DEVELOPPEMENTS LIMITES

1

DEVELOPPEMENTS LIMITES

1) Développement limité au voisinage de 0 a) Définition

Soit f une fonction définie au voisinage de 0 à valeurs réelles ou complexes et soitn un entier naturel On dit que f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 s’il existe

(

0 1

)

¹

n

a ,a ,...,an ∈K ⁺ tel que, pour tout x au voisinage de 0,

( ) ( )

0 n

k n

k k

f x a x o x

=

=

∑

+ On dit aussi, plus simplement, f admet un développement limité à l’ordren en 0 Remarque importante :

La relation

( ) ( )

0 n

k n

k k

f x a x o x

=

=

∑

+ peut aussi s’écrire

( ) ( )

0 n

k n

k k

f x a x x ε x

=

=

∑

+ ^{avecε fonction}

définie au voisinage de 0 telle que

( )

0 0

x

limε x

→ =

b) Unicité du développement limité

Si f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0, il est unique Démonstration :

Supposons qu’il existe

(

0 1

)

¹

n

a ,a ,...,an ∈K ⁺ et

(

0 1

)

¹

n

b ,b ,...,bn ∈K⁺ tel que, au voisinage de 0,

( ) ( )

0 n

k n

k k

f x a x o x

=

=

∑

+ ^{, et}

^{( ) ( )}

0 n

k n

k k

f x b x o x

=

=

∑

+

Montrons que

(

a ,a ,...,a0 1 n

) (

= b ,b ,...,b0 1 n

)

Pour cela supposons que

(

a ,a ,...,a0 1 n

) (

≠ b ,b ,...,b0 1 n

)

( ) ( ) ( ) ^{( )} ( )

0 0 0

n n n

k n k n k n

k k k k

k k k

f x a x o x b x o x a b x o x

= = =

=

∑

+ =

∑

+ ⇒

∑

− =

Posons p=min k

{

∈ ⁰,n ak≠bk

}

, on a alors ⁿ

(

^{k k}

)

^k

( )

ⁿ

k p

a b x o x

=

− =

∑

En divisant par x^p , on obtient pour x≠0 ,

( ) ( )

₀

1

0

n

k p n p

p p k k

k p x

a b b a x ⁻ o x ⁻

= + →

− =

∑

− + →

Ce qui est absurde puisque

a

p

≠ b

p , donc

( a ,a ,...,a

0 1 n

) ( = b ,b ,...,b

0 1 n

)

c) Définition 2

Si f admet un développement limité à l’ordren au voisinage de 0 de la forme

( ) ( )

0 n

k n

k k

f x a x o x

=

=

∑

+ , alors la fonction polynomiale

0 n

k k k

x a x

∑

=

֏ s’appelle partie régulière du développement limité de f à l’ordren en 0

2 Un exemple :

Considérons la fonction 1 f : x 1

−x

֏ , cette fonction est définie au voisinage de 0 (par exemple sur

] [ ^{− 11 ,}

) et on a :

{ }

^{1 1}

( )

0 0

1 1

1 1 1 1 1

n n n n

k k n

k k

x x x

x \ , x f x x x

x x x x

+ +

= =

∀ ∈ = − = − ⇒ = +

− − − −

∑ ∑

ℝ

Soit

( ) ( )

0

0 0

0

1

x

n n

k n k n

k k

f x x x x x o x

x

→

= =

→

= + = +

∑

−

∑

A retenir :

( )

²

( )

0

1 1

1

n

k n n n

k

x o x x x ... x o x

x= ₌ + = + + + + +

−

∑

d) Troncature

Si f admet un développement limité à l’ordre n en 0 de partie régulière

0 n

k k k

x a x

∑

=

֏ , alors f

admet un développement limité en 0 à tout ordre p≤n dont la partie régulière est

0 p

k k k

x a x

∑

=

֏

Démonstration :

