Complexes Part Ouane

(1)

Complexes Part Ouane

Guillaume CONNAN

Lycée Jean Perrin

8 septembre 2010

( Lycée Jean Perrin) 1 / 33

(2)

Sommaire

1 Approche historique

Les équations du second degré Paraboles et hyperboles La Renaissance italienne

Un saut dans l'espace-temps : combien l'équation x³+px+q=0 a-t-elle de solutions dans R ? Résolvons ces équations Descartes et les imaginaires

Une notation malheureuse

Une représentation géométrique des nombres

Les Français rationnels

Somme des nombres imaginaires Produit de nombres imaginaires Gauss : clair et génial

2 Approche moderne Cinéma

(3)

Approche historique

Sommaire

(4)

Approche historique Les équations du second degré

Sommaire

(5)

Sommaire

(6)

( E ) ⇔ x ( x

²

+ a ) = b ( E ) ⇔ x

²

+ a = b

x ou x = 0

(7)

Approche historique La Renaissance italienne

Sommaire

(8)

Sommaire

(9)

f : x 7→ x

³

+ px + q

x

−∞ −

a a

+∞

Signe f

⁰(

x

) +

0

−

0

+

f

(−

a

) +∞

f

(

x

) ^@_@

@ R

−∞

f

(

a

)

(10)

f : x 7→ x

³

+ px + q

x −∞ − a a +∞

Signe f

⁰

( x ) + 0 − 0 +

f (− a ) +∞

f ( x )

^@_@

@ R

−∞ f ( a )

(11)

Montrez que f ( a ) = q − 2a

³

et f (− a ) = q + 2a

³

en utilisant le fait que f ( a ) = 0.

Que vaut f

(a)·

f

(−

a) = ? Pourquoi a-t-on f

(

a

)<

f

(−

a

)

?

Entamez alors la discussion en distinguant trois cas ( Si f

(

a

)

et f

(−

a

)

sont tous deux de même signe, c'est à dire si f

(a)·

f

(−

a)

>

0 soit encore si 4p

³+

27q

²>

0 alors f ne s'annule qu'une seule fois et...)

(12)

Montrez que f ( a ) = q − 2a

³

et f (− a ) = q + 2a

³

en utilisant le fait que f ( a ) = 0.

Que vaut f (a) · f (− a) = ? Pourquoi a-t-on f

(

a

)<

f

(−

a

)

?

Entamez alors la discussion en distinguant trois cas ( Si f

(

a

)

et f

(−

a

)

sont tous deux de même signe, c'est à dire si f

(a)·

f

(−

a)

>

0 soit encore si 4p

³+

27q

²>

0 alors f ne s'annule qu'une seule fois et...)

(13)

Montrez que f ( a ) = q − 2a

³

et f (− a ) = q + 2a

³

en utilisant le fait que f ( a ) = 0.

Que vaut f (a) · f (− a) = ? Pourquoi a-t-on f ( a )

<

f (− a ) ?

Entamez alors la discussion en distinguant trois cas ( Si f

(

a

)

et f

(−

a

)

sont tous deux de même signe, c'est à dire si f

(a)·

f

(−

a)

>

0 soit encore si 4p

³+

27q

²>

0 alors f ne s'annule qu'une seule fois et...)

(14)

Montrez que f ( a ) = q − 2a

³

et f (− a ) = q + 2a

³

en utilisant le fait que f ( a ) = 0.

Que vaut f (a) · f (− a) = ? Pourquoi a-t-on f ( a )

<

f (− a ) ?

Entamez alors la discussion en distinguant trois cas ( Si f ( a ) et f (− a ) sont tous deux de même signe, c'est à dire si f (a) · f (− a)

>

0 soit encore si 4p

³

+ 27q

²>

0 alors f ne s'annule qu'une seule fois et...)

