Exercice 1 10 points)
Une entreprise fabrique des fermes industrielles. Elle d´esire ´etudier le ph´enom`ene de fluage (d´eformation en fonction du temps sous charge constante) du bois utilis´e pour les poutres.
Pour cela, elle utilise le mod`ele de Kelvin-Voigt :
Si l’on noteεla fonction d´efinie sur [ 0 ; +∞[ repr´esentant la d´eformation sous charge constante en fonction du tempst, alors :
εest la solution de l’´equation diff´erentielle : η
Ey+y= σ
E v´erifiant la condition initiale ε(0) = 0, o`uσrepr´esente la contrainte ;ηetEsont des constantes d´ependant du mat´eriau utilis´e.
On suppose que le bois utilis´e `a pour caract´eristiques :η= 4×109 Mpa.s etE = 5000 Mpa, et que la contrainte impos´ee dans le test est :σ= 20 Mpa (Mpa : megapascal). Le tempstest exprim´e en secondes.
L’´equation diff´erentielle permettant de d´eterminerεest donc 8.105y+y= 0004 (1).
Partie I.
1°)R´esoudre l’´equation diff´erentielle : 8.105y+y= 0 o`uyest une fonction de la variable t, d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [ 0 ; +∞[ et o`uyest la fonction d´eriv´ee dey.
2°)D´eterminer une fonction constanteg, solution particuli`ere de l’´equation (1).
3°)En d´eduire la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (1).
4°)D´eterminerε.
Partie II.
On admet que pour touttdans [ 0 ; +∞[ :ε(t) = 00041−e−12510t. 1°)Montrer que la fonction d´eriv´eeεdeεsur [ 0 ; +∞[ est d´efinie par
ε(t) = 5×10−9e−12510t
puis en d´eduire le sens de variation deεsur son ensemble de d´efinition.
2°)Tracer la courbe repr´esentative deεdans le rep`ere orthogonal (O;ı )
(Unit´es graphiques : 1 cm repr´esente 5×105s sur l’axe des abscisses et 1 cm repr´esente 0,0005 sur l’axe des ordonn´ees.)
3°)On admet que la d´eformation maximale est de 0,004.
A partir de quelle valeur de´ t la d´eformation atteint-elle 95 : de sa d´eformation maximale ? Arrondir le r´esultat `a 1 pr`es.
Exprimer ce temps en jours (arrondir `a 1 jour pr`es).
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Exercice 2 10 points)
Certaines poutres n´ecessaires `a la r´ealisation des fermes ont une section rectangulaire de largeur 180 mm et de longueur 200 mm. La tol´erance est de 1 mm, c’est-`a-dire que l’on consid`ere comme largeur acceptable toute valeur de l’intervalle [ 179 ; 181 ] et comme longueur acceptable toute valeur de l’intervalle [ 199 ; 201 ].
Partie I.
On r´ealise une ´etude de la largeur et de la longueur de la section des poutres d’un
´echantillon de 100 poutres prises au hasard dans la production.
Le tableau suivant indique dans chaque case le nombre de poutres correspondant aux intervalles indiqu´es.
Largeurs mesur´ees en mm)
Longeursmesur´eesenmm)
[ 178 ; 1785 [ [ 1785 ; 179 [ [ 179 ; 1795 [ [ 1795 ; 180 [ [ 180 ; 1805 [ [ 1805 ; 181 [ [ 181 ; 1815 [ [ 1815 ; 182 [
[ 198 ; 1985 [ 1
[ 1985 ; 199 [ 1 1 2 1
[ 199 ; 1995 [ 1 1 4 4 6 2 1
[ 1995 ; 200 [ 7 11 9 7
[ 200 ; 2005 [ 1 5 9 6 7 1
[ 2005 ; 201 [ 1 2 2 1
[ 201 ; 2015 [ 1 1 1 1
[ 2015 ; 202 [ 1 1
On consid`ere une poutre prise au hasard dans l’´echantillon.
1°)On notel’´ev´enement : « la poutre a une section de largeur acceptable ».
CalculerP().
2°)On noteEl’´ev´enement : « la poutre a une section de largeur et de longueur accept- ables ». Montrer que 83
100P(E) 86 100. Partie II.
On admet que la probabilit´e qu’une poutre, prise au hasard dans la production, soit conforme, est 0,9.
La construction d’une ferme n´ecessite 15 poutres de ce type.
On note X la variable al´eatoire qui, `a chaque lot de 15 poutres, associe le nombre de poutres conformes.
La production est suffisamment importante pour que l’on assimile cette exp´erience `a une succession de 15 tirages avec remise.
1°)Quelle est la loi suivie parX? Pr´eciser les param`etres de cette loi.
2°) a)Calculer la probabilit´e que, dans un lot de 15 poutres choisies au hasard, toutes les poutres soient conformes. Donner une valeur arrondie `a 10−3pr`es.
b)Calculer la probabilit´e que, dans un loi de 15 poutres choisies au hasard, il y ait au plus une poutre non conforme. Donner une valeur arrondie `a 10−3pr`es.
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Partie III.
Une commande n´ecessite 1500 poutres. On veut ´evaluer la probabilit´e que le nombre de poutres non conformes soit d’au plus 160.
On noteXla variable al´eatoire qui, `a chaque lot de 1500 poutres, associe le nombre de poutres conformes.
On admet queXsuit la loi binomiale(1500; 09).
1°)En quoi le calcul deP(X>1340) est-il « difficile » ?
2°) a)Pour ce calcul, on d´ecide d’approcher la loi deXpar une loi normale.
Pr´eciser les param`etres de cette loi.
On noteraY la variable al´eatoire qui suit cette loi.
b)Calculer une valeur approch´ee `a 10−3pr`es deP(Y >1340).
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