Maths 09 – 10. www.espacemaths.com

1 Suites réelles 1. 4

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Exercice n°1 : Vrai - Faux

On considère la suite ( ) u

définie par u

= 0 , u

= 1 et, pour tout n Î

,

1 2

3 3

n n n

u

= u

+ u

On définit les suites ( ) v

et ( w

)

par v

= u

- u

et

2

n n

3

w = u

+ u . a. La suite ( ) v

est arithmétique.

b. La suite ( w

)

est constante.

c. Pour tout n Î

, on a : ³ ( )

n

5

u = w - v . d. La suite ( ) u

n’a pas de limite finie.

Exercice n°2 : Q – C – M :

On considère deux suites ( ) u

et ( ) v

définies sur

.

Affirmation a. Si ( ) u

est monotone décroissante et minorée et ( ) v

est monotone croissante et majorée alors ( ) u

et ( ) v

convergent vers la même limite.

Affirmation b. Si on a a

< u

- u

< b

avec a et b dans l’intervalle ] ^{0 ; 1} [ alors u

converge.

Affirmation c.

Soit

. On considère la fonction f définie sur ]1 ;

[ par :

xn

f x x

- +

= -

. f est dérivable sur ]1 ;

[ et pour tout x > 1, on a : f’(x) = 1+2x + 3x

+ 4x

+ · · · + nx

.

Exercice n°3 : Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances (ROC).

PARTIE A : QUESTION DE COURS

On suppose connus les résultats suivants :

(1) deux suites (u

) et (v

) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et u

− v

tend vers 0 quand n tend vers

;

(2) si (u

) et (v

) sont deux suites adjacentes telles que (u

) est croissante et (v

) est décroissante, alors pour tout n appartenant à

, on a u

£ v

;

(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

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Septembre 2009 A. LAATAOUI

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Démontrer alors la proposition suivante : « Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».

PARTIE B

On considère une suite (u

), définie sur

dont aucun terme n'est nul.

On définit alors la suite (v

) sur

par

²

v u

= - .

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si (u

) est convergente, alors (v

) est convergente.

2. Si (u

) est minorée par 2, alors (v

) est minorée par −1.

3. Si (u

) est décroissante, alors (v

) est croissante.

4. Si (u

) est divergente, alors (v

) converge vers zéro.

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Correction ex1

a. Faux : Si la suite v

est arithmétique, v

- v

est constante :

1 2 1 1 1 1 1

1 2 5 5 5

( ) ( ) 2

3 3 3 3 3

n n n n n n n n n n n n n

v

- v = u

- u

- u

- u = u

+ u - u

+ u = - u

+ u = - v ; c’est donc faux, mais nous gagnons une information intéressante :

5 2

3 3

n n n n

v

= - v + v = - v ; v

est géométrique de raison ²

- 3 et de premier terme v

= - = 1 0 1 d’où

3

n

vn = -æçè ö÷ø

. b. Vrai : Recommençons :

1 2 1 1 1 1 1

2 2 1 2 2 2

3 3 3 3 3 3 0

n n n n n n n n n n n

w

- w = u

+ u

- u

- u = u

+ u + u

- u

- u = donc c’est vrai. En plus on a

0 1 0

2 1

n

3

w = w = u + u = .

c. Vrai : ( )

3 3 2 3 5

5 w

- v

= 5 æ ç è u

+ 3 u

- u

+ u

ö ÷ ø = 5 æ ç è 3 u

ö ÷ ø = u

. d. Faux : Remplaçons pour calculer u

: ³ 1 ²

5 3

n

u

= æ ç ç è - - æ ç è ö ÷ ø ö ÷ ÷ ø dont la limite est ³

5 . Correction ex2

Affirmation a. Faux : il faudrait par exemple en plus que v

- u

tende vers 0.

Affirmation b.

Vrai : u

est croissante, et si on fait la somme des inégalités

1

n n

n n

a < u

- u < b , on a

1 1

1 0 0 1 0 0

1 1 1

1 1 1

n n

k k

n n

k k

a b

a u u b u u u u

a b b

+ +

+

-

-

< - < Û + < < + < +

- - -

å å ^{; donc u}

est bornée.

Affirmation c. Vrai : f x ( ) = + + 1 x x

+ + ... x

Þ f '( ) x = + 1 2 x + + ... nx

.

Correction ex3

PARTIE A : « Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».

On a u

£ v

et (v

) décroissante donc u

£ v

£ £ ... v

d’où (u

) est majorée et converge vers l ; même chose pour (v

) qui est décroissante et minorée par u

et converge vers l’.

Comme u

− v

tend vers 0 quand n tend vers

, on a

.

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PARTIE B : (u

) non nulle,

²

v u

= - .

1. Si (u

) est convergente, alors (v

) est convergente :

Faux : n’importe quelle suite convergente vers 0 ne marche pas, prendre par exemple 1/n.

2. Si (u

) est minorée par 2, alors (v

) est minorée par −1 :

Vrai : 2 ^{1 1 1 1 2 2} 1

2 2 2

n n

n n n

u v

u u u

£ Þ ³ Þ - £ - Þ - £ - Þ - £ . 3. Si (u

) est décroissante, alors (v

) est croissante :

Faux ;

1 1

2( )

2 2

n n

n n n n

u u

v v

u u u u

+ +

+ +

- -

- -

- = - = ; si (u

) est décroissante, u

£ u

Þ £ 0 u

- u

, le numérateur est négatif, si le dénominateur est positif, soit lorsque la suite (u

) n’a que des termes positifs, (v

) est décroissante.

4. Si (u

) est divergente, alors (v

) converge vers zéro.

Faux : une suite peut être divergente sans tendre vers l’infini, par exemple u

= - ( 1)

diverge, de même évidemment que v

.

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