Equations de Maxwell
2020/2021 TSI2, Lycée Jules Ferry 20
8 Exercices d’applications directes du cours 8.1 Calcul d’une densité de charge
Déterminer la densité volumique de charge 𝜌(𝑥) correspondant au champ électrique suivant : 𝐸⃗ = 𝐸0
𝑥
𝑎𝑢⃗ 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ; 𝐸⃗ = 𝐸0𝑢⃗ 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 > 𝑎 ; 𝐸⃗ = −𝐸0𝑢⃗ 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 < −𝑎 (MG) 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ =𝜀𝜌
0 ⇒ 𝑑𝐸(𝑥)𝑑𝑥 =𝜌(𝑥)𝜀
0 ⇒ 𝜌(𝑥) = {𝜀0𝐸0
𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 |𝑥| > 𝑎
8.2 Etude d’un champ électrique à distribution cylindrique
Soit le champ 𝐸⃗ à symétrie cylindrique, défini en coordonnées cylindriques par :
{
𝐸𝑟 = 𝐸0 𝑟 𝑟0
𝑠𝑖 𝑟 ≤ 𝑟0 𝐸𝑟 = 𝐸0𝑟0
𝑟 𝑠𝑖 𝑟 > 𝑟0 𝐸𝜃 = 0
𝐸𝑧 = 0
1) Déterminer les lignes de champ. Comment varie 𝐸⃗ le long d’une ligne de champ ?
2) Calculer 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ en tout point. Pour un champ radial en coordonnées cylindriques, quelle loi de dépendant avec r permet d’assurer une divergence nulle ?
En coordonnées cylindriques : 𝑑𝑖𝑣𝑎 =1
𝑟(𝜕𝑟𝑎𝑟
𝜕𝑟 ) +1
𝑟(𝜕𝑎𝜃
𝜕𝜃) + (𝜕𝑎𝑧
𝜕𝑧) 3) Exprimer, par deux méthodes différentes le flux 𝜙 = ∬ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
𝛴 , où 𝛴 est un cylindre d’axe 𝑂𝑧, de hauteur ℎ et de rayon 𝑟 < 𝑟0.
4) Si 𝐸⃗ est un champ électrostatique, à quelle distribution de charges le problème correspond-il ? 5) Que vaut le rotationnel de ce champ ?
En coordonnées cylindriques : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 = (1
𝑟
𝜕𝑎𝑧
𝜕𝜃 −𝜕𝑎𝜃
𝜕𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + (𝑟 𝜕𝑎𝑟
𝜕𝑧 −𝜕𝑎𝑧
𝜕𝑟) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + (𝜃 1
𝑟
𝜕𝑟𝑎𝜃
𝜕𝑟 −1
𝑟
𝜕𝑎𝑟
𝜕𝜃) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧 1) Lignes de champ
Demi-droites orthogonales à l’axe Oz. A l’intérieur du cylindre, le champ croit puis il décroit de façon hyperbolique.
2) Divergence 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ =1
𝑟(𝜕𝑟𝐸𝑟
𝜕𝑟 ) = {2𝐸0
𝑟0 𝑠𝑖 𝑟 < 𝑟0 0 𝑠𝑖 𝑟 > 𝑟0
Une loi en 1/r permet d’assurer une divergence nulle.
3) Flux
𝜙 = ∬ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
𝛴
= ∬ 𝐸𝑟(𝑟0)𝑢⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆𝑢𝑟 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟
𝛴
= 𝐸0𝑟0
𝑟0
2𝜋𝑟0ℎ = 2𝜋𝐸0𝑟0ℎ
𝜙 = ∬ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
𝛴 = ∯ 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
𝛴 = ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ 𝑑𝑉𝑉 = 2𝐸𝑟0
0𝜋𝑟02ℎ = 2𝜋𝐸0𝑟0ℎ 𝑠𝑖 𝑟 < 𝑟0 4) Distribution de charges
(MG) 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ =𝜀𝜌
0 ⇒ 𝜌 = 𝜀0𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 2𝜀0 𝐸0
𝑟0 distribution volumique uniforme 5) Rotationnel
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = (𝜕𝐸𝑟
𝜕𝑧) 𝑢⃗⃗⃗⃗ + (−𝜃 1
𝑟
𝜕𝐸𝑟
𝜕𝜃) 𝑢⃗⃗⃗⃗ = 0𝑧 ⃗ Logique en électrostatique
8.3 Champ magnétostatique tourbillonnaire
Soit le champ vectoriel 𝑊⃗⃗⃗ défini en coordonnées cylindriques par :
{ 𝑊𝑟 = 0 𝑊𝜃= 𝑊0 𝑟
𝑟0
𝑠𝑖 𝑟 ≤ 𝑟0 𝑊𝜃= 𝑊0𝑟0
𝑟 𝑠𝑖 𝑟 > 𝑟0 𝑊𝑧 = 0
Equations de Maxwell
2020/2021 TSI2, Lycée Jules Ferry 21
1) Justifier l’appellation de champ de tourbillon.
2) Exprimer la circulation de 𝑊⃗⃗⃗ sur le cercle de centre O d’axe Oz et de rayon 𝑟 < 𝑟0 parcouru dans le sens trigonométrique .
3) Calculer en tout point 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑊⃗⃗⃗ ), puis vérifier le résultat du 2) par application du théorème de Stokes.
4) Calculer la divergence du champ en tout point.
5) Si le champ étudié ici est un champ magnétostatique : quelle est la distribution de courant correspondante ? 1) Champ de tourbillon
Les lignes de champ sont des cercles d’où le nom.
2) Circulation
∮ 𝑊⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗⃗⃗
𝐶 = ∮ 𝑊𝐶 𝜃⋅ 𝑟𝑑𝜃= {2𝜋𝑊0𝑟2
𝑟0 𝑠𝑖 𝑟 ≤ 𝑟0
2𝜋𝑊0𝑟0 𝑠𝑖 𝑟 > 𝑟0
3) Rotationnel
𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑊⃗⃗⃗ = (1
𝑟
𝜕𝑟𝑊𝜃
𝜕𝑟 ) 𝑢⃗⃗⃗⃗ = {𝑧 2𝑊0
𝑟0 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑧 𝑠𝑖 𝑟 ≤ 𝑟0 0 𝑠𝑖 𝑟 > 𝑟0
∮ 𝑊⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗⃗⃗
𝐶 = ∬ 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑊⃗⃗⃗ ) ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗
𝑆 = 2𝜋𝑊0
𝑟2
𝑟0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑟 ≤ 𝑟0 car S intérieur à C 4) Divergence
𝑑𝑖𝑣𝑊⃗⃗⃗ =1
𝑟(𝜕𝑊𝜃
𝜕𝜃 ) = 0 5) Distribution de courant
(MA) 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 ⇒ 𝑗 = 2 𝑊0
𝜇0𝑟0𝑢⃗⃗⃗⃗ distribution volumique uniforme 𝑧
8.4 Champ électromagnétique
On considère une situation dans laquelle le champ électrique s'écrit : 𝐸⃗ (𝑥, 𝑡) = 𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥
En déduire l'expression du champ magnétique. Puis calculer séparément les densités de charge et de courant et vérifier la relation qui les lie.
A partir de (MF) : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ =𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑧 ⃗⃗⃗⃗ −𝑒𝑦 𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑦 𝑒⃗⃗⃗ = 0𝑧 ⃗ = −𝜕𝐵⃗
𝜕𝑡 ⇒ 𝐵⃗ = 𝑐𝑡𝑒⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
A partir de (MG) : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ =𝜕𝐸𝜕𝑥𝑥 = 𝑘𝐸0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) =𝜀𝜌
0 ⇒ 𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑘𝜀0𝐸0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) A partir de (MA) : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 0⃗ = 𝜇0𝑗 + 𝜇0𝜀0𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡 ⇒ 𝑗 = −𝜀0𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡 = −𝜀0𝜔𝐸0𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑥 Vérification : 𝑑𝑖𝑣𝑗 =𝜕𝑗𝑥
𝜕𝑥 = −𝜀0𝜔𝑘𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑒𝑡 𝜕𝜌
𝜕𝑡 = 𝜀0𝜔𝑘𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) ⇒ 𝑑𝑖𝑣𝑗 +𝜕𝜌
𝜕𝑡 = 0
8.5 Piège électrostatique
On considère une région de l’espace, vide de charges, dans laquelle règne un potentiel : 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑉0
𝑎2(𝑥2+ 𝑦2− 2𝑧2)
𝑉0 est une grandeur positive, 𝑎 désigne une longueur caractéristique du problème.
1) Vérifier l’équation de Poisson.
2) Sur l’axe 𝑂𝑥, quelle est la loi de variation du potentiel avec l’abscisse ? Que représente la quantité 𝜕𝜕𝑥2𝑉2 ? Commenter son signe et comparer à celui obtenu pour 𝜕2𝑉
𝜕𝑧2.
3) Déterminer le champ électrique à l’origine du repère. Si l’on place une particule de charge 𝑞0 en ce point, est-elle en équilibre stable ?
1) Equation de Poisson
L’espace est vide de charge d’où : ρ =0 D’après l’équation de Poisson : 𝛥𝑉 = (𝜕2𝑉
𝜕𝑥2) + (𝜕2𝑉
𝜕𝑦2) + (𝜕2𝑉
𝜕𝑧2) = 2𝑉0
𝑎2+ 2𝑉0
𝑎2− 4𝑉0
𝑎2= 0 2) Sur Ox
Equations de Maxwell
2020/2021 TSI2, Lycée Jules Ferry 22
𝑉(𝑥, 0,0) = 𝑉0
𝑎2𝑥2
𝜕2𝑉
𝜕𝑥2 traduit la courbure de cette loi qui présente un minimum en O.
𝜕2𝑉
𝜕𝑧2 est négatif, donc le point O représente un maximum.
3) Equilibre
En O, le champ électrique est nul, donc position d’équilibre (force de Coulomb nulle).
Cependant, l’énergie potentielle ne présente pas un minimum selon z, donc équilibre instable.