(15)

Sommaire

(16)

3

s

− q 2 +

r

q

²

4 + p

³

27 +

³ s

− q 2 −

r

q

²

4 + p

³

27

(

E

₁) :

x

³−

36x

−

91

=

0

(

E

2) :

x

³−

15x

−

4

=

0 Calculez 2

+√

−

1

₃

et 2

−√

−

1

₃

(17)

3

s

− q 2 +

r

q

²

4 + p

³

27 +

³ s

− q 2 −

r

q

²

4 + p

³

27 ( E

₁

) : x

³

− 36x − 91 = 0

(

E

2) :

x

³−

15x

−

4

=

0 Calculez 2

+√

−

1

₃

et 2

−√

−

1

₃

(18)

3

s

− q 2 +

r

q

²

4 + p

³

27 +

³ s

− q 2 −

r

q

²

4 + p

³

27 ( E

₁

) : x

³

− 36x − 91 = 0

( E

2

) : x

³

− 15x − 4 = 0 Calculez 2

+√

−

1

₃

et 2

−√

−

1

₃

(19)

3

s

− q 2 +

r

q

²

4 + p

³

27 +

³ s

− q 2 −

r

q

²

4 + p

³

27 ( E

₁

) : x

³

− 36x − 91 = 0

( E

2

) : x

³

− 15x − 4 = 0 Calculez 2 + √

− 1

₃

et 2 − √

− 1

₃

(20)

Approche historique Descartes et les imaginaires

Sommaire

(21)

Approche historique Descartes et les imaginaires

Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires ; c'est-à-dire qu'on peut bien toujours en imaginer autant que j'ay dit en chaque équation ; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine ; comme encore qu'on puisse imaginer trois eb celle-ci x

³

− 6xx + 13x − 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une réelle qui est 2 ; et pour les autres, quoy qu'on les augmente, ou diminuë, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires.

(22)

Approche historique Une notation malheureuse

Sommaire

(23)

Vous avez de même établi que √ a · √

b = √

a · b. Sauriez-vous le démontrer en utilisant la dénition rappelée ci-dessus ?

Si l'on généralise cette dernière règle à tous les réels, à quoi devrait être égal :

. √

−1·√

−1 ?

. √

−12?

Qu'en pensez-vous ? Calculez de même

√

−

2

·√

−

3 de deux manières diérentes.

(24)

Vous avez de même établi que √ a · √

b = √

a · b. Sauriez-vous le démontrer en utilisant la dénition rappelée ci-dessus ?

Si l'on généralise cette dernière règle à tous les réels, à quoi devrait être égal :

. √

−1·√

−1 ?

. √

−12?

Qu'en pensez-vous ? Calculez de même

√

−

2

·√

−

3 de deux manières diérentes.

(25)

Vous avez de même établi que √ a · √

b = √

a · b. Sauriez-vous le démontrer en utilisant la dénition rappelée ci-dessus ?

Si l'on généralise cette dernière règle à tous les réels, à quoi devrait être égal :

. √

−1·√

−1 ?

. √

−12?

Qu'en pensez-vous ? Calculez de même

√

−

2

·√

−

3 de deux manières diérentes.

(26)

Vous avez de même établi que √ a · √

b = √

a · b. Sauriez-vous le démontrer en utilisant la dénition rappelée ci-dessus ?

Si l'on généralise cette dernière règle à tous les réels, à quoi devrait être égal :

. √

−1·√

−1 ?

. √

−12?

Qu'en pensez-vous ? Calculez de même

√

−

2

·√

−

3 de deux manières diérentes.

(27)

Vous avez de même établi que √ a · √

b = √

a · b. Sauriez-vous le démontrer en utilisant la dénition rappelée ci-dessus ?

Si l'on généralise cette dernière règle à tous les réels, à quoi devrait être égal :

. √

−1·√

−1 ?

. √

−12?

Qu'en pensez-vous ? Calculez de même

√

−

2

·√

−

3 de deux manières diérentes.

(28)

Vous avez de même établi que √ a · √

b = √

a · b. Sauriez-vous le démontrer en utilisant la dénition rappelée ci-dessus ?

Si l'on généralise cette dernière règle à tous les réels, à quoi devrait être égal :

. √

−1·√

−1 ?

. √

−12?

Qu'en pensez-vous ? Calculez de même √

− 2 · √

− 3 de deux manières diérentes.

