8 Vecteurs Pour caractériser certaines grandeurs, il suﬃt d’un nombre et d’une unité : un arbre de 8

(1)

8 Vecteurs

Pour caractériser certaines grandeurs, il suffit d’un nombre et d’une unité : un arbre de8m de haut, deux villes distantes de60km, un sac de36kg, de l’eau à 28˚. Les grandeurs caractérisées par un nombre sont dites scalaires.

D’autres grandeurs ne sont pas complètement caractérisées par un nombre.

Par exemple, un déplacement de 30 m n’est pas complètement décrit tant qu’on n’indique pas sa direction et son sens : il faut préciser, par exemple, 30 m vers l’ouest. Une grandeur vectorielle est caractérisée par un nombre, une direction et un sens. Les translations, les forces, la vitesse et l’accélération sont des grandeurs vectorielles.

Un vecteurnon nul est la donnée : – d’une direction ;

– d’un sens ;

– d’une longueur que l’on appelle la norme.

Un vecteur est l’ensemble de toutes les flèches équivalentes qui définissent la même translation. Chaque flèche est unreprésentant du vecteur.

Sans référence à un représentant, un vecteur se note par une lettre minus- cule surmontée d’une flèche : ~v, ~w, ~a, . . . L’origine et l’extrémité d’une flèche représentant un vecteur sont aussi utilisées pour le désigner : ⁻AB⁻⁻⁻^→,⁻AC⁻⁻⁻^→,⁻PQ⁻⁻⁻^→, . . . On note k~vk la norme d’un vecteur~v.

Exemple

Soit ABCDEF un hexagone régulier de centre O:

A

B

C

D E F

O

−−−−→

AF =⁻BO =⁻⁻⁻^→ ⁻OE =⁻⁻⁻^→ ⁻CD⁻⁻⁻^→sont des représentants du même vecteur.

−−−−→

BA =⁻OF =⁻⁻⁻^→ ⁻CO =⁻⁻⁻^→ ⁻DE⁻⁻⁻^→sont des représentants d’un autre vecteur.

−−−−→

BC et⁻EF⁻⁻^→ ne représentent pas le même vecteur, car ils sont de sens contraires.

−−−−→

BC et ⁻AD⁻⁻⁻^→ ne représentent pas le même vecteur, vu qu’ils n’ont pas la même norme.

Dans le cas particulier où l’origine et l’extrémité de la flèche représentant un vecteur sont confondues, il n’y a pas de déplacement et la translation corres- pondante est l’identité. Par extension, on définit le vecteur nul comme le vecteur de norme nulle dont la direction et le sens ne sont pas définis. On le note~0 ou⁻AA =⁻⁻⁻^→ ⁻BB =⁻⁻⁻^→ ⁻PP =⁻⁻^→ . . .

(2)

8.1 Énumérer tous les vecteurs qui admettent plusieurs représentants extraits des figures ci-dessous.

1) B A

C E D

F 2)

C

D

A G B

H

E F

Addition des vecteurs

La somme des vecteurs ~a et~b est le vecteur correspondant à la composition des deux translations~a et~b. On le note~a+~b.

~a ~b ~a

~b

~a+~b

On choisit des représentants des vecteurs~a et~b tels que l’origine du représen- tant de~b coïncide avec l’extrémité du représentant de~a. Le vecteur allant de l’origine de~a à l’extrémité de~b est la somme~a+~b.

On définit la soustraction vectorielle comme l’addition du vecteur opposé :

~a−~b =~a+ −~b

=−~b+~a

~a

~b

~a−~b

8.2 Dessiner le vecteur ~x=~a+~b−~c+d~.

~a

~c ~b

d~

(3)

8.3 Représenter le vecteur

1) ~x=~a−~b 2) ~y=~a+~b+~c 3) ~z =~a−~b+~c 4) ~t= 2~a+~b+~c

~b ~a

~c

8.4 Soit ABCDEF un hexagone régulier de centre O. Exprimer les vecteurs qui suivent comme un vecteur unique dont chacune des extrémités est l’un des points O, A, B, C, D, E etF.

