• Aucun résultat trouvé

Statistics on Multivariate Normal Distributions: A Geometric Approach and its Application to Diffusion Tensor MRI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Statistics on Multivariate Normal Distributions: A Geometric Approach and its Application to Diffusion Tensor MRI"

Copied!
29
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: inria-00070756

https://hal.inria.fr/inria-00070756

Submitted on 19 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub-

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

Statistics on Multivariate Normal Distributions: A Geometric Approach and its Application to Diffusion

Tensor MRI

Christophe Lenglet, Mikaël Rousson, Rachid Deriche, Olivier Faugeras

To cite this version:

Christophe Lenglet, Mikaël Rousson, Rachid Deriche, Olivier Faugeras. Statistics on Multivariate Normal Distributions: A Geometric Approach and its Application to Diffusion Tensor MRI. RR-5242, INRIA. 2004, pp.25. �inria-00070756�

(2)

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

Thème BIO

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Statistics on Multivariate Normal Distributions:

A Geometric Approach and its Application to Diffusion Tensor MRI

Christophe Lenglet — Mikaël Rousson — Rachid Deriche — Olivier Faugeras

N° 5242

June 2004

(3)
(4)

0 123#4)(06575,89,:;0<5,5,)/)=$&(>?@)

A 3,@<BDC

EGFHJILKMJN OPFQSRTQVUW*XYQZM

[\ IY]_^_`VXTabN cKJKJN U

[ a7^edfFILgih7QVHJIjdkFQ

[ml XLIYnIYQZHbom^ecW QZHk^eK

§

pTqsrtGuvTwyx{z}|~€ƒ‚„r)t…u)€3†ˆ‡Š‰f‹Š‰Œ‡ŠŽZsu€

m‘ ‰k’ƒu‚“x“”~€y€y•)u

–˜—k™s™ ‰ ‘ ‚˜”su ‘ u)šqˆu ‘ šqˆuœ›ežŸk ZŸz¢¡s›ˆu%Ÿk££f z=Ÿž ™_— Œfu€

¤-¥¦§©¨Jª_«f§¬

pTqs‡Š€ ‘ u ™ ‰ ‘ ‚‡­€”su)”s‡Šš — ‚„u”®‚„‰b‚„qˆu€ƒ‚ — ‚„‡Š€ƒ‚„‡­š — ‹ — › — ‹­~€y‡­€‰¯m‚„qsu€™_— š)u…‰f¯°tˆ‹±‚„‡­² —k‘ ‡— ‚„u

›ˆ‰

‘ t — ‹

™ˆ‘

‰k†

—

†_‡­‹Š‡±‚³~?”su›s€y‡±‚³~?¯´s›sš‚„‡Š‰›s€)µw¶‚

‘

u)‹Š‡Šu)€‰›?‚„qsu”ˆ‡±· u

‘

u)›‚„‡

—

‹Œu)‰t…u‚

‘

‡Šš

— ‹

™s‘

‰ ™ u ‘

‚„‡­u€‰¯

‚„qˆuGˆ›s”su

‘

‹­~‡­›ˆŒ

™e—©‘—

t…u‚„u

‘ €

™_—

š)u¸@u›s”s‰J¹u)”º¹»‡­‚„q

—,–

‡Šu)t

—

›s›s‡

—

›¼t…u‚

‘

‡Ššf¸

—

€¹u)‹Š‹

—

€‰›

‘

uš)u›‚

¹‰

‘y½

€‚„q

—

‚‹­u”?‚„‰,‚„qsu…Œfu›su

‘—

‹Š‡­¾

—

‚„‡­‰›º‰f¯°‚„qˆuG›ˆ‰

‘ t —

‹m‹

—

¹¿‰›S›ˆ‰f›sÀj‹­‡Š›su

—k‘

€

™_—

šu)€)µ…Á¼uG¹»‡­‹Š‹Â

‘

€ƒ‚

™ˆ‘ ‰Zšu)u”„‰º‚„qsuƒ‚ — ‚„u‰¯˜‚„qˆu —©‘ ‚b‡Š›Å€yu)š)‚„‡­‰›ÇÆf¸¹»qs‡Š‹­uÄu)È ™ˆ‘ u)€y€y‡Š›sŒ'€y‰tGu®ŽZ — ›‚„‡­‚„‡Šu)€ ‘ u)‹— ‚„u”„‰

‚„qˆuɀƒ‚ ‘ sš)‚„ ‘ ub‰¯‚„qˆubt — ›ˆ‡­¯´‰‹­”ʉ¯T‡Š›‚„u ‘ u€ƒ‚¸ — ›s”'‚„qsu›'¯Ë‰Vš)ˆ€‰›¼‚„qsu-”su ‘ ‡­² — ‚„‡Š‰f›'‰¯3š)‹Š‰f€yu”Àj¯´‰ ‘ t

u)È ™s‘ u)€y€y‡Š‰›s€%¯´‰ ‘ ‚„qˆubt…u — ›*¸Pš)‰J² —k‘ ‡— ›sš)ubt — ‚‘ ‡­È ¸PtG‰V”su€%‰f¯T² —k‘ ‡— ‚„‡Š‰› — ›s”'›ˆ‰ ‘ t — ‹°‹— ¹Ì† u)‚³¹u)u›

t%s‹­‚„‡­² —k‘ ‡— ‚„u°›s‰ ‘ t — ‹Z”s‡Š€ƒ‚ ‘ ‡±†ˆs‚„‡­‰›s€‡­›%€yu)š‚„‡Š‰›ŸVµ@Á¼u°¹»‡­‹Š‹ — ‹Š€y‰ — ”s” ‘ u)€y€‚„qsu/”su ‘ ‡­² — ‚„‡Š‰f›‰¯ — šš) ‘— ‚„u

