AD1 – Expérience de Stern et Gerlach Doc 1 : Plaque commémorative

AD1 – Expérience de Stern et Gerlach

Doc 1 : Plaque commémorative

Plaque commémorative de l’expérience portant l’effigie des deux physiciens allemands Otto Stern et Walther Gerlach au siège de la Physikalische Verein à Francfort (auteur : Peng).

En février 1922, dans ce bâtiment de l’association de physique, à Francfort-sur-le- Main, Otto Stern et Walther Gerlach firent la découverte fondamentale de la quantification spatiale des moments magnétiques des atomes.

Sur l’expérience de Stern-Gerlach reposent des développements physiques et techniques importants du 20e siècle, tels la résonance magnétique nucléaire, l’horloge atomique ou le laser. Pour cette découverte, Otto Stern reçut le prix Nobel en 1943.

Doc 2 : Modèle de l’atome avant 1920

a) Modèle de Rutherford (1911)

Il s’agit d’un modèle planétaire : les électrons, chargés négativement, tournent autour du noyau, chargé positivement, de rayon très faible devant sa distance aux électrons. L’atome d’hydrogène est modélisé par :

- Un électron de masse 𝑚𝑚_𝑒𝑒 et de charge −𝑒𝑒 < 0 ayant une trajectoire circulaire autour d’un proton de charge +e et nettement plus lourd que l’électron.

- Le proton exerce une force électrostatique attractive sur l’électron.

b) Modèle de Bohr (1913)

Dans le cadre de la physique classique, une charge électrique accélérée rayonne de l’énergie. Le modèle de Rutherford conduit donc à des atomes instables, l’électron finissant par s’écraser sur le noyau. Niels BOHR améliore le modèle planétaire de Rutherford en ajoutant les contraintes suivantes.

Modèle de Bohr :

1) Les trajectoires possibles de l’électron sont celle qui satisfont à la quantification du moment

𝐿𝐿= 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣 =𝑛𝑛ℎ =𝑛𝑛 ℎ 2π

où r est le rayon de la trajectoire circulaire, v sa vitesse et n un entier naturel.

2) L’électron n’émet ou n’absorbe de l’énergie que lors d’un changement d’orbite sous forme de quanta d’énergie.

Doc 3 : Nombres quantiques

a) Principe de Pauli (1925)

L’état quantique d’une particule est défini par des nombres quantiques. Le principe d’exclusion de Pauli interdit à tout fermion (dont les électrons font partie) appartenant à un système de fermions d’avoir exactement les mêmes nombres quantiques qu’un autre fermion du système. Cela interdit donc à deux électrons d’un même atome d’avoir les mêmes nombres quantiques.

b) Nombres quantiques (Avant 1922)

- Nombre quantique principal n : Nombre quantique entier naturel non nul. Dans la description non relativiste de l’atome d’hydrogène, les niveaux d’énergie ne dépendent que de n.

- Nombre quantique secondaire (ou orbital) l : Il est relié à la quantification de la norme du moment cinétique orbital 𝐿𝐿�⃗ tel que :

� 𝑙𝑙 ∈ ℕ

𝑙𝑙 = {0,1, … ,𝑛𝑛 −1}

𝐿𝐿² =𝑙𝑙(𝑙𝑙+ 1) ℎ²

- Nombre quantique magnétique 𝑚𝑚𝑙𝑙 : Nombre quantique entier intervenant dans la quantification de la projection suivant (Oz) du moment cinétique tel que :

� 𝑚𝑚_𝑙𝑙∈ ℤ

𝑚𝑚_𝑙𝑙 = {−𝑙𝑙,−𝑙𝑙+ 1 … ,0, … ,𝑙𝑙 −1,𝑙𝑙} = (2𝑙𝑙+ 1) 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑙𝑙𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝐿𝐿𝑧𝑧 =𝑚𝑚𝑙𝑙ℎ

- Nombre quantique de spin 𝑚𝑚_𝑠𝑠 : Nombre quantique demi-entier (pour les électrons) tel que :

