Math´ematiques BTS2 CIRA
R´esum´e du cours sur la transformation de LAPLACE
D´efinitions
Echelon unit´e :U(x) =
½0 six <0 1 six≥0 Fonction causale : nulle surR∗− Transform´ee def causale :F(p) =
Z ∞
0
f(t)e−ptdt F est la transform´ee def et f est l’original deF
la convol´ee def et deg not´eef∗gest la fonction d´efinie part7→
Z t
0
f(x)g(t−x)dx
Formulaire Propri´et´es
Fonction Transform´ee
δ 1
U 1
p e−atU(t) 1 p+a tnU(t) n!
pn+1
cos(ωt)U(t) p
p2+ω2
sin(ωt)U(t) ω
p2+ω2
Fonction Transform´ee
f +λg F+λG
f(t)e−αtU(t) F(p+a) f(t−τ)U(t−τ) F(p)e−τ p
f∗g
convolution F(p)×G(p) U(t)f0(t) p×F(p)−f(0+) U(t)
Z t
0
f(x)dx F(p)
p f∗g
convolution F(p)×G(p) Th´eor`emes de la valeur initiale, de la valeur finale
p→+∞lim pF(p) =f(0+) et lim
p→0pF(p) = lim
t→∞f(t) Transform´ee d’une fonction p´eriodique
Si f est p´eriodique de p´eriode T alors en notant f0 la restriction de f `a l’intervalle [0;T] et F0 sa transform´ee de Laplace, on a :F(p) =F0(p)× 1
1−e−pT Int´egration et d´erivation d’une transform´ee
On a :F0(p) =L[−tf(t)U(t)] et Z +∞
p
F(u)du=L
·f(t) t
¸
o`uLrepr´esente la transformation de Laplace.
[St´ephane LE METEIL 20-1-2005]