— ›s”-uÍɚ)‡Šu)›‚›Zst…u ‘ ‡Šš — ‹e€yšqsu)t…u€°‚„‰u€ƒ‚„‡­t — ‚„u»‚„qsu ™ˆ‘ ‰ ™ ‰f€yu”-ŽZ — ›‚„‡­‚„‡­u€)µÎ{t — ’ω ‘T—k™s™ ‹Š‡Šš — ‚„‡­‰›b‰¯

‚„qˆu ™s‘ u)€yu›‚T¹‰ ‘y½ ‡Š€‚„qˆu€ƒ‚ — ‚„‡­€ƒ‚„‡Šš — ‹ — › — ‹±~€y‡Š€T‰¯”s‡­· s€y‡Š‰›7‚„u)›s€y‰ ‘3Ð?— Œ›su‚„‡Šš – u)€y‰› — ›sšuw³t — Œ‡Š›sŒsµ

Á'u€yqˆ‰¹ ™s‘ ‰tG‡Š€y‡Š›sŒ ‘ u)€ys‹­‚„€»‰f›€ƒ~V›Z‚„qsu‚„‡Šš — ›s” ‘ u — ‹Ñ” — ‚ — ‡­›€yu)š)‚„‡­‰›ÄÒVµ

ÓÔVÕ Ö„×Ø ¨kÙ¦f¬

t%s‹±‚„‡­²

—k‘

‡—

‚„u›ˆ‰

‘ t —

‹”s‡Š€ƒ‚

‘

‡±†_‚„‡­‰›*¸ €ƒ~t…tGu)‚

‘

‡­š

™

‰€y‡­‚„‡±²u)Àj”suˆ›ˆ‡±‚„ut

— ‚ ‘

‡­Èe¸et…u

—

›Ñ¸

š‰J² —k‘ ‡— ›sšuSt — ‚‘ ‡­Èe¸t…‰V”su)€‰¯² —©‘ ‡— ‚„‡­‰›*¸Ú‡­€yqˆu ‘ ‡Š›s¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰›*¸Œu‰Z”ˆu)€y‡Šš)€)¸Œu)‰V”su€y‡­šº”s‡Š€ƒ‚ — ›sš)u¸

– ‡­ut — ›s›sÀÏÛ/q ‘ ‡­€ƒ‚„‰f· u‹Z‚„u)›s€y‰ ‘ ¸ – ‡­šš)‡‚„u›s€y‰ ‘ ¸f€yš — ‹—k‘ š) ‘ ² — ‚„ ‘ uf¸f€yu)š)‚„‡­‰› — ‹Zš ‘ ² — ‚„ ‘ u¸fqs‰t…‰fŒu›su)‰s€

€ ™e— šuf¸ˆÜ@‡ŠuŒ ‘ ‰ ™ ¸ – ‡­ut — ›s›ˆ‡— ›Œu‰ft…u)‚ ‘~

Ý Þ©ßLàâáLãjäå©Þ©æçèZæƒéJêëâæÏã³ìáLäå©Þ©àâíJçàâéJßLàâí©çî±ß

ï àâð„íñÏëŠçòÑäó©áLájäéfìájäå©Þ©àâí©çàâé©ßLàâíJçî±ß

òÑíô¶Þ©àâõçöæƒßLàâô¶Þ©æ„ìájäå©Þ©àâíJçàâé©ßLàâíJçî÷ß

§ øëâàùàâæƒßÏçú©íó©êæÏßLíá³ìáLäå©ÞJàâí©çàâé©ßLàâí©çî±ß

(5)

, 0<5,57…8, 13#…7! @0<5,5,)/ ÏCeB<

:7

A

3,@37D:7!&(>S@)

¦ ¬ Û/u ‘—k™s™ ‰ ‘ ‚ — † ‰ ‘ ”suG‹— › — ‹­~V€yu…€ƒ‚ — ‚„‡Š€ƒ‚„‡ŠŽZsuG”ˆuG‹u)€™_— š)u…”su€”su›s€y‡­‚„•)€”ˆu ™s‘ ‰f† — †ˆ‡Š‹­‡­‚„•

›ˆ‰ ‘ t — ‹Šu)€3t%s‹­‚„‡±² —©‘ ‡Š•)u€)µmw³‹*€—k™s™ s‡Šu€y ‘ ‹­u€ ™s‘ ‰ ™s‘ ‡Š•‚„•)€)¸ˆ‡Š€y€ysu)€»”ˆu‹— Œ•‰ft…•)‚‘ ‡­u”s‡­· • ‘ u›‚„‡Šu)‹Š‹­u¸s”su

‹u)€™_— š)u”su)€ ™_—k‘— t…r‚ ‘ u)€3€y‰s€ƒÀ­’— š)u›‚„€»•ŽZs‡™ •”ˆ›sut…•‚ ‘ ‡Žˆu – ‡­ut — ›s›ˆ‡­u›s›suf¸ — ‡Š›s€y‡@ŽZsu€y ‘ ”su