�𝑣𝑣= 1

2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑠𝑠 = ±1

2 (𝑝𝑝𝑝𝑝𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑙𝑙𝑒𝑒𝑣𝑣 é𝑙𝑙𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒𝑒𝑣𝑣𝑝𝑝𝑛𝑛𝑣𝑣) 𝑆𝑆² =𝑣𝑣(𝑣𝑣+ 1)ℎ²

𝑆𝑆𝑧𝑧 =𝑚𝑚𝑠𝑠ℎ

Doc 4 : Expérience de Stern et Gerlach

a) Résultats de l’expérience

En 1922, Otto Stern et Walter Gerlach mettent en place une expérience pour déterminer si le moment cinétique électronique est quantifié comme le propose Sommerfeld. Pour cela, ils envoient des atomes d’argent à travers l’entrefer d’un électroaimant, zone où règne un champ magnétique inhomogène dirigé suivant une direction (Oz) orthogonale à la vitesse initiale des atomes.

Tout le dispositif est placé dans un vide poussé où règne une pression inférieure au millipascal.

Des atomes d’argent s’échappent par un petit orifice de l’enceinte (la source) chauffée à haute température. Ils se déplacent en ligne droite jusqu’à une fente (D) qui sélectionne les atomes qui ont une vitesse parallèle à l’axe des y.

Le jet atomique pénètre alors dans l’entrefer d’un électroaimant dont la forme est choisie pour que le champ magnétique ne soit pas uniforme. Le jet atomique est dévié par ce champ inhomogène.

Quand il sort de l’électroaimant, il continue en ligne droite jusqu’à un écran où sont repérés les impacts des atomes. La figure suivante donne le résultat attendu par la mécanique classique ainsi que le résultat obtenu expérimentalement :

Photo (a) : En absence de gradient magnétique, aucune déflexion des trajectoires atomiques ne se produit et les atomes forment une tache unique autour du point x = z = 0 ; chaque point représente l’impact d’un atome sur l’écran de détection.

Photo (b) : Simulation du résultat attendu classiquement, en supposant que tous les atomes portent le même moment magnétique µ_􏷟􏷟 = 𝑀𝑀_􏷟􏷟 avec une orientation aléatoire ; la distribution de la composante selon z du moment magnétique est alors uniforme entre −µ􏷟􏷟 et +µ􏷟􏷟.

Photo (c) : Simulation du résultat trouvé expérimentalement avec des atomes d’argent : l’expérience, qui peut être considérée comme une mesure de la composante selon z du moment magnétique, n’admet que deux résultats µ𝑧𝑧 = ±µ0.

Historiquement Gerlach a posté ses résultats à Bohr qui avait prédit ce résultat, sans pouvoir le vérifier : (A droite une seule tâche est visible par rapport à la position centrale).

Traduction :

Cher Monsieur Bohr, Ci-joint la suite de notre travail concernant la preuve expérimentale de la quantification directionnelle.

- [À gauche] : argent [silber], sans champ magnétique [ohne magnet feld]

- [À droite] : avec champ [mit feld]

Nous vous félicitons pour la confirmation de votre théorie ! Avec mes salutations respectueuses.

Bien à vous. Walther Gerlach.

b) Données numériques sur l’expérience

Caractéristiques de l’expérience :

- Taille de la fente d’entrée : b=1mm - Longueur de l’électroaimant : l=3,5cm

- Distance entre le milieu de l’électroaimant et l’écran : D=1,8cm (Echelle non respectée) - Pression dans l’enceinte : p=1,0mPa

- Température du jet à la sortie du four : T=1270K - Gradient de champ magnétique : ^{𝜕𝜕𝜕𝜕}_{𝜕𝜕𝑧𝑧} = 500 𝑇𝑇 𝑚𝑚⁻¹ - Argent : 𝑀𝑀 = 107𝑔𝑔.𝑚𝑚𝑝𝑝𝑙𝑙⁻¹,𝑍𝑍 = 47,𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 = 160𝑝𝑝𝑚𝑚