1) ~a =⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻CD⁻⁻⁻^→ 2)~b =⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻FE⁻⁻^→ 3) ~c=⁻AC⁻⁻⁻^→−⁻FE⁻⁻^→ 4) d~=⁻EB +⁻⁻⁻^→ ⁻DE⁻⁻⁻^→

5) ~e=⁻FE +⁻⁻^→ ⁻FE⁻⁻^→ 6) f~=⁻FA +⁻⁻^→ ⁻BC +⁻⁻⁻^→ ⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻EE⁻⁻^→

O A

B C

D

E F

8.5 Soit ABCDEFGHun parallélépipède. Simplifier les vecteurs : 1) ~a =⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻FG⁻⁻⁻^→

2)~b =⁻AG +⁻⁻⁻^→ ⁻BA⁻⁻⁻^→ 3) ~c=⁻EB +⁻⁻⁻^→ ⁻CA⁻⁻⁻^→

4) d~=⁻EH +⁻⁻⁻^→ ⁻DC +⁻⁻⁻^→ ⁻GA⁻⁻⁻^→ 5) ~e=⁻AH +⁻⁻⁻^→ ⁻EB⁻⁻⁻^→

6) f~=⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻CC +⁻⁻⁻^→ ⁻BH +⁻⁻⁻^→ ⁻GF⁻⁻⁻^→

C

D

A G B

H

E F

Propriétés de l’addition des vecteurs

1) ^~^a

~b

~a+~b

~c b~

+~c

(~a+~b) +~c

~

a+ (~b+~c)

L’addition des vecteurs est associa- tive:

~a+~b

+~c=~a+ ~b+~c quels que soient les vecteurs~a,~b et~c.

2) Le vecteur nul est un élément neutre pour l’addition :

~a+~0 =~0 +~a=~a pour n’importe quel vecteur~a

(4)

3)

~a

−~a

À tout vecteur ~a est associé son vecteur opposé, noté −~a, de même direction, de sens contraire et de même norme que~a :

~a+ −~a

=~0 pour tout vecteur~a 4)

~a

~b

~a+~b

~b+~a

L’addition des vecteurs estcommuta- tive:

~a+~b=~b+~a

quels que soient les vecteurs a et b

En résumé, ces quatre propriétés signifient que l’ensemble des vecteurs, muni de l’addition vectorielle, forme un groupe commutatif.

Relation de Chasles

A

B

Soient A, B, C des points quelconques. C

−−−−→

AB +⁻BC =⁻⁻⁻^→ ⁻AC⁻⁻⁻^→

Exemples

1) ⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻DE +⁻⁻⁻^→ ⁻BD =⁻⁻⁻^→ ⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻BD +⁻⁻⁻^→ ⁻DE =⁻⁻⁻^→ ⁻AE⁻⁻⁻^→

2) ⁻BC⁻⁻⁻^→−⁻DE⁻⁻⁻^→−⁻BD =⁻⁻⁻^→ ⁻BC +⁻⁻⁻^→ ⁻ED +⁻⁻⁻^→ ⁻DB =⁻⁻⁻^→ ⁻ED +⁻⁻⁻^→ ⁻DB +⁻⁻⁻^→ ⁻BC =⁻⁻⁻^→ ⁻EC⁻⁻⁻^→

8.6 Soient A, B, C, D etE des points quelconques. Simplifier au maximum : 1) ~a =⁻BD +⁻⁻⁻^→ ⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻DC⁻⁻⁻^→ 2)~b=⁻BC +⁻⁻⁻^→ ⁻DE +⁻⁻⁻^→ ⁻DC +⁻⁻⁻^→ ⁻AD +⁻⁻⁻^→ ⁻EB⁻⁻⁻^→ 3) ~c=⁻AC⁻⁻⁻^→−⁻BD⁻⁻⁻^→−⁻AB⁻⁻⁻^→ 4) d~=⁻DA⁻⁻⁻^→−⁻DB +⁻⁻⁻^→ ⁻CD⁻⁻⁻^→−⁻BC⁻⁻⁻^→ 5) ~e=⁻EC⁻⁻⁻^→−⁻ED +⁻⁻⁻^→ ⁻CB⁻⁻⁻^→−⁻DB⁻⁻⁻^→ 6) f~=⁻AC +⁻⁻⁻^→ ⁻CE⁻⁻⁻^→−⁻AD⁻⁻⁻^→

Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Soient k ∈R et~a un vecteur. Le produit du vecteur ~a par le scalaire k, noté k ~a, est le vecteur caractérisé par :

– la direction du vecteur~a;

– le sens du vecteur~a si k >0 et le sens contraire sik < 0;

– une norme égale au produit de celle du vecteur~apar la valeur absolue de k: kk ~ak=|k| k~ak

Les vecteurs~aetk ~asontcolinéaires, c’est-à-dire qu’ils ont la même direction.

Inversement, deux vecteurs non nuls colinéaires sont multiples l’un de l’autre.

(5)

Exemples 1)

~a 3~a

−2~a

−¹2~a

2)

A

B

C

D E F

O

−−−→

FC = 2⁻AB =⁻⁻⁻^→ −2⁻DE⁻⁻⁻^→

−−−−→

AF +⁻BE = 3⁻⁻⁻^→ ⁻OE⁻⁻⁻^→

8.7 On donne (voir figure ci-dessous) les trois vecteurs ~u, ~v et w. Représenter les~ vecteurs :

1) ~a = 2~u+ 3~v 2)~b= 2~v−3~u 3) ~c=~u− w~ −¹²~v 4) d~=~u−4~v+w~ 5) ~e= 2~v− ~u− ¹2w~

~ u

~v

~ w

8.8 Soit ABCD un carré de 3 cm de côté. Dessiner les points E, F, G et H tels que :

1) ⁻BE =⁻⁻⁻^→ ⁻BD +⁻⁻⁻^→ ⁻CD⁻⁻⁻^→ 2) ⁻BF =⁻⁻^→ ¹2

−−−−→

BA−⁻AD⁻⁻⁻^→ 3) ⁻DG = 2⁻⁻⁻⁻^→ ⁻DC +⁻⁻⁻^→ ¹₂ ⁻CA⁻⁻⁻^→ 4) ⁻AH =⁻⁻⁻^→ −√

2⁻AC⁻⁻⁻^→

8.9 On donne deux points A et B distants de 3 cm (placer le point A à 8 cm du bord droite de votre feuille). Représenter sur un même dessin les points R, S, Tet U définis par :

−−−−→

AT = ⁴₅⁻AB⁻⁻⁻^→ ⁻AU =⁻⁻⁻^→ −⁵4

−−−−→

AB ⁻RA = 3⁻⁻⁻^→ ⁻AB⁻⁻⁻^→ ⁻SA =⁻⁻^→ −2⁻AB⁻⁻⁻^→

(6)

8.10 On donne deux points A et B distants de 3 cm (placer le point A au bord gauche de votre feuille). Représenter sur un même dessin les points V, W, X etY définis par :

−−−−→

VA = 3⁻VB⁻⁻⁻^→ ⁻WA =⁻⁻⁻⁻^→ −2⁻WB⁻⁻⁻⁻⁻^→ ⁻AX =⁻⁻⁻^→ ⁴5

−−−−→

XB ⁻AY =⁻⁻⁻^→ −⁵⁴ ⁻YB⁻⁻⁻^→

Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire

Soient~a,~b des vecteurs et k, m des scalaires.

1) k(~a+~b) =k ~a+k~b 2) (k+m)~a=k ~a+m ~a 3) k(m ~a) = (k m)~a 4) 1~a =~a

5) (−1)~a=−~a

6) k(−~a) = (−k)~a =−(k ~a) 7) 0~a =~0

8) k ~0 =~0

En résumé, l’ensemble des vecteurs, muni de l’addition vectorielle et de la multiplication d’un vecteur par un scalaire, forme un espace vectoriel.