‘ •š)u›‚„€»‚ ‘— ² — È — ~ — ›‚t…u)›ˆ•É‹— Œf•›s• ‘— ‹Š‡­€ — ‚„‡Š‰›®”su%‹— ‹Š‰‡›s‰ ‘ t — ‹­u — Èu)€™e— šu)€“›s‰›Àj‹Š‡Š›s• — ‡‘ u)€)µ

‰s€%š)‰t…tGu›sš)u ‘ ‰›s€ ™_—k‘ ” ‘ u)€y€yu ‘ s›'•)‚ — ‚%”sub‹—k‘ ‚%u)›'€yuš‚„‡Š‰f› Æf¸‚„‰‚%u)›'uÈ ™s‘ ‡Št — ›Z‚%šu ‘ ‚ — ‡Š›s€

ŽZ — ›‚„‡­‚„•)€˜‹Š‡­•u)€É‹— €ƒ‚ ‘ sš‚„ ‘ u”su‹— ›s‰f‚‘ uu)€ ™_— š)u%”‡Š›‚„• ‘ ‚µ ‰s€˜›s‰s€“š)‰›sšu)›‚ ‘ u ‘ ‰f›ˆ€˜u)›ˆ€ys‡±‚„u

€y

‘ ‹—

”s•

‘

‡­²

—

‚„‡Š‰f›”u)È

™ˆ‘

u)€y€y‡Š‰f›ˆ€@uÈ

™

‹Š‡Šš)‡­‚„u)€

™

‰

‘ ‹—

t…‰J~u)›s›ˆuf¸k‹

— t — ‚ ‘

‡Šš)um”sumš‰²

—k‘

‡—

›sšuf¸©‹Šu)€@t…‰V”su)€

”ˆu²

—k‘

‡—

‚„‡­‰›u‚

™

‰

‘

s›su‹Š‰‡Ñ›s‰

‘ t —

‹­uu)›‚

‘

u”s‡Š€ƒ‚

‘

‡±†ˆs‚„‡­‰›s€˜›s‰

‘ t —

‹­u€»t%s‹±‚„‡­²

—k‘

‡Š•)u€3u›,€yuš‚„‡Š‰›ÄŸVµ

‰s€ — † ‰ ‘ ”su ‘ ‰›s€/•Œ — ‹Šu)t…u›‚‹Šu˜”ˆ•²u)‹Š‰ ™s™ u)t…u›‚”ˆu˜€yšqˆ•)t — €›Zst…• ‘ ‡ŽZsu)€TuÍɚ — š)u€ ™ ‰ ‘ u)€ƒ‚„‡ŠtGu ‘

‹Šu)€PŽ — ›Z‚„‡±‚„•€ ™s‘ ‰ ™ ‰€y•)u€)µ“›su —k™s™ ‹­‡Šš — ‚„‡Š‰f›t — ’Ïu ‘ u”s ™s‘ •)€yu›‚‚ ‘— ² — ‡Š‹ ‘ •)€y‡Š”su/” — ›ˆ€‹— › — ‹­~€yu/€ƒ‚ — À

‚„‡Š€ƒ‚„‡Žˆu»”ˆu)€‡­t — Œu)€/w –»Ð ”sÉ‚„u›s€yu) ‘ ”su“”s‡­· s€y‡Š‰f›Ñµ ‰s€ ™s‘ •€yu)›‚„‰›s€”u›sš)‰ ‘— Œu — ›‚„€ ‘ •)€ys‹­‚— ‚„€

€y ‘ ”su€3”s‰›s›s•u)€ ‘ •)u)‹Š‹Šu)€»u‚»€ƒ~›‚„qs•)‚„‡ŠŽZsu€3u)›,€yuš‚„‡Š‰f›®ÒVµ

Ø §J¦ Ö « ¦“¬

”s‡Š€ƒ‚ ‘ ‡±†ˆs‚„‡­‰››s‰ ‘ t — ‹­umt%s‹±‚„‡­² —k‘ ‡Š•)u¸©t — ‚‘ ‡Šš)uP€ƒ~t…•‚ ‘ ‡ŽZsum”s•ˆ›ˆ‡­u)À™ ‰€y‡±‚„‡­²uf¸©t…‰J~u)›s›su¸

t — ‚ ‘ ‡Šš)u®”su?š‰² —k‘ ‡— ›sšuf¸˜tG‰V”su€-”su®² —©‘ ‡— ‚„‡­‰›*¸»‡Š›s¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰› ”su?ڇ­€yqsu ‘ ¸»Œ•‰Z”ˆ•)€y‡Žˆu)€)¸˜”s‡Š€ƒ‚ — ›sš)u

Œ•‰Z”ˆ•)€y‡Žˆuf¸‚„u)›s€yu

‘

”su

–

‡Šu)t

—

›s›ÀÏÛ/q

‘

‡Š€ƒ‚„‰f· u)‹L¸P‚„u)›ˆ€yu)

‘

”su

–

‡Šš)š‡Y¸mš)‰

‘

†ˆ

‘

u-€yš

— ‹— ‡‘

u¸Pš)‰

‘

†_

‘ u

€yuš‚„‡Š‰›su)‹Š‹­u¸su€

™_—

š)uqs‰tG‰Œr)›ˆuf¸ˆŒ

‘

‰

™

u”su܇­u¸ˆŒ•)‰t…•‚

‘

‡Šu

–

‡­ut

—

›s›ˆ‡­u›s›su

(6)

Ò

& 3

')( ÔZØ Ô §J¨ ÕÃØ* §+ Ô-,/. ª_« ÔÄØ* ˧10 2ªˆ¨0˪s§ Ô3Ø ¨ 5460´¦§©¨0Y¥Ñ§10Ø87 ¦ 9

ÆfµŠÆ Ð ‘ ‡Š¾ — ‚„‡­‰›,‰¯‚„qsu%| ™_— š)u‰¯ m‘ ‰k† — †_‡­‹Š‡±‚³~;:u)›ˆ€y‡±‚³~7ڈˆ›sš‚„‡Š‰›s€ µµµµµµµµµµµ  

ÆfµâŸ w³›ˆ¯Ë‰ ‘ t — ‚„‡­‰›=<“u)‰V”su€y‡­š>:‡­€ƒ‚ — ›sšu¢µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ ?