(29)

À l'aide de cette notation, écrivez le plus simplement possible les nombres qui ont pour carré − 25 ; − 2 ; − √

3

(30)

Approche historique Une représentation géométrique des nombres

Sommaire

(31)

Sommaire

(32)

Considérez un triangle EIA quelconque et soit K le projeté orthogonal de E sur [IA]. Montrez que

KA × KI = KE

²

(33)

Sommaire

(34)

L'addition de deux segments se fait de la manière suivante : on les combine en faisant partir l'un d'un point où l'autre se

termine ; puis on joint par un nouveau segments les deux bouts de la ligne brisée ainsi obtenue.

(35)

Sommaire

(36)

(+1) · (+1) = +1,

(+

1

)·(−

1

) =−

1,

(−

1

)·(−

1

) = +

1,

(+

1

)·(+) = +

(+ 1 )

·

(−) =

−

(− 1)

·

(+) =

−

(− 1 )

·

(−) = + (+)

·

(+) = + (+)

·

(−) = + 1 (−)

·

(−) =

−

1.

(37)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1,

(−

1

)·(−

1

) = +

1,

(+

1

)·(+) = + (+

1

)·(−) =−

(− 1)

·

(+) =

−

(− 1 )

·

(−) = + (+)

·

(+) = + (+)

·

(−) = + 1 (−)

·

(−) =

−

1.

(38)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1, (− 1 ) · (− 1 ) = + 1,

(+

1

)·(+) = + (+

1

)·(−) =−

(−

1)

·(+) =−

(− 1 )

·

(−) = + (+)

·

(+) = + (+)

·

(−) = + 1 (−)

·

(−) =

−

1.

(39)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1, (− 1 ) · (− 1 ) = + 1, (+ 1 ) · (+) = +

(+

1

)·(−) =−

(−

1)

·(+) =− (−

1

)·(−) = +

(+)

·

(+) = + (+)

·

(−) = + 1 (−)

·

(−) =

−

1.

(40)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1, (− 1 ) · (− 1 ) = + 1, (+ 1 ) · (+) = + (+ 1 ) · (−) = −

(−

1)

·(+) =− (−

1

)·(−) = + (+)·(+) = +

(+)

·

(−) = + 1 (−)

·

(−) =

−

1.

(41)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1, (− 1 ) · (− 1 ) = + 1, (+ 1 ) · (+) = + (+ 1 ) · (−) = −

(− 1) · (+) = −

(−

1

)·(−) = + (+)·(+) = + (+)·(−) = +

1 (−)

·

(−) =

−

1.

(42)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1, (− 1 ) · (− 1 ) = + 1, (+ 1 ) · (+) = + (+ 1 ) · (−) = −

(− 1) · (+) = − (− 1 ) · (−) = +

(+)·(+) = + (+)·(−) = +

1

(−)·(−) =−

1.

(43)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1, (− 1 ) · (− 1 ) = + 1, (+ 1 ) · (+) = + (+ 1 ) · (−) = −

(− 1) · (+) = − (− 1 ) · (−) = + (+) · (+) = +

(+)·(−) = +

1

(−)·(−) =−

1.

(44)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1, (− 1 ) · (− 1 ) = + 1, (+ 1 ) · (+) = + (+ 1 ) · (−) = −

(− 1) · (+) = − (− 1 ) · (−) = + (+) · (+) = + (+) · (−) = + 1

(−)·(−) =−

1.

(45)

(+1) · (+1) = +1, (+ 1 ) · (− 1 ) = − 1, (− 1 ) · (− 1 ) = + 1, (+ 1 ) · (+) = + (+ 1 ) · (−) = −

(− 1) · (+) = − (− 1 ) · (−) = + (+) · (+) = + (+) · (−) = + 1 (−) · (−) = − 1.