8.11 Réduire l’expression :~z = 3 (~u−~v+ 2w~)− ¹²(w~ −~u) + 3 (2~v+⁵2w~).

Combinaison linéaire

Un vecteur ~v est une combinaison linéaire des vecteurs e~1, ~e2, . . . , ~en s’il existe des scalaires v1, v2, . . . , vn tels que :

~v =v1e~1+v2e~2+. . .+vne~n

Des vecteurs sont linéairement dépendantssi l’un d’eux est une combinaison linéaire des autres.

Dans le cas contraire, ils sont linéairement indépendants.

Remarque : deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s’ils sont colinéaires.

8.12 On considère les vecteurs~a,~b,~ccombinaisons linéaires des vecteurse~1,e~2,e~3 :

~a= 2e~1−e~2+ 5e~3 ~b=e~1−e~3 ~c=e~1+e~2−3e~3

Exprimer comme combinaisons linéaires des vecteurs e~1,e~2 et e~3 : 1) ~a+~b−~c 2) 3~a+ 3~b 3) ~a−~b−~c 4) 3~a+ 2~c

(7)

8.13 Exprimer les vecteurs~cetd~comme combinaisons linéaires des vecteurs~a et~b.

Construire le vecteur~x=−¹2~c−5d~et l’exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs~a et~b.

~a

~b

~ c d~

8.14 Dans le parallélépipèdeABCDEFGH, on pose :

~

e1 =⁻AB,⁻⁻⁻^→ e~2 =⁻AD,⁻⁻⁻^→ e~3 =⁻AE⁻⁻⁻^→.

Exprimer les vecteurs ⁻AF,⁻⁻⁻^→ ⁻AG,⁻⁻⁻^→ ⁻AC,⁻⁻⁻^→ ⁻BD,⁻⁻⁻^→ ⁻BG,⁻⁻⁻^→

−−−−→

BE, ⁻BH,⁻⁻⁻^→ ⁻CA,⁻⁻⁻^→ ⁻CH,⁻⁻⁻^→ ⁻CG⁻⁻⁻^→ et⁻CE⁻⁻⁻^→comme combinaisons linéaires des vecteurs e~1, e~2 et e~3.

C

D

A G B

H

E F

8.15 On considère une pyramide de sommetSdont la base ABCDest un parallélo- gramme. On pose : e~1 =⁻AB,⁻⁻⁻^→ e~2 =⁻AD,⁻⁻⁻^→ e~3 =⁻AS⁻⁻^→.

Exprimer les vecteurs⁻BS,⁻⁻^→ ⁻DS,⁻⁻^→ ⁻DB,⁻⁻⁻^→ ⁻CA,⁻⁻⁻^→ ⁻CS,⁻⁻^→ ⁻AS,⁻⁻^→ ⁻DC,⁻⁻⁻^→ ⁻AC⁻⁻⁻^→comme combinaisons linéaires des vecteurs e~1, e~2 et e~3.

8.16 Démontrer : ⁻AB =⁻⁻⁻^→ ⁻A⁻⁻⁻⁻^′⁻⁻B^→^′ ⇐⇒⁻AA⁻⁻⁻⁻⁻^→^′ =⁻BB⁻⁻⁻⁻^→^′

8.17 Les pointsA,BetCsont tels que⁻AB = 2⁻⁻⁻^→ ⁻CA + 3⁻⁻⁻^→ ⁻CB⁻⁻⁻^→. Déterminer le scalairek qui vérifie l’égalité ⁻AC =⁻⁻⁻^→ k⁻AB⁻⁻⁻^→.

8.18 Soient A, B et Otrois points quelconques. Démontrer : ⁻AB =⁻⁻⁻^→ ⁻OB⁻⁻⁻^→−⁻OA⁻⁻⁻^→.

8.19 Soient AetB deux points distincts,M le milieu du segmentABetOun point quelconque. Démontrer : ⁻OM =⁻⁻⁻⁻^→ ¹₂−−−−→

OA +⁻OB⁻⁻⁻^→ .

8.20 On donne un quadrilatère convexe ABCD. Soient P, Q, R et S les milieux respectifs des côtés AB, BC,CD etAD. Démontrer que le quadrilatèrePQRS est un parallélogramme.

Indication : utiliser les résultats des deux exercices précédents.