ÆfµâÒ Î ™ˆ™ ‹­‡Šš — ‚„‡Š‰›7‚„‰G‚„qsu Ð ˆ‹±‚„‡­² —k‘ ‡— ‚„u ‰ ‘ t — ‹ Ð ‰V”su)‹ µµµµµµµµµµµµµµµµµ ?

Æfµ  |Z‚ ‘ sš‚„ ‘ u‰¯@‚„qsu| ™_— š)u‰¯ Ð ˆ‹±‚„‡­² —k‘ ‡— ‚„u ‰ ‘ t — ‹/:‡Š€ƒ‚ ‘ ‡±†ˆs‚„‡­‰›s€?µµµµµµµµµµ Æ£

@ ,

§Jªs§10´¦§0´«¦

Ø87

§10 2ª_¨0˪s§

Ô3,Ø

¨ 5460´¦§©¨0´¥ ѧ10

Ø87

¦

'BA

ŸVµŠÆ w³›Z‚ ‘ ‡­›s€y‡Šš Ð u — › µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ ÆJÒ

ŸVµâŸ w³›Z‚

‘

‡­›s€y‡ŠšGÛ/‰²

—k‘

‡—

›sšu ÐS—

‚ ‘

‡­È

—

›s”

P‘

‡Š›sš‡

™_—

‹ Ð

‰Z”ˆu)€ µµµµµµµµµµµµµµµµ ÆC?

ŸVµâÒ Î ‰ ‘ t —

‹/:‡Š€ƒ‚

‘

‡±†_‚„‡­‰›,‰›

Ð

s‹­‚„‡­²

—k‘

‡—

‚„u ‰ ‘ t —

‹D:‡­€ƒ‚

‘

‡­†ˆ‚„‡Š‰›s€ µµµµµµµµµ Æ1E

A 3 Ô ¨0´«ª 5FHG .PÔ ¨0 ÔB7 §ªs§0Ø87 ¦

'BI

9 J Ø87 «@¦C0Ø87 @K@

L ¤ .M.Ô7 ÙN0G ' ¬OJ Ø .PØ87ÑÔ7 §©¦ Ø* §+ Ô 0Ô ºª 7P7 0˪ 7 Ô §©¨0Y« @%A

(7)

 

1 3#$ '87 É5,/(Ã)2 !#4S&(

+7-)

Á'u ‘ u)²‡­u)¹œ‡Št ™ ‰ ‘ ‚ — ›‚›ˆ‰k‚„‡Š‰›s€‚„q — ‚‹Šu)”S‚„‰,‚„qsuÉtGu)‚ ‘ ‡­¾ — ‚„‡­‰›º‰f¯ ™s‘ ‰f† — †ˆ‡Š‹­‡­‚³~S€ ™_— š)u€ — ›s”º‚„‰7‚„qsu

”ˆuˆ›s‡­‚„‡Š‰f›Ã‰¯»”ˆ‡­€ƒ‚ — ›sšu7t…u — €y ‘ u€G† u‚³¹uu)› ™e—©‘— t…u‚ ‘ ‡Šš,”s‡­€ƒ‚ ‘ ‡­†ˆ‚„‡Š‰›s€…s›s”su ‘ š)u ‘ ‚ — ‡­› ‘ u)Œs‹—©‘ ‡­‚³~

š‰›s”s‡­‚„‡­‰›s€)µTÚ_‰‹­‹Š‰J¹»‡­›sŒb‚„qsu¹‰ ‘y½ †V~ –˜— ‰ŸÆj¸ˆ¹»qsu ‘ u —…– ‡­ut — ›s›ˆ‡— ›®tGu)‚‘ ‡­š¹ — €˜‡­›‚ ‘ ‰V”sˆš)u)”ćЛ

‚„u ‘ t ‰f¯»‚„qsu-u‹­utGu›‚„€G‰¯3‚„qsu7‡­›ˆ¯Ë‰ ‘ t — ‚„‡­‰› t — ‚ ‘ ‡­È ¸ — ›s” — ‚„qsu)‰ ‘ u)t!†Z~ ¡u)›s€yu›ƒÆ E?Z¸ ™s‘ ‡­² — ‚„u

š‰tGt%s›ˆ‡­š — ‚„‡Š‰›…‡Š›!Ÿ"#¸ÎT‚ ½ ‡Š›s€y‰› — ›s” Ð ‡±‚„šqsu)‹Š‹ˆ‰k†ˆ‚ — ‡Š›su”…š)‹Š‰€yu)”ɯ´‰ ‘ tG€°‰f¯e‚„qsu3Œu‰Z”ˆu)€y‡Šš3”s‡Š€ƒ‚ — ›sš)u

†*u‚³¹u)u›Gu)‹Šu)t…u›‚„€P‰¯_¹u)‹Š‹±À

½

›s‰J¹»›É¯

—

t…‡­‹Š‡Šu)€m‰f¯ ”s‡­€ƒ‚

‘

‡­†ˆ‚„‡Š‰›s€m€ysšq

—

€P‚„qsuÂsȁu”Àjt…u

—

›…tˆ‹±‚„‡­²

—k‘

‡—

‚„u

›ˆ‰

‘ t —

‹t…‰V”su)‹Lµw³› Æ$%ŸV¸*vT

‘

† u

—-—

›s”

–˜—

‰

™s‘

‰ ™

‰€yu)”

—

s›ˆ‡±Âˆu”

—k™s™s‘

‰ —

šq?‚„‰b‚„qsu”su

‘

‡­²

—

‚„‡Š‰›®‰¯

t…u)‚ ‘ ‡­š€‡­› ™ˆ‘ ‰k† — †_‡­‹Š‡±‚³~ʀ™_— š)u€)µ¼pTqsu~'‡Š›‚ ‘ ‰V”ssš)u”'‚„qsu7›s‰f‚„‡­‰›Ê‰¯

φÀju)›Z‚ ‘ ‰ ™ ~¼¯´s›sš)‚„‡­‰› — ‹/¹»qs‰€yu

& u€y€y‡— ›º‡­› — ”s‡‘ uš‚„‡Š‰›S‰¯m‚„qˆu‚ — ›sŒu)›‚€ ™_— š)u…‰¯m‚„qsu ™e—©‘— t…u‚„u ‘ € ™_— š)u…‡­€‚ —k½ u)› — €‚„qsuGt…u‚‘ ‡Ššfµ

Á'u — ‹Š€y‰¯Ë‰‹Š‹­‰J¹'Ÿk (j¸)âÒ"j¸)➠‚„‰‡Š›‚‘ ‰V”ssšu —%– ‡Šu)t — ›s›s‡— ›,t…u‚ ‘ ‡Šš“‰›-‚„qsu ™e—©‘— t…u‚„u ‘ € ™_— š)u‰f¯Ñ‚„qsu

t%s‹­‚„‡­² —k‘ ‡— ‚„u›s‰ ‘ t — ‹”s‡Š€ƒ‚ ‘ ‡±†ˆs‚„‡­‰›s€)¸ — ›s”%‚„qsu — €y€y‰Zš‡— ‚„u”Œfu‰V”su)€y‡Šš/”ˆ‡­€ƒ‚ — ›sšuf¸ – ‡Šu)t — ›s›ÀÏÛ/q ‘ ‡­€ƒ‚„‰f· u‹

‚„u›s€y‰ ‘ ¸ – ‡­šš)‡*‚„u)›s€y‰ ‘“— ›ˆ” – ‡­šš)‡Ñ€yš — ‹—k‘ µ

*,+-* .0/)132465)7813469:;9=<>1@?/BADCE7GFH/9<JI2@9,KE7LKM4-N-4O1QPSRT/:EU4O1QPWVYXE:EFZ13469:EU

Á'uT€ƒ‚ —k‘ ‚P†V~ — Œu)›su ‘— ‹sšq —k‘— š‚„u ‘ ‡­¾ — ‚„‡­‰›…‰¯_‚„qsu3€ ™_— š)u»‰¯ ™s‘ ‰f† — †ˆ‡Š‹­‡­‚³~G”su›s€y‡±‚³~G¯Ëˆ›sš‚„‡Š‰›s€)¸‚„‰Œfu)‚„qsu ‘

¹»‡­‚„q7‚„qsušq

—k‘—

š‚„u

‘

‡­¾

—

‚„‡­‰›,‰f¯‡­‚„€3t…u‚

‘

‡Ššfµ

Üu‚ L1(X, µ) ”su)›ˆ‰k‚„u-‚„qsu7€

™_—

š)u7‰¯»‡­›Z‚„u)Œ

‘—

†ˆ‹­u

µÀjt…u — €y ‘— †_‹­u ‘ u — ‹¯Ës›ˆš‚„‡Š‰f›ˆ€”su)ˆ›su”ʉJ²u

‘

‚„qsu

t…u — €y ‘— †_‹­u€ ™_— šu

X¸_ufµŒ@[

L1(X, µ) ={p:kpkµ= Z

X|p(x)|dµ(x)<∞}

Á'u —k‘ u‡Š›‚„u ‘ u€ƒ‚„u)”,‡Š›7‚„qsuš)‰›²uÈ7€y†_€yu‚

P ‰f¯ L1+ €yˆšq,‚„q — ‚$[

L1+={pL1(X, µ) :p(x)0¯Ë‰ ‘ µÀ — ‹Št…‰€ƒ‚ — ‹Š‹ x∈ X } P ={pL1+:kpkµ= 1}

Üu‚ φ † u — š)‰›‚„‡Š›Zs‰s€ ‘ u — ‹»¯´s›sš)‚„‡­‰›Å‰›

Iφ R+ — ›s” Fφ(X, µ) ‚„qsu€yu)‚b‰¯

µÀjt…u — €y ‘— †ˆ‹Šu

¯´s›sš)‚„‡­‰›s€

p”su)ˆ›su)”‰²u ‘

X — ›s”7‚ —©½ ‡Š›sŒ² — ‹Šsu€T‡Š› Iφ

µ°pTqsu

φÀju›‚‘ ‰ ™ ~-¯´s›sš)‚„‡­‰› — ‹*‡Š›‚ ‘ ‰V”ssš)u”7‡Š›

 (чŠ€»”suˆ›ˆu)” — €

Hφ(p) = Z

X

φ(p(x))dµ(x) pL1φ=L1+∩ Fφ

pTqˆu“€yuš)‰›s”,‰ ‘ ”ˆu ‘ ”s‡­· u ‘ u)›‚„‡— ‹ ‰¯Ñ‚„qsuu)›Z‚ ‘ ‰ ™ ~b¯´s›sš)‚„‡­‰› — ‹

