fonction de l’amplitude du champ électrique incident 𝐸0𝑖. On suppose que la réflexion ne change pas la polarisation de l’onde.
5) Donner l’expression du champ magnétique réfléchi complexe 𝐵⃗⃗⃗⃗ 𝑟.
6) Donner l’expression du champ électrique complexe total dans le vide 𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑖𝑑𝑒 résultant de la superposition des ondes incidentes et réfléchies. En déduire l’expression du champ électrique réel 𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑖𝑑𝑒.
7) Faire de même pour le champ magnétique.
1) Le champ électrique incident peut s’écrire : 𝐸𝑖
⃗⃗⃗ = 𝐸0𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 =𝑥 𝜔 𝑐 2) 𝐸⃗⃗⃗ = 𝐸𝑖 0𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥
3) 𝐵⃗⃗⃗ =𝑖 1
𝜔𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗⃗⃗ =𝑖 1
𝜔 𝜔
𝑐𝑢⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐸𝑧 0𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ =𝑥 𝐸0𝑖
𝑐 𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦
4) Relation de passage projetée selon selon 𝑂𝑦 : 𝐸⃗⃗⃗⃗ (𝑥 = 0) = −𝐸𝑟 ⃗⃗⃗ (𝑥 = 0) 𝑖 Le champ électrique est donc entièrement réfléchi avec un déphasage de 𝜋:
𝐸0𝑟𝑒𝑗(𝜔𝑡)⃗⃗⃗⃗ = −𝐸𝑢𝑥 0𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑡)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥 ⇒ 𝐸0𝑟 = −𝐸0𝑖 ⇒ 𝐸⃗⃗⃗⃗ = −𝐸𝑟 0𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥 5) Alors, on a pour le champ magnétique : ⃗⃗⃗⃗ = −𝐵𝑟 𝐸0𝑟
𝑐 𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ =𝑦 𝐸0𝑖
𝑐 𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 6) La superposition des deux ondes incidentes et réfléchies donne :
𝐸𝑣𝑖𝑑𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸⃗⃗⃗ + 𝐸𝑖 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑟 0𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ − 𝐸𝑥 0𝑖𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑥 0𝑖𝑒𝑗𝜔𝑡(𝑒−𝑗𝑘𝑧− 𝑒𝑗𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ = −2𝑗𝐸𝑥 0𝑖𝑒𝑗𝜔𝑡𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥
Soit une onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée (OPPM) rectilignement selon 𝑂𝑥 se propageant dans le vide, dans une région sans charges ni courants, selon l’axe 𝑂𝑧 croissant dans le demi-espace 𝑧 < 0. En 𝑧 = 0, dans le plan 𝑂𝑥𝑦, se trouve un conducteur parfait. Pour simplifier l’étude, on suppose sa phase à l’origine nulle.
1) Proposer une expression du champ électrique incident 𝐸⃗⃗⃗ 𝑖 se propageant dans le demi-espace 𝑧 < 0.
2) Pour une OPPM, il est possible d’utiliser la notation complexe telle que : 𝐸⃗⃗⃗ = ℜ (𝐸𝑖 ⃗⃗⃗ ). Proposer une expression du champ électrique incident 𝑖 complexe 𝐸⃗⃗⃗ 𝑖.
3) Donner l’expression du champ magnétique incident complexe 𝐵⃗⃗⃗ 𝑖.