Si f admet un développement limité à l’ordre n en 0 de partie régulière

0 n

k k k

x a x

∑

=

֏ , alors

( ) ( )

0 n

k n

k k

f x a x o x

=

=

∑

+ ^{, et ( )}

( )

( )

0 1

p

p n

k k n

k k

k k p

o x

f x a x a x o x

= = +

=

=

∑

+

∑

+

La partie régulière du développement limité de f à l’ordrep≤n s’obtient en tronquant la partie régulière du développement limité de f à l’ordren

e) Cas des fonctions paires, impaires

Soit f une fonction admettant un développement limité à l’ordren en 0 de partie régulière

0 n

k k k

P : x a x

∑

=

֏

Si f est paire, alors^{P x}

( )

n’est formé que de puissances paires dex (la fonctionP est paire) Si f est impaire, alors^{P x}

( )

n’est formé que de puissances impaires dex (la fonctionP est impaire) Démonstration :

L’ensemble de définition

D

est symétrique par rapport à 0

Il existe une fonction

ε : D

_f

→ K

telle que

( ) ( )

0 n

k n

f , k

k

x D f x a x x ε x

=

∀ ∈ =

∑

+ ^avec 0

^{( )}

0

x

limε x

→ =

On a aussi

( ) ( ) ( ) ( )

0

1 1

n k k n n

f , k

k

x D f x a x x ε x

=

∀ ∈ − =

∑

− + − −

Comme

( ) ( )

0

1^{n n} 0

x

lim x ε x

→ − − = , on a donc le développement limité d’ordre x de^x֏ ^f

( )

−^x

3 Si la fonction f est paire, ^f

( )

^{− =x f x}

( )

^.

Par unicité du développement limité, on a : ∀ ∈k ⁰,n ,ak= −

( )

^1kak , ce qui entraîne que tous les coefficients a_k d’indice impair sont nuls

Si la fonction f est impaire, ^f

( )

^{− = −x f x}

( )

^.

Par unicité du développement limité, on a : ∀ ∈k ⁰,n ,ak = − −

( )

^1kak , ce qui entraîne que tous les coefficients a_k d’indice pair sont nuls

2) Développements limités usuels a) Formule de Taylor Young Soit n un entier naturel

Soit f : I→K une fonction de classe Cⁿ sur un intervalle I deℝ et a∈I

Il existe une fonction ε définie sur I telle que

( )

^{( )}

( ) ( ) ( ) ( )

0 n k

k n

k

f a

x I , f x x a x a x

k ! ε

=

∀ ∈ =

∑

− + −

avec

( )

⁰

x a

limε x

→ =

Pour n=0, comme f est continue en a ,

( ) ( )

⁰

x a

f x f a

− →→ Posons

( ) ( )

I K

: x f x f a

ε ^_ ^→₋

 ֏ , la fonction ε est définie sur I et on a

( ) ( ) ( ) ( )

⁰

x I , f x f a x a ε x

∀ ∈ = + − : la proposition est vraie pour n=0 Supposons désormais n≥1

La formule de Taylor avec reste intégral donne :

( )

^{( )}

( ) ( ) ( )

( )

^{( )}

( )

1 1

0 1

k n

n k x n

k a

f a x t

x I , f x x a f t dt

k ! n !

− −

=

∀ ∈ = − + −

∑ ∫

−

Posons

( )

^{( )}

( ) ( )

0 n k

k k

f a

g : x I f x x a

= k !

∈ ^֏ −

∑

− et montrons que

( )

( )

^{n 0}

x a

lim g x x a

→ =

−

On a

( ) ( )

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( ) ( )

1

1

n n

x n n

a

x t f a

x I ,g x f t dt x a

n ! n!

− −

∀ ∈ = − −

∫

−

En remarquant que

( )

( )

( ) ( )

1

1

n n x n

x a

a

x t x t x a

n ! dt n! n!