Hφ

— ‚

p‡Š›-‚„qsu“”ˆ‡‘ uš‚„‡Š‰f›7‰¯

f L1φ ‡­€

Œ‡­²u)›7†Z~H[

d2Hφ(p;f, f) = Z

X

φ00(p(x))(f(x))2dµ(x)

Á'u›s‰J¹Ã‡Š›‚ ‘ ‰V”ssšu/‚„qˆu€yu‚

θ= (θ1, ..., θn)‰¯ n‘ u — ‹š‰f›Z‚„‡­›Zˆ‰fˆ€ ™_—k‘— t…u)‚„u ‘ €”ˆuˆ›s‡Š›sŒ — t — ›s‡Š¯´‰f‹Š”

Θu)t† u”s”su)”‡Š›

Rn — ›ˆ”,š‰›s€y‡­”ˆu ‘ ‚„qsu€y†_€yu‚

FΘ ‰f¯ Pφ=P ∩ Fφ[ FΘ={p(.|θ)∈ Pφ:θΘ}

(8)

ž

w¶‚‡­€ — ¯— t…‡Š‹±~?‰¯ ™s‘ ‰f† — †ˆ‡­‹Š‡­‚³~®”su›s€y‡­‚³~®¯´s›sš)‚„‡­‰›s€‰¯m‚„qsu ‘— ›s”s‰t ² —k‘ ‡— †ˆ‹Šu

x∈ Xµ Ð ‰ ‘ u)‰J²u ‘ ¸@‡­‚

¹»‡Š‹Š‹ † u — €y€yst…u)”‡Š›,‚„qsu¯Ë‰‹Š‹­‰J¹»‡Š›sŒG‚„q — ‚

i, j= 1, ..., n[

Æfµ ∂p(x|θ)

∂θi

‡­€»”suÂ_›su)”

x∈ X — ›ˆ” θΘ

ŸVµ R

X

∂p(x|θ)

∂θi dµ(x) = 0

ÒVµT‚„qˆut — ‚ ‘ ‡±È

Eθhlogp(x

|θ)

∂θi

logp(x|θ)

∂θj

i‡­€ ™ ‰€y‡­‚„‡±²u”ˆuˆ›s‡­‚„u

θΘ

Á'u-¹»‡Š€yq„‰ºŽZ

—

›‚„‡Š¯~ʂ„qsu,€yuš)‰›s”ò

—k‘

‡—

‚„‡Š‰›Ã‰f¯˜‚„qsu,u›‚

‘ ‰ ™

~ʯ´s›sš)‚„‡­‰›

—

‹3‡Š› ‚„qˆu7”s‡

‘

u)š)‚„‡­‰› ‰¯

—

²uš‚„‰

‘

dp(θ)‰¯@‚„qˆu‚ — ›sŒu)›‚»€

™e—

šu‰¯

Θ¸¹»‡­‚„q dp(θ) =

Xn i=1

∂p(.|θ)

∂θi

i

”ˆu)›s‰f‚„‡Š›sŒS‚„qsu, ‘ €ƒ‚b‰ ‘ ”ˆu ‘b—k™s™ˆ‘ ‰È‡Št — ‚„‡Š‰› ‰¯˜‚„qsu”s‡­· u ‘ u›sš)u7†*u‚³¹u)u› ‚„qˆu,”ˆu)›s€y‡­‚„‡­u€ — €y€y‰Zš‡— ‚„u”

¹»‡­‚„q7‚„qsu ™_—k‘— tGu)‚„u ‘3™ ‰‡Š›‚„€

1, ...θn)— ›s” 1+1, ...θn+n)µ & u›sš)u¸

d2{Hφ(p)}(θ) = Z

X

φ00(p(x))(dp(θ))2dµ(x)

“›ˆ”su ‘ ‚„qsu — €y€yst ™ ‚„‡­‰›,‚„q — ‚

φ‡Š€»š)‰›²uÈ7‡Š›

Iφ

ds2φ(θ) =d2{Hφ(p)}(θ) = Xn i,j=1

g(φ)ij ij

¹»‡­‚„q

gij(φ)= Z

X

φ00(p(x))∂p(x|θ)

∂θi

∂p(x|θ)

∂θj

dµ(x)

”ˆuˆ›su€

—™

‰€y‡±‚„‡­²u˜”su)ˆ›s‡­‚„u˜¯´‰

‘

t̉›É‚„qsu˜‚

—

›sŒu)›‚€

™_—

šu

—

›s”É‚„qZˆ€/Œ‡­²u€

—–

‡Šu)t

—

›s›s‡

—

›-tGu)‚

‘

‡­š˜‰›

Θ¸ ½ ›s‰J¹»› — €T‚„qˆu φÀju›‚‘ ‰ ™ ~7tGu)‚‘ ‡­šµ

1 3pTqˆ‡­€»¯Ë‰‹Š‹­‰J¹»€»¯‘ ‰t ‚„qsuuÈ ™_— ›s€y‡Š‰f›‰¯

(dp(θ))2 — ›s”,‚„qsu‹Š‡­›su —k‘ ‡±‚³~,‰f¯‚„qsu‡­›‚„uŒ ‘— ‹Lµ

pTqˆu

n×n t — ‚ ‘ ‡±È g(φ)ij ‡Š€,‚„qsu φÀju)›Z‚‘ ‰ ™ ~ t — ‚‘ ‡­È µ pTqsuº‹Š‡­›su¼u)‹Šu)t…u)›‚

ds = (ds2φ(θ))1/2 ‡­€

u — €y‡­‹­~ €yu)u› ‚„‰º† u,‡Š›² —k‘ ‡— ›Z‚bs›s”su ‘ ‚ ‘— ›s€y¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰f›Å‰f¯

θµ Û/‰›s€yuJŽˆu)›‚„‹­~¸

gij(φ)(θ) ‡­€ — €yu)š‰›s”

‰ ‘

”su

‘

š)‰J²

—k‘

‡—

›‚»€ƒ~tGt…u)‚

‘

‡­š‚„u)›s€y‰

‘ µ

/—k‘‡­‰s€ ™ ‰€y€y‡­†ˆ‹Šušqs‰‡­šu)€3¯Ë‰ ‘ ‚„qsuu›‚ ‘ ‰ ™ ~b¯´s›sš)‚„‡­‰›

φq — ²u“† uu)› ™s‘ ‰ ™ ‰€yu)”ѵPÁ¼uš)‰›sšu)›‚ ‘— ‚„u¸V‡Š›

‚„qˆ‡­€ ‘ u ™ ‰ ‘ ‚¸s‰›7‚„qsu|Zq — ›s›s‰›Äu)›‚ ‘ ‰ ™ ~ — €y€y‰Vš)‡— ‚„u”,¹»‡±‚„q

φ(p) =plogp p∈ FΘµ°pTqsu)›Ñ¸

H(p) = Z

X

p(x|θ) logp(x|θ)dµ(x)

(9)

?

— ›s”Ê‚„qsu-š)‰t ™ ‰›su)›‚„€G‰¯T‚„qˆub‡Š›s¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰›Êt — ‚ ‘ ‡­È ¸ ½ ›s‰J¹»› — €%‚„qsu-ڇŠ€yqsu ‘ ‡­›ˆ¯Ë‰ ‘ t — ‚„‡­‰›Êt — ‚ ‘ ‡±È ¸

†*u)š)‰t…u

gij(θ) = Z

X

logp(x|θ)

∂θi

logp(x|θ)

∂θj

p(x|θ)dµ(x) =Eθ

logp(x|θ)

∂θi

logp(x|θ)

∂θj

*,+ :E< 9,2 7L13469:T/9/U46FR 46U 17,:EFH/

pTqˆu˜Œu)‰V”su€y‡­š“”s‡Š€ƒ‚ — ›sš)u

D‡­›ˆ”ssš)u”b†Z~ɂ„qsu˜‡Š›s¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰›-t…u‚‘ ‡Šš

ds2 ™s‘ u)²‡­‰s€y‹­~ɔsu ‘ ‡±²u”b¯‘ ‰t¿‚„qsu ڇŠ€yqsu ‘ ‡­›s¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰›¼t — ‚ ‘ ‡­È?¹ — €‡­›²u€ƒ‚„‡­Œ — ‚„u)”'¯Ë‰ ‘ š)u ‘ ‚ — ‡­› ™_—k‘— t…u‚ ‘ ‡ŠšÉ”s‡­€ƒ‚ ‘ ‡­†ˆ‚„‡Š‰›s€‡Š› Ÿ"j¸  (j¸

ŠÆ "L¸=âÒ"j¸%" — ›s”º‰f‚„qsu ‘ €)µ Ð ‰ ‘ u ‘ uš)u›‚„‹±~¸PÛ — ‹­²‰ — ›ˆ”Êx“‹­‹Šu ‘ âž"m”ˆu ‘ ‡­²u” — ›¼uÈ ™ ‹Š‡­š‡±‚€y‰f‹Š‚„‡Š‰›º‰¯

‚„qˆu‡Š›s¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰›,Œu‰Z”ˆu)€y‡ŠšuŽZ — ‚„‡Š‰›,¯Ë‰ ‘ ‚„qsuŒu)›su ‘— ‹Ñt%s‹­‚„‡±² —©‘ ‡— ‚„u›s‰ ‘ t — ‹Ñt…‰V”su)‹Lµ

Á'u ‘ u)š — ‹­‹‚„q — ‚¸‡Š¯

t 7→ θ(t), t1 t t2

”su)›ˆ‰k‚„u€ — š) ‘ ²u'€yuŒft…u›‚®‡Š›

Θ † u‚³¹uu)›{‚³¹‰

™e—©‘— t…u‚ ‘ ‡Š¾)u”,”s‡Š€ƒ‚ ‘ ‡±†_‚„‡­‰›s€

θ1, θ2¸ˆ‡­‚„€3‹­u›sŒf‚„q,‡­€»uÈ ™s‘ u€y€yu)” — €

D1, θ2) =

Z t2 t1

Xn i,j=1

gij(θ)i

dt j

dt

1/2

dt

Į #

Î6Œu)‰V”su€y‡­šš) ‘ ²u,‡Š€…šq —k‘— š)‚„u ‘ ‡Š¾)u” †Z~ʂ„qsu,¯— š‚G‚„q — ‚ɇ­‚ÉtG‡Š›s‡Št…‡­¾u)€…‚„qsu,‡Š›s¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰›ÃŒu)‰V”su€y‡­š

”ˆ‡­€ƒ‚ — ›sšu

D1, θ2)¸ˆufµŒµm‡­‚»‡Š€3€y‰‹Š‚„‡­‰›‰¯@‚„qˆu °s‹Šu ‘ ÀjÜ — Œ ‘— ›sŒuuJŽ — ‚„‡Š‰›s€ [

Xn i=1

gik(θ)d2θi

dt2 + Xn i,j=1

Γijki

dt j

dt = 0 k= 1, ..., n #

¹»qˆu

‘ u

Γijk

—k‘

um‚„qsuÛ/q

‘

‡Š€ƒ‚„‰f· u)‹€ƒ~t† ‰‹­€‰¯V‚„qsumÂ

‘

€ƒ‚

½

‡Š›s”*µm|Z‰‹­²V‡Š›sŒ3‚„qˆu °s‹Šu

‘

ÀjÜ

— Œ

‘—

›sŒu°uŽZ

—

‚„‡Š‰›s€

— ›s”,‚„qsuu)² — ‹­ — ‚„‡Š‰›,‰¯@‚„qˆuŒu)‰V”su€y‡­š”s‡­€ƒ‚ — ›sšu

Dš)‰›s€ƒ‚„‡­‚„‚„uf¸s‡Š›Œfu›su ‘— ‹L¸ — ”s‡­Í…šs‹­‚T‚ — €½ µ

*,+ CECMN-46FH7L13469:S19'13?/ . XEN 1@4L7L2 4O7L1/ 92 7GN .09/N

x“ ‘ ˆ‹±‚„‡Št — ‚„uŒf‰ — ‹ † u‡­›sŒG‚„‰G”suÂ_›su€ƒ‚ — ‚„‡Š€ƒ‚„‡Šš)€T‰›,t%s‹±‚„‡­² —k‘ ‡— ‚„u›ˆ‰ ‘ t — ‹*”s‡Š€ƒ‚ ‘ ‡±†_‚„‡­‰›s€ — ›s”,‚„‰ —k™ À

™ ‹±~-‡±‚T‚„‰G”s‡­· s€y‡Š‰f›,‚„u)›s€y‰ ‘ ‡Št — Œfu€)¸¹u›s‰J¹{š)‰›sšu)›‚ ‘— ‚„u‰›-‚„qsu€ ™_— š)u

S+(m,R)¸u›s”s‰J¹u)”7¹»‡±‚„q

‚„qˆuɇ­›s¯´‰ ‘ t — ‚„‡Š‰›¼t…u‚ ‘ ‡Šš

ds2µ S+(m,R) ”ˆu)›s‰f‚„u)€‚„qsuɀyu)‚‰¯

m×m ‘ u — ‹°€ƒ~t…tGu)‚ ‘ ‡­š ™ ‰€y‡­‚„‡±²uÀ

”ˆuˆ›s‡­‚„u7t — ‚‘ ‡­šu)€)µ¼w¶‚„€Gu)‹Šu)t…u)›Z‚„€ —k‘ u7s€yu)” ‚„‰?”su€yš ‘ ‡­† u-‚„qsu7š)‰J² —©‘ ‡— ›sš)u7t — ‚ ‘ ‡Šš)u)€G‰¯3‚„qsu-Âsȁu”À

t…u

—

›TY”su›s‰f‚„u)”S†V~

ξ Rm#“›s‰ ‘ t — ‹mt…‰V”su‹Yµ7pTq

‘

‰fˆŒfqº‚„qsuÉt

—k™s™

‡Š›sŒ‚„q

— ‚ —

€y€y‰Vš)‡

—

‚„u)€‚„‰u

—

šq

ΣS+(m,R)‡±‚„€3š‰ft ™ ‰›su›‚„€ σij, ij, i, j= 1, ..., m¸s¹u€yuu‚„q

— ‚

S+(m,R)‡­€»‡Š€y‰ft…‰

‘y™

qs‡Šš

‚„‰ Rn, n= 12m(m+ 1)µ & u)›sšuf¸Z‚„qsu ™_—k‘— t…u‚„u ‘ €™_— š)u

Θ¸¹»qs‰€yu“u‹­ut…u)›‚„€ —k‘ u

θ= (σij), ij¸

‡Š€3u)t† u”s”su”,‡Š›

R12m(m+1)µ

Á'u”su)›s‰f‚„u†Z~

Eij, ij, i, j = 1, ..., m‚„qsuGš — ›s‰›s‡Šš — ‹† — €y‡­€‰¯m‚„qsu%‚ — ›sŒu›‚€ ™_— š)u

T S+ YuµŒsµ

‚„qˆu€ ™_— šu‰¯²uš‚„‰ ‘ ˆu‹­”s€#µTÁ¼uuJŽZ — ‹­‹­~,”su)›ˆ‰k‚„u†Z~

Eij, ij, i, j= 1, ..., m‚„qsu”ˆ — ‹Ñ† — €y‡Š€˜‰¯

‚„qˆuš‰f‚ — ›ˆŒfu›‚»€ ™_— š)u

TS+ YuµŒsµP‚„qsu€ ™_— š)u‰¯”s‡­· u ‘ u›‚„‡— ‹Ñ¯´‰ ‘ t…€#µ°pTqsu)€yu† — €y‡­€ —k‘ uŒf‡­²u)›7†V~Z[

Références

Documents relatifs

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334