D’où en notation réelle : 𝐸⃗ = 2𝐸0𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥 7) Et pour le champ magnétique :
𝐵⃗ = 𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝑖 ⃗⃗⃗⃗ =𝑟 𝐸0𝑖
𝑐 𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ +𝑦 𝐸0𝑖
𝑐 𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ =𝑦 𝐸0𝑖
𝑐 𝑒𝑗𝜔𝑡(𝑒−𝑗𝑘𝑧+ 𝑒𝑗𝑘𝑧)𝑢⃗⃗⃗⃗ =𝑦 2𝐸0𝑖
𝑐 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 D’où en notation réelle : 𝐵⃗ =2𝐸0𝑖
𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦
11 Exercices type oral
11.1 Superposition des deux ondes planes progressives monochromatiques
On s’intéresse à la superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques de même amplitude 𝐸0, de même pulsation 𝜔 et se propageant respectivement selon les vecteurs 𝑢⃗⃗⃗⃗ et 𝑢1 ⃗⃗⃗⃗ . On pose pour 0 ≤ α ≤ π/2 : 2
𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑢1 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑢𝑥 ⃗⃗⃗⃗ 𝑧 𝑢⃗⃗⃗⃗ = − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑢2 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑢𝑥 ⃗⃗⃗⃗ 𝑧
1) Quelles sont les normes des deux vecteurs d’onde ‖𝑘⃗⃗⃗⃗ ‖ et ‖𝑘1 ⃗⃗⃗⃗ ‖2 ? En déduire l’expression de 𝑘⃗⃗⃗⃗ 1 et 𝑘⃗⃗⃗⃗ 2 en fonction de 𝑢⃗⃗⃗⃗ et 𝑢1 ⃗⃗⃗⃗ , respectivement. 2
2) Sachant que les deux champs électriques 𝐸⃗⃗⃗⃗ 1 (se propageant selon 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) et 𝐸1 ⃗⃗⃗⃗ 2 (se propageant selon 𝑢⃗⃗⃗⃗ ) sont 2 parallèles à 𝑢⃗⃗⃗⃗ et de déphasage nul à l’origine du repère, donner leur expression sous forme complexe. 𝑦
3) En déduire l’expression du champ électrique total. Décrire l’onde obtenue. Est-elle plane ? Est-elle progressive ? 4) Donner la forme du champ magnétique. Commentaires.
5) En déduire le vecteur de Poynting moyen. Pouvait-on deviner sa direction ? 1) Normes des vecteurs d’onde
‖𝑘⃗⃗⃗⃗ ‖ = ‖𝑘1 ⃗⃗⃗⃗ ‖ =2 𝜔
𝑐
2) Champs électriques 𝐸1
⃗⃗⃗⃗ = 𝐸0𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐((𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧)) 𝑢⃗⃗⃗⃗ = ℜ [𝐸𝑦 0𝑒𝑥𝑝 (𝑖 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐((𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧))) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ] 𝑦 𝐸2
⃗⃗⃗⃗ = 𝐸0𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(−(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧)) 𝑢⃗⃗⃗⃗ = ℜ [𝐸𝑦 0𝑒𝑥𝑝 (𝑖 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(−(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧))) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ] 𝑦 3) Champ électrique total
Théorème de superposition : 𝐸𝑡𝑜𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐸1 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐸2 0[𝑒𝑗(𝜔𝑡−
𝜔
𝑐 ((𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥+(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧))
𝑢𝑦
⃗⃗⃗⃗ + 𝑒𝑗(𝜔𝑡−
𝜔
𝑐(−(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥+(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧))
] 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐸𝑡𝑜𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸0𝑒𝑗𝜔𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧(𝑒−𝑗𝜔𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥+ 𝑒𝑗𝜔𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑦 0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝜔𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧)𝑐𝑜𝑠 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐸𝑡𝑜𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐸0𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑦 L’onde obtenue se propage selon +Oz et est stationnaire selon Ox, donc non plane.
4) Champ magnétique
𝐵1
⃗⃗⃗⃗ = 1
𝜔𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗⃗⃗⃗ =1 1
𝑐( 𝑠𝑖𝑛 𝛼 0 𝑐𝑜𝑠 𝛼
) ∧ ( 0 𝐸1 0
) =1
𝑐
(
−𝐸0𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐((𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧)) 0
𝐸0𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔𝑐((𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧)) )
𝐵2
⃗⃗⃗⃗ = 1
𝜔𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗⃗⃗⃗ =2 1 𝑐(
− 𝑠𝑖𝑛 𝛼 0 𝑐𝑜𝑠 𝛼
) ∧ ( 0 𝐸2 0
) =1 𝑐
(
−𝐸0𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(−(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧)) 0
−𝐸0𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(−(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧)) )
𝐵𝑡𝑜𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐵1 ⃗⃗⃗⃗ =2 1 𝑐
(
−2𝐸0𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 0
2𝐸0𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑠𝑖𝑛 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) )
L’onde obtenue se propage selon +Oz et est stationnaire selon Ox, donc non plane et non stationnaire.
5) Vecteur de Poynting
𝛱⃗⃗ =4𝐸02
𝜇0𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 𝑢⃗⃗⃗⃗ ∧𝑦 (
− 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 0
𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑠𝑖𝑛 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) ) 𝛱⃗⃗ =4𝐸02
𝜇0𝑐 (
𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 𝑠𝑖𝑛 (𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 0
𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 −𝜔
𝑐(𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑧) 𝑐𝑜𝑠2(𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥)
)
〈𝛱⃗⃗ 〉 =4𝐸02 𝜇0𝑐(
0 01
2𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠2(𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥)
) = 2𝜀0𝑐𝐸02𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠2(𝜔
𝑐(𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑥) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧 Il est donc dirigé selon le sens de propagation.