(8)

Réponses

8.1 1) ⁻BC =⁻⁻⁻^→ ⁻FE =⁻⁻^→ ⁻AD⁻⁻⁻^→ ⁻CB =⁻⁻⁻^→ ⁻EF =⁻⁻^→ ⁻DA⁻⁻⁻^→

−−−−→

CE = ⁻ED =⁻⁻⁻^→ ⁻BF =⁻⁻^→ ⁻FA⁻⁻^→ ⁻EC =⁻⁻⁻^→ ⁻DE =⁻⁻⁻^→ ⁻FB =⁻⁻^→ ⁻AF⁻⁻⁻^→

−−−−→

BA = ⁻CD⁻⁻⁻^→ ⁻AB =⁻⁻⁻^→ ⁻DC⁻⁻⁻^→

−−−−→

CF =⁻EA⁻⁻⁻^→ ⁻FC =⁻⁻^→ ⁻AE⁻⁻⁻^→

−−−−→

BE =⁻FD⁻⁻⁻^→ ⁻EB =⁻⁻⁻^→ ⁻DF⁻⁻⁻^→

2) ⁻AB =⁻⁻⁻^→ ⁻DC =⁻⁻⁻^→ ⁻HG =⁻⁻⁻^→ ⁻EF⁻⁻^→ ⁻AE =⁻⁻⁻^→ ⁻DH =⁻⁻⁻^→ ⁻CG =⁻⁻⁻^→ ⁻BF⁻⁻^→

−−−−→

AD = ⁻BC =⁻⁻⁻^→ ⁻EH =⁻⁻⁻^→ ⁻FG⁻⁻⁻^→ ⁻AC =⁻⁻⁻^→ ⁻EG⁻⁻⁻^→

−−−−→

AF = ⁻DG⁻⁻⁻⁻^→ ⁻BD =⁻⁻⁻^→ ⁻FH⁻⁻⁻^→

−−−−→

BE =⁻CH⁻⁻⁻^→ ⁻BG =⁻⁻⁻^→ ⁻AH⁻⁻⁻^→

−−−→

FC = ⁻ED⁻⁻⁻^→

On peut récrire ces égalités avec les vecteurs opposés.

8.4 1) ~a =⁻AO =⁻⁻⁻^→ ⁻OD =⁻⁻⁻⁻^→ ⁻BC =⁻⁻⁻^→ ⁻FE⁻⁻^→ 2)~b=⁻AC =⁻⁻⁻^→ ⁻FD⁻⁻⁻^→ 3) ~c=⁻AB =⁻⁻⁻^→ ⁻FO =⁻⁻⁻^→ ⁻OC =⁻⁻⁻^→ ⁻ED⁻⁻⁻^→ 4) d~=⁻EA =⁻⁻⁻^→ ⁻DB⁻⁻⁻^→ 5) ~e=⁻AD⁻⁻⁻^→ 6) f~=⁻FC⁻⁻^→

8.5 1) ~a =⁻AC =⁻⁻⁻^→ ⁻EG⁻⁻⁻^→ 2)~b=⁻BG =⁻⁻⁻^→ ⁻AH⁻⁻⁻^→

3) ~c=⁻HA =⁻⁻⁻^→ ⁻GB⁻⁻⁻^→ 4) d~=⁻EA =⁻⁻⁻^→ ⁻FB =⁻⁻^→ ⁻GC =⁻⁻⁻^→ ⁻HD⁻⁻⁻^→ 5) ~e=⁻AC =⁻⁻⁻^→ ⁻EG⁻⁻⁻^→ 6) f~=⁻AE =⁻⁻⁻^→ ⁻BF =⁻⁻^→ ⁻CG =⁻⁻⁻^→ ⁻DH⁻⁻⁻^→

8.6 1) ~a =⁻AC⁻⁻⁻^→ 2)~b=⁻AC +⁻⁻⁻^→ ⁻DC⁻⁻⁻^→ 3) ~c=⁻DC⁻⁻⁻^→ 4) d~=⁻CD +⁻⁻⁻^→ ⁻CA⁻⁻⁻^→ 5) ~e=~0 6) f~=⁻DE⁻⁻⁻^→ 8.7

~ a

~b

~c

d~

~e

(9)

8.8

A B

C D

E

F

G

H

8.9 ^R ^U ^A ^T ^B ^S

8.10 ^A ^X ^W ^B ^V ^Y

8.11 ~z = ⁷2~u+ 3~v+ 13w~

8.12 1) 2e~1−2e~2+ 7e~3 2) 9e~1−3e~2+ 12e~3

3) −2e~2+ 9e~3 4) 8e~1−e~2+ 9e~3

8.13

~a

~b

~c d~

~ x

~c= 5~a−2~b d~=−~a−~b ~x= ⁵₂~a+ 6~b

8.14 ⁻AF =⁻⁻⁻^→ e~1+e~3

−−−−→

AG =e~1+e~2+e~3

−−−−→

AC =e~1+e~2

−−−−→

BD =−e~1 +e~2

−−−−→

BG =e~2+e~3

−−−−→

BE =−e~1+e~3

−−−−→

BH =−e~1+e~2+e~3

−−−−→

CA =−e~1 −e~2

−−−−→

CH = −e~1+e~3

−−−−→

CG =e~3

−−−−→

CE =−e~1−e~2+e~3

8.15 ⁻BS =⁻⁻^→ −e~1+e~3

−−−→

DS =−e~2 +e~3

−−−−→

DB =e~1−e~2

−−−−→

CA =−e~1 −e~2

−−−→

CS =−e~1−e~2+e~3

−−−→

AS =e~3

−−−−→

DC =e~1

−−−−→

AC =e~1+e~2

8.17 ⁻AC =⁻⁻⁻^→ ²₅⁻AB⁻⁻⁻^→

(10)

8.21 On donne trois points non alignés O, A etB.

1) Construire les points C, D et E tels que :

−−−−→

OC = 2⁻OA ;⁻⁻⁻^→ ⁻OD =⁻⁻⁻⁻^→ ¹₂⁻OA ;⁻⁻⁻^→ ⁻OE =⁻⁻⁻^→ −²3

−−−−→

OA Quel est l’ensemble des pointsM tels que ⁻OM =⁻⁻⁻⁻^→ λ⁻OA⁻⁻⁻^→ (λ∈R) ? 2) Construire les points F, G etH tels que :

−−−−→

OF = 2⁻OA +⁻⁻⁻^→ ⁻OB ;⁻⁻⁻^→ ⁻OG =⁻⁻⁻⁻^→ ¹₂⁻OA +⁻⁻⁻^→ ⁻OB ;⁻⁻⁻^→ ⁻OH =⁻⁻⁻^→ −²3

−−−−→

OA +⁻OB⁻⁻⁻^→ Quel est l’ensemble des pointsN tels que ⁻ON =⁻⁻⁻^→ λ⁻OA +⁻⁻⁻^→ ⁻OB⁻⁻⁻^→ (λ∈R) ? 3) Construire les points I, J, KetL tels que :

−−→

OI = 2⁻OA⁻⁻⁻^→−⁻OB⁻⁻⁻^→ ⁻OJ =⁻⁻^→ −⁻OA + 2⁻⁻⁻^→ ⁻OB⁻⁻⁻^→

−−−−−→

OK = ³₂ ⁻OA⁻⁻⁻^→− ¹2

−−−−→

OB ⁻OL =⁻⁻⁻^→ ¹₂⁻OA +⁻⁻⁻^→ ¹₂⁻OB⁻⁻⁻^→

Quel est l’ensemble des points P tels que ⁻OP =⁻⁻⁻^→ λ⁻OA + (1⁻⁻⁻^→ − λ)⁻OB⁻⁻⁻^→ (λ ∈R) ?

8.22 Soit un triangle quelconqueABC. Les pointsI,JetKsont les milieux respectifs des côtésAB,BCetCA. SoitOun point quelconque du plan. Établir l’égalité vectorielle :

−−→

OI +⁻OJ +⁻⁻^→ ⁻OK =⁻⁻⁻⁻^→ ⁻OA +⁻⁻⁻^→ ⁻OB +⁻⁻⁻^→ ⁻OC⁻⁻⁻^→

8.23 Soient A et B deux points distincts,C un point situé au tiers du segment BA à partir de B etO un point quelconque du plan.

Montrer : ⁻OC =⁻⁻⁻^→ ¹₃⁻OA +⁻⁻⁻^→ ²₃⁻OB⁻⁻⁻^→.

8.24 On considère un triangle ABC et O un point quelconque du plan. Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

1) Montrer : 3⁻OG =⁻⁻⁻⁻^→ ⁻OA +⁻⁻⁻^→ ⁻OB +⁻⁻⁻^→ ⁻OC⁻⁻⁻^→. 2) Montrer : ⁻GA +⁻⁻⁻^→ ⁻GB +⁻⁻⁻^→ ⁻GC =⁻⁻⁻^→ ~0.

3) Déterminer les points P du plan qui vérifient ⁻PA +⁻⁻^→ ⁻PB +⁻⁻⁻^→ ⁻PC =⁻⁻⁻^→ ~0.

Indication : on admet dans cet exercice que le centre de gravité est le point d’intersection des médianes et qu’il se situe aux ²₃ de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Réponses

8.21 1) la droite OA

2) la droite parallèle à la droite OA passant par le point B 3) la droite AB

(11)

9 Bases

Bases de l’ensemble des vecteurs du plan

Unebasede l’ensemble V² des vecteurs du plan est un couple de vecteursnon colinéaires B = (e~1;e~2).

Toute combinaison linéairea1e~1+a²e~2détermine un unique vecteur~adu plan.

Réciproquement, tout vecteur ~a du plan se décompose de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base e~1 ete~2.

~ e₁

~ e₂

a₁e~₁ a²

~e²

~

a ~a=a¹e~¹+a²e~² ⇐⇒ ~a=

a¹ a²

Les nombres réels a1 et a2 s’appellent les composantes du vecteur~a dans la base B= (e~1;e~2).

9.1 Représenter dans la base B= (e~1;e~2) les vecteurs : a) ~a =

1 3

b) ~b = 2

2

c) ~c= −1

−2

d) d~= −3

1

e) ~e= −1

1 2

~ e₁

~ e₂

9.2 Soit un hexagone régulier de centre O. Donner les composantes des vecteurs qui suivent

a) ⁻EA⁻⁻⁻^→ b) ⁻DC⁻⁻⁻^→ c) ⁻BC⁻⁻⁻^→ d) ⁻ED⁻⁻⁻^→ e) ⁻CF⁻⁻⁻^→ f) ⁻AD⁻⁻⁻^→

O A

B C

D

E F

1) dans la base B =−−−−→

OA ;⁻OB⁻⁻⁻^→

; 2) dans la base B =−−−−→

OC ;⁻OA⁻⁻⁻^→ .

(12)

Bases de l’ensemble des vecteurs de l’espace

Des vecteurs de l’espace sont ditscoplanairess’ils sont représentables par des flèches contenues dans un même plan.

Exemples Soit un parallélipipède ABCDEFGH.

A B

C

D

E F

G

H

A B

C

D

E F

G

H

−−−−→

AB,⁻DH⁻⁻⁻^→et⁻DG⁻⁻⁻⁻^→sont coplanaires. ⁻DF,⁻⁻⁻^→ ⁻EC⁻⁻⁻^→et⁻HG⁻⁻⁻^→sont coplanaires.

Remarques

1) Deux vecteurs de l’espace sont toujours coplanaires, qu’ils soient coli- néaires ou non.

2) Trois vecteurs non nuls de l’espace sont coplanaires si et seulement si l’on peut exprimer l’un des vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres.

Dans les exemples précédents, ⁻DG =⁻⁻⁻⁻^→ ⁻AB +⁻⁻⁻^→ ⁻DH⁻⁻⁻^→ et ⁻HG =⁻⁻⁻^→ ¹₂⁻DF +⁻⁻⁻^→ ¹₂⁻EC.⁻⁻⁻^→

Une base de l’ensemble V³ des vecteurs de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires B= (e~1;e~2;e~3).

Toute combinaison linéaire a1e~1+a2e~2+a3e~3 détermine un unique vecteur~a de l’espace.

Réciproquement, tout vecteur ~a de l’espace se décompose de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base e~¹, e~² ete~³.

~

e1 e~₂

~ e₃

a¹ e~¹

a₂e~₂ a³

~e³

~ a

~a=a¹e~¹+a²e~²+a³e~³

⇐⇒ ~a =



 a1

a² a³





Les nombres réelsa¹, a² eta³ s’appellent les composantesdu vecteur~a dans la base B= (e~ ;e~ ;e~).

(13)

9.3

D

A

B C H

E

F G

T M

R

Soit le parallélipipède ABCDEFGH. On appelle M le milieu du côté CG, R le milieu du côté BC et T le centre du paral- lélogramme ABEF. Déterminer les composantes des vecteurs qui suivent :

a) ⁻AB⁻⁻⁻^→ b) ⁻AE⁻⁻⁻^→ c) ⁻AR⁻⁻⁻^→ d) ⁻DT⁻⁻⁻^→ e) ⁻MD⁻⁻⁻⁻^→ 1) dans la base B=−−−−→

AB ;⁻AD ;⁻⁻⁻^→ ⁻AE⁻⁻⁻^→

; 2) dans la base B=−−−−−→

CM ;⁻CD ;⁻⁻⁻^→ ⁻BR⁻⁻⁻^→ .

Opérations avec les composantes

Proposition Soient deux vecteurs~a = a¹

a²

et~b = b¹

b²

du plan donnés par leurs composantes dans une base B= (e~1;e~2)et un nombre réel λ. Alors :

1) ~a+~b= a¹

a2

+

b¹ b2

=

a¹+b¹ a2+b2

; 2) λ ~a=λ

a¹ a2

= λ a¹

λ a2

.

Preuve

1) ~a+~b =a¹e~¹+a²e~²+b¹e~¹+b²e~² = (a¹+b¹)e~¹+ (a²+b²)e~² =

a¹+b¹ a²+b²

2) λ ~a=λ(a¹e~¹ +a²e~²) = (λ a¹)e~¹ + (λ a²)e~² = λ a¹

λ a²

9.4 Énoncer et démontrer un résultat similaire pour les vecteurs de l’espace.

9.5 Dans une base B= (e~1;e~2), on donne les vecteurs

~a= 3

7

~b= −4

6

~c= 5

2

Déterminer les composantes des vecteurs qui suivent dans la base B : 1) ~a+ 4~b−5~c 2) −3~a+¹2~b−~c 3) 5~b−2~c

9.6 Dans une base B= (e~¹;e~²;e~³), on donne les vecteurs

~a=



 1

−3 2



 ~b=



 0 8

−5



 ~c=



 2 18

−11



 d~=



 35 14

−10



 f~=





−2

−1 0





Déterminer les composantes des vecteurs qui suivent dans la base B :

(14)

1) 2~a−~b+ 2d~ 2) −~c+ 3f~ 3) ¹₂~a− ¹₃~c+ 2d~

9.7 Dans une base B= (e~1;e~2), on donne les vecteurs

~ v1 =

−2 3

~ v2 =

−1 4

~ v3 =

3 4

~ v4 =

4 0

Trouver le vecteur~v en résolvant les équations, puis calculer ses composantes.

1) ~v+ 2v~²−5v~¹ =~0 2) −3~v−v~³ = ¹2v~³−v~¹ 3) ⁵3~v+ ³2v~⁴ =v~³−2v~²

9.8 Déterminer les composantes des vecteurs~a,~b,~c etd~dans la base B= (~u;~v).

~ u

~v

~a

~b

~c

d~

Dépendance linéaire et déterminants

Proposition Soient deux vecteurs~a = a1

a²

et~b = b1

b²

du plan donnés par leurs composantes dans une base B= (e~1;e~2). Alors

det(~a;~b)

=|a¹b²−a²b¹|= aire du parallélogramme construit sur~a et~b aire du parallélogramme construit sure~1 et e~2

Preuve

~a

~b

~ e₁

~ e₂

a₁

b₂ b₁

a₂