−  

−− = − −  = −

∫

, on peut écrire

( ) ( )

(

₁ⁿ

)

¹

(

^{( )}

( )

^{( )}

( ) )

x n n

a

x t

x I ,g x f t f a dt

n !

− −

∀ ∈ = −

∫

−

Par continuité de f^{( )n} en a , ∀ > ∃ > ∀ ∈ε ^0, α ^{0, t I , t}− ≤ ⇒^a α ^{f( )n}

( )

^t −^{f( )n}

( )

^a ≤ε Si x^{− ≤}a α , alors, pout tout t est entre a etx , on a ^{f( )n}

( )

^t −^{f( )n}

( )

^a ≤ε

Pour x≥a (bornes bien rangées) on a

( ) ( )

(

₁ⁿ

)

¹

(

^{( )}

( )

^{( )}

( ) ) ⁽ ₍ ⁾

₁ⁿ

₎

¹

^{( )}

ⁿ

x x

n n

a a

x t x t x a

g x f t f a dt dt

n ! ε n ! ε n!

− −

− − −

≤ − ≤ =

− −

∫ ∫

4 Ce qui entraîne que pour x>a ,

( )

( )

ⁿ

g x x a n!

≤ ε

− et donc

( )

( )

^{n 0}

x a x a

lim g x x a

→>

− =

Pour x≤a (bornes mal rangées) on a

( ) ( )

(

₁

)

¹

(

^{( )}

( )

^{( )}

( ) ) ⁽ ₍ ⁾

₁

₎

¹

^{( ) ( )}

n n n a n

a a

n n

x x

x

x t t x t x a x

g x f t f a dt dt

n ! ε n ! ε n! ε n!

− −  

− −  −  −

≤

∫

− − ≤

∫

− =   =

Ce qui entraîne que pour x>a ,

( ) ( )

ⁿ

g x x a n!

≤ ε

− et donc

( )

( )

^{n 0}

x a x a

lim g x x a

→<

− =

Finalement

( )

( )

( )

^{( )}

( )( )

( )

0 0

n k

k

n n

x a x a

f a

f x x a

g x k !

lim lim

x a x a

=

→ →

 

 − − 

 

 

=  =

 

− −

 

 

 

∑

Conséquence immédiate :

Soit f : I→K une fonction de classe Cⁿ sur un intervalle I deℝ contenant 0 Il existe une fonction ε définie sur I telle que

( )

^{( )}

( ) ( )

0 k 0

n

k n

k

x I , f x f x x x

k ! ε

=

∀ ∈ =

∑

+ ^avec

( )

⁰

x a

limε x

→ =

La fonction f admet donc alors un développement limité à l’ordre n en 0 de partie régulière

( )

( )

0 k 0

n

k k

x f x

= k !

∑

֏

On en déduit alors des développements limités en 0 à connaitre absolument Au voisinage de 0, pour un entier naturel n quelconque :

( )

^{2 3}

( )

0

1 2 3

n k n

x n n

k

x x x x

e o x x ... o x

k ! ! ! n!

=

=

∑

+ = + + + + + +

( )

²

(

^{2 1}

)

^{2 4}

_{( )}

²

(

^{2 1}

)

0

2 1 2 4 2

n k n

n n

k

x x x x

chx o x ... o x

k ! ! ! n !

+ +

=

=

∑

+ = + + + + +

(

^{2 1}

) (

^{2 2}

)

^{3 5}

₍

^{2 1}

₎ (

^{2 2}

)

0 2 1 3 5 2 1

n k n

n n

k

x x x x

shx o x x ... o x

k ! ! ! n !

+ +

+ +

=

= + = + + + + +

+ +

∑

( ) ( )

( )

²

(

^{2 1}

)

^{2 4}

^{( )} _{( )}

²

(

^{2 1}

)

0

1 1 1

2 2 4 2

n k n

k n n n

k

x x x x

cos x o x .... o x

k ! ! ! n !