(46)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂ :

2

,⁴₃^π

z

₃ : ₃

2,−^π₄

z

4 : ₂

3,^π₄

z

5

:

2

,^π₂

z

₆

: 1,

^π₂

z

₇

:

2

,³₂^π

z

₈

:

1

,⁵₂^π

z

9

:

₂

3, π

z

10

:

₃

2,

2

π

(47)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃ : ₃

2,−^π₄

z

4 : ₂

3,^π₄

z

5 :

2

,^π₂

z

₆

: 1,

^π₂

z

₇

:

2

,³₂^π

z

₈

:

1

,⁵₂^π

z

9

:

₂

3, π

z

10

:

₃

2,

2

π

(48)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃

:

₃

2,

−

^π₄

z

4 : ₂

3,^π₄

z

5 :

2

,^π₂

z

₆ :

1,

^π₂

z

₇

:

2

,³₂^π

z

₈

:

1

,⁵₂^π

z

9

:

₂

3, π

z

10

:

₃

2,

2

π

(49)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃

:

₃

2,

−

^π₄

z

4

:

₂

3,^π₄

z

5 :

2

,^π₂

z

₆ :

1,

^π₂

z

₇ :

2

,³₂^π

z

₈

:

1

,⁵₂^π

z

9

:

₂

3, π

z

10

:

₃

2,

2

π

(50)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃

:

₃

2,

−

^π₄

z

4

:

₂

3,^π₄

z

5

:

2

,^π₂

z

₆ :

1,

^π₂

z

₇ :

2

,³₂^π

z

₈ :

1

,⁵₂^π

z

9

:

₂

3, π

z

10

:

₃

2,

2

π

(51)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃

:

₃

2,

−

^π₄

z

4

:

₂

3,^π₄

z

5

:

2

,^π₂

z

₆

: 1,

^π₂

z

₇ :

2

,³₂^π

z

₈ :

1

,⁵₂^π

z

9 : ₂

3, π

z

10

:

₃

2,

2

π

(52)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃

:

₃

2,

−

^π₄

z

4

:

₂

3,^π₄

z

5

:

2

,^π₂

z

₆

: 1,

^π₂

z

₇

:

2

,³₂^π

z

₈ :

1

,⁵₂^π

z

9 : ₂

3, π

z

10 : ₃

2,

2

π

(53)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃

:

₃

2,

−

^π₄

z

4

:

₂

3,^π₄

z

5

:

2

,^π₂

z

₆

: 1,

^π₂

z

₇

:

2

,³₂^π

z

₈

:

1

,⁵₂^π

z

9 : ₂

3, π

z

10 : ₃

2,

2

π

(54)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃

:

₃

2,

−

^π₄

z

4

:

₂

3,^π₄

z

5

:

2

,^π₂

z

₆

: 1,

^π₂

z

₇

:

2

,³₂^π

z

₈

:

1

,⁵₂^π

z

9

:

₂

3, π

z

10 : ₃

2,

2

π

(55)

z

₁

: 2,

^π₂

z

₂

:

2

,⁴₃^π

z

₃

:

₃

2,

−

^π₄

z

4

:

₂

3,^π₄

z

5

:

2

,^π₂

z

₆

: 1,

^π₂

z

₇

:

2

,³₂^π

z

₈

:

1

,⁵₂^π

z

9

:

₂

3, π

z

10

:

₃

2,

2

π

(56)

( E

1

) :

₃

2,

−

^π₄

· z = 3

,₁₂^π (

E

2) :

2

,^π₃

·

z

=

1

,^π₆

(57)

( E

1

) :

₃

2,

−

^π₄

· z = 3

,₁₂^π

( E

2

) :

2

,^π₃

· z = 1

,^π₆

(58)

Écrivez la suite des puissances entières successives de 1, −

^π₃

. Faites de même avec

[

r

, θ]

.

(59)

Écrivez la suite des puissances entières successives de 1, −

^π₃

. Faites de même avec [ r

, θ]

.

(60)

Approche historique Gauss : clair et génial

Sommaire

(61)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i )

(

3

−

4i

)−(−

1

+

i

) (

a

+

bi

) + (

c

+

di

)

4

(

2

+

7i

)

( 4 + 3i )( 2 + i )

(− 2

−

i )( 3 + 2i ) (a + bi)(c + di) ( a + ib )

²

( a + ib )( a

−

ib )

(62)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i ) ( 3 − 4i ) − (− 1 + i )

(

a

+

bi

) + (

c

+

di

)

4

(

2

+

7i

)

(

4

+

3i

)(

2

+

i

)

(− 2

−

i )( 3 + 2i ) (a + bi)(c + di) ( a + ib )

²

( a + ib )( a

−

ib )

(63)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i ) ( 3 − 4i ) − (− 1 + i ) ( a + bi ) + ( c + di ) 4

(

2

+

7i

)

(

4

+

3i

)(

2

+

i

)

(−

2

−

i

)(

3

+

2i

)

(a + bi)(c + di) ( a + ib )

²

( a + ib )( a

−

ib )

(64)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i ) ( 3 − 4i ) − (− 1 + i ) ( a + bi ) + ( c + di ) 4 ( 2 + 7i )

(

4

+

3i

)(

2

+

i

)

(−

2

−

i

)(

3

+

2i

) (a+

bi)(c

+

di) ( a + ib )

²

( a + ib )( a

−

ib )

(65)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i ) ( 3 − 4i ) − (− 1 + i ) ( a + bi ) + ( c + di ) 4 ( 2 + 7i )

( 4 + 3i )( 2 + i )

(−

2

−

i

)(

3

+

2i

) (a+

bi)(c

+

di)

(

a

+

ib

)²

( a + ib )( a

−

ib )

(66)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i ) ( 3 − 4i ) − (− 1 + i ) ( a + bi ) + ( c + di ) 4 ( 2 + 7i )

( 4 + 3i )( 2 + i )

(− 2 − i )( 3 + 2i )

(a+

bi)(c

+

di)

(

a

+

ib

)² (

a

+

ib

)(

a

−

ib

)

(67)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i ) ( 3 − 4i ) − (− 1 + i ) ( a + bi ) + ( c + di ) 4 ( 2 + 7i )

( 4 + 3i )( 2 + i )

(− 2 − i )( 3 + 2i ) (a + bi)(c + di)

(

a

+

ib

)² (

a

+

ib

)(

a

−

ib

)

(68)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i ) ( 3 − 4i ) − (− 1 + i ) ( a + bi ) + ( c + di ) 4 ( 2 + 7i )

( 4 + 3i )( 2 + i )

(− 2 − i )( 3 + 2i ) (a + bi)(c + di) ( a + ib )

² (

a

+

ib

)(

a

−

ib

)

(69)

( 3 + 5i ) + ( 9 − 2i ) ( 3 − 4i ) − (− 1 + i ) ( a + bi ) + ( c + di ) 4 ( 2 + 7i )

( 4 + 3i )( 2 + i )

(− 2 − i )( 3 + 2i ) (a + bi)(c + di) ( a + ib )

²

( a + ib )( a − ib )

(70)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, placez les points correspondant à :

1 i

−

i 2

−

i

1 + i 3

−

2i

1+i√ 2 3

(71)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, placez les points correspondant à :

1 i

−

i 2

−

i

1

+

i 3

−

2i

1+i√ 2 3

(72)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, placez les points correspondant à :

1 i

− i 2

−

i

1

+

i 3

−

2i

1+i√ 2 3

(73)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, placez les points correspondant à :

1 i

− i 2 − i

1

+

i 3

−

2i

1+i√ 2 3

(74)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, placez les points correspondant à :

1 i

− i 2 − i

1 + i 3

−

2i

1+i√ 2 3

(75)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, placez les points correspondant à :

1 i

− i 2 − i

1 + i 3 − 2i

1+i√ 2 3

(76)

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, placez les points correspondant à :

1 i

− i 2 − i

1 + i 3 − 2i

1+i√ 2 3

(77)

Approche moderne

Sommaire

(78)

Approche moderne

(1, 1)

1 1

0 R

(1, 0)

(79)

Approche moderne Cinéma

Sommaire

(80)

Approche moderne Cinéma

Un magnique lm résume nos premières aventures. Il se trouve à l'adresse suivante :

Le Film