EXAMEN - session 2 ANALYSE 4

Licence de Mathématiques.

Université d’Artois.

17 juin 2014.

Durée 3h

EXAMEN - session 2 ANALYSE 4

Les calculatrices et les documents sont interdits.

La rédaction sera prise en compte dans la notation.

Cours-Applications. (9 points)

1) Donner les développements en série entière des fonctions suivantes et préciser le rayon de convergence.

(a) chpxq (b) sinpxq (c) x

p1xq² (d) arcsinpxq 2) Déterminer la limite de la suite suivante (justifier au passage son existence), définie pourn ¥1par S_n

¸n k1

n² n k

n² k²

3) Soit f :r0,1s ÑR continue. On considère F :xP RÞÝÑ

»₁

0

fptqe^xt dt Montrer que F est effectivement définie et de classe C¹. Que vaut sa dérivée ?

4) SoientI un intervalle (non trivial) etpfnqnPNune suite de fonctions continues sur I: f_n :I ÑC. On suppose que cette suite converge uniformément, sur I, vers une fonction f :I ÑC.

a) Que peut-on dire de f? b) Démontrer ce résultat.

Exercice 1. (5 points)

On fixe u Ps0, πr et on considère la fonction 2π-périodique f qui coincide avec la fonction indicatrice deru, ussurrπ, πr(autrement dit la fonction qui vaut1surru, us et0 surrπ, πrzru, us).

1) Calculer les coefficients de Fourier de f.

2) En déduire

¸8 n1

sinpnuq n

2

3) Retrouver que

¸8 n1

1 n² π²

6

4) En intégrant la relation obtenu au 2. sur r0, π{2s, trouver

¸8 k0

p1q^k p2k 1q³ Exercice 2. (3 points)

Calculer ¼

D

x y x² y²

x² y² 1 dxdy où

D !

px, yq PR R |x y¤?

2 et x² y² ¥1 )

Exercice 3.(3 points)

Soit pP_nqnPN une suite de fonctions polynômes (réels), uniformément convergente sur R. On veut montrer que nécessairement la limite est un polynôme.

1) Écrire le critère de Cauchy uniforme.

2) En déduire qu’à partir d’un certain rang N, les polynômes P_n etP_N diffèrent d’une constante : autement dit, pour nPN, il existe a_nP R tel que P_nP_N a_n.

3) Conclure.

Exercice 4. (5 points)

Soient α PR etpfnqn¥1 une suite de fonctions définie pour toutxPR par f_npxq 2n^αx

1 n²x²

1) Etudier la convergence simple de pf_nqn¥1 en fonction de α.

2) On suppose que α 2.

a) Etudier la convergence uniforme de pf_nqnPN sur R en fonction de α.

b) Etudier la convergence simple de la série de terme général de f_n sur R en fonction de α.

c) Etudier la convergence normale de la série de terme général de f_n sur R en fonction de α.

d) On suppose que αP r0,2r. On note Spxq ¸⁸

n1

f_npxq pour x¥0.

(i) Pour tout N ¥1, justifier queS 1

N ¥ 1 N

¸N n1

2 1 _Nⁿ²2

(ii) En déduire pour quels α la convergence de la série est uniforme sur R .

2