11.2 Cavité résonante
On s’intéresse à une cavité contenue entre deux plans parallèles infinis, taillée dans un conducteur parfait entre z = 0 et z = a. On s’intéresse à un champ électromagnétique, qui est la superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques polarisées rectilignement suivant Ox et de sens de propagation opposés ± uz, de normes respectives E1 et E2.
1) Donner l’expression du champ électrique complexe résultant de la superposition, puis la forme exacte du champ électrique dans la cavité en utilisant les conditions aux limites.
2) Montrer que seules certaines longueurs d’onde discrètes λn peuvent exister dans la cavité. Quelles sont les fréquences fn associées ?
3) Comment appeler ce phénomène ? Donner une analogie en électrocinétique. Que se passe-t-il si on essaie de créer un champ électromagnétique de fréquence différente de fn ?
4) Tracer sur un même graphe l’allure, à un instant donné, du champ électrique pour les trois plus basses fréquences. Combien de nœuds et de ventres possède le mode numéro n ?
5) En admettant que, dans le domaine de l’acoustique, un tube soit régi par les mêmes équations qu’une cavité résonante, identifier les tubes d’une flûte de Pan produisant les sons aigus et ceux produisant les sons graves. On supposera que le mode fondamental n = 1 est prédominant.
1) Champ électrique
Propagation selon +Oz : 𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐸1 1𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥 Propagation selon -Oz : 𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐸2 2𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧)) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥
Superposition : 𝐸⃗ = [𝐸1𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)) + 𝐸2𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧))]𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥 Conditions aux limites :
{𝐸(𝑧 = 0) = 0
𝐸(𝑧 = 𝑎) = 0 ⇒ {𝐸1𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡)) + 𝐸2𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡)) = 𝐸1+ 𝐸2= 0
𝐸1𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑎)) + 𝐸2𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 + 𝑘𝑎)) = 0 ⇒ 𝐸1𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑘𝑎) + 𝐸2𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑎) = 0
⇒ {𝐸1= −𝐸2
𝐸1𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑘𝑎) − 𝐸1𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑎) = 2𝑖𝐸1𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑎) = 0 ⇒ 𝑘𝑎 = 𝑛𝜋 𝑛 ∈ ℤ Champ final :
𝐸⃗ = 𝐸1(𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑛𝜋𝑎𝑧)− 𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝑛𝜋𝑎𝑧)) 𝑢⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑥 1𝑒𝑗𝜔𝑡(𝑒−𝑗𝑛𝜋𝑎𝑧− 𝑒𝑗𝑛𝜋𝑎𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ = −2𝑗𝐸𝑥 1𝑒𝑗𝜔𝑡𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋 𝑎 𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝐸⃗ = ℜ(𝐸⃗ ) = 2𝐸1𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋
𝑎 𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥 2) Longueurs d’onde
On a : 𝑘𝑛=𝑛𝜋𝑎 𝑛 ∈ ℤ 𝑒𝑡 𝜆𝑛=2𝜋𝑘
𝑛=2𝑎𝑛 𝑒𝑡 𝑓𝑛=𝜆𝑐
𝑛=𝑛𝑐2𝑎 3) Phénomène physique
On parlera de résonance et filtrage comme pour un RLC en électrocinétique qui sélectionne seulement certaines fréquences.
Si on essaie de créer un champ de fréquence différente, il sera au fur et à mesure des réflexions atténué et finira par s’annuler.
4) Nœuds et ventres
Pour n =1 : 𝐸⃗ = 2𝐸1𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛 (𝜋
𝑎𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ : 1 ventre et 2 nœuds (en z = 0 et a) 𝑥 Pour n = 2 : 𝐸⃗ = 2𝐸1𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛 (2𝜋𝑎 𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ : 2 ventres et 3 nœuds (en z = 0, a/2 et a) 𝑥 Pour n = 3 : 𝐸⃗ = 2𝐸1𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛 (3𝜋
𝑎 𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ : 3 ventres et 4 nœuds 𝑥 Pour n : n ventres et (n+1) nœuds
5) Domaine de l’acoustique
Les fréquences les plus élevées produisent les sons les plus aigus. Or, f est inversement proportionnelle à la taille de la cavité a, donc les tubes les plus longs produiront les sons les plus graves.