- Constantes : 𝑙𝑙 = 3,00 . 10⁸𝑚𝑚𝑣𝑣⁻¹,𝑒𝑒 = 1,60.10⁻¹⁹ 𝐶𝐶,ℎ= 6,62 . 10⁻³⁴𝐽𝐽𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝜕𝜕 = 1,38.10⁻²³𝐽𝐽𝐾𝐾⁻¹

Doc 5 : Actions subies par un dipôle « magnétique »

Un dipôle magnétique de moment dipolaire magnétique µ��⃗ situé en un point M dans un champ magnétostatique extérieur subit des actions telles que :

𝐹𝐹⃗ = �µ��⃗.𝑔𝑔𝑣𝑣𝑣𝑣𝑔𝑔����������⃗� 𝐵𝐵�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 Γ⃗=µ��⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗

Pour un champ magnétique selon Oz et ne dépendant que de z, on a alors : 𝐹𝐹⃗= µ_𝑧𝑧 𝜕𝜕𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑣𝑣����⃗ _𝑧𝑧

Doc 6 : Rapport gyromagnétique de spin

- Deux jeunes hollandais Uhlenbeck et Goudsmitt découvrirent que l’électron avait un moment magnétique propre et donc un moment cinétique propre comme si l’électron tournait autour de lui-même d’où le nom de spin de l’électron (tourner en anglais). La relation entre le moment magnétique et ce moment cinétique est du même type que le moment orbital.

µ_𝑠𝑠

����⃗= γ_𝑠𝑠𝑆𝑆⃗

Où γ_𝑠𝑠 est le rapport gyromagnétique de spin.

C’est l’expérience de Stern et Gerlach qui a forcé les physiciens de l’époque à introduire ce quatrième nombre quantique tel que : µ_{𝑠𝑠,𝑧𝑧} = ±γ_𝑠𝑠^ℎ₂

- Facteur de Landé : γ =𝑔𝑔 �−_2𝑚𝑚^𝑒𝑒 � 𝑝𝑝ù g > 0 est appelée facteur de Landé qui vaut 1 pour le moment cinétique orbital.

Questions

1°) Exprimer le moment cinétique orbital et le moment magnétique associé à la boucle de courant créée par le mouvement planétaire de l’électron autour du noyau.

2°) En déduire le rapport gyromagnétique orbital tel que : µ⃗ =γ 𝐿𝐿⃗

3°) D’après doc 4, le champ magnétique est-il plus intense près du pôle nord ou du pôle sud. Dans quel sens est orienté 𝑔𝑔𝑣𝑣𝑣𝑣𝑔𝑔����������⃗ 𝐵𝐵𝑧𝑧 ?

4°) Quelle est l’expression de la vitesse à la sortie du four en fonction de la température T ? 5°) Démontrer qu’il est logique de négliger le poids par rapport à la force magnétique.

6°) Etablir l’expression de la trajectoire parabolique dans l’entrefer de l’aimant : 𝜕𝜕=^µ_𝑚𝑚^{𝑧𝑧 𝜕𝜕𝜕𝜕}_{𝜕𝜕𝑧𝑧}^�

𝑦𝑦 𝑢𝑢�²

7°) Démontrer que la tâche se situe à 𝑍𝑍= µ_𝑧𝑧 ^{𝜕𝜕𝜕𝜕} 2

𝜕𝜕𝑧𝑧 𝑙𝑙𝑙𝑙 3𝑘𝑘_𝐵𝐵𝑇𝑇

8°) A partir de la simulation numérique en déduire que le moment magnétique de l’atome d’argent est de l’ordre du magnéton de Bohr µ_𝜕𝜕= _2𝑚𝑚^𝑒𝑒ℎ.

9°) En admettant que seuls les électrons de valence participent au moment magnétique de l’atome, démontrer que ce n’est pas la quantification du moment cinétique orbital qui intervient sur les valeurs de Z.

10°) D’après le document 6, expliquer les deux tâches et donnez la valeur du rapport gyromagnétique de spin. En déduire le facteur de Landé du spin de l’électron.