+ +

=

=

∑

− + = − + − + − +

( ) ( ) ₍

^{2 1}

₎ (

^{2 2}

)

^{3 5}

^{( )} ₍

^{2 1}

₎ (

^{2 2}

)

0

1 1

2 1 3 5 2 1

n k n

k n n n

k

x x x x

sin x o x x .... o x

k ! ! ! n !

+ +

+ +

=

= − + = − + − + − +

+ +

∑

( ) ( )

¹

( )

^{2 3}

^{( )}

¹

( )

1

1 1 1

2 3

n k n

k n n n

k

x x x x

ln x o x x ... o x

k n

− −

=

+ =

∑

− + = − + − + − + Pour tout réel α

( ) ( )( ) ( ) ( )

0

1 2 1

1

n

k n

k

... k

x x o x

k !

α α α α α

=

− − − +

+ =

∑

+

Soit

(

^1+x

)

^{α= +1 αx+α α}

(

_2!⁻¹

)

^{x2+α α}

(

⁻¹₃

)(

_!^α−2

)

^{x3+ +... α α}

(

⁻¹

)(

^α−_n!²

) (

^{...α− +n 1}

)

^{xn+o x}

( )

ⁿ

5 Exemples :

Donner le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 des fonctions f suivantes : 1

f : x 1 +x

֏ ; f : x֏ 1+x ; 1 1 f : x

+x

֏

b) Développement limité en un réel a

Soit f une fonction définie au voisinage deaà valeurs réelles ou complexes et soitn un entier naturel

On dit que f admet un développement limité à l’ordren au voisinage de a si la fonction

( )

h֏ f a+h admet un développement limité à l’ordren au voisinage de 0 , c’est à dire s’il existe

(

a ,a ,...,a_{0 1 n}

)

∈Kⁿ⁺¹ tel que, pour touth au voisinage de 0,

( ) ( )

0 n

k n

k k

f a h a h o h

=

+ =

∑

+ Soit, pour x voisin de a ,

( ) ( ) ( ( ) )

0 n

k n

k x a

k

f x a x a o_→ x a

=

=

∑

− + −

On dit aussi, plus simplement, f admet un développement limité à l’ordren en a Exemple :

Donner un développement limité à l’ordre 3 en 1 de la fonction f : x֏e^x La fonction f est bien définie au voisinage de 1

Pour h voisin de 0, ^f

(

^{1+ =h}

)

^{e1+h= × = + +e eh e eh eh}₂^{2 +eh}₆^{3+o h}

( )

³

1 1

x= + ⇔ = −h h x

Pour x voisin de 1, ^{f x}

( )

^{= +e e x}

(

^{− +1}

)

^e

(

^x−₂¹

)

^{2 +e}

(

^x−₆¹

)

^3+ox→1

( (

^x−1

)

³

)

6

Remarque : forme normalisée d’un développement limité

Soit f une fonction définie au voisinage deaà valeurs réelles ou complexes qui admet un développement limité à l’ordre n en a

Pour touth au voisinage de 0,

( ) ( )

0 n

k n

k k

f a h a h o h

=

+ =

∑

+

Alors en notant p le plus petit des entiers éléments de 0,n tel que a_p≠0 (s’il existe)

( )

^{n k k}

( )

^{n p}

(

^{p p 1 n n p}

(

^{n p}

) )

k p

f a h a h o h h a a ₊h ... a h ⁻ o h ⁻

=

+ =

∑

+ = + + + + , cette écriture s’appelle

forme normalisée du développement limité de f à l’ordre n en a On a alors

( )

0 h h p

f a h a h

+ →∼ soit

( )

p

( )

^p

f x ∼a a x−a

En effet

(

^{ap+ap+1h+ +... a hn n−p+o h}

(

^n−p

) )

_h^→_→0^{ap≠0, donc f a}

⁽

^+h

⁾

_h^∼_→0^{a hp h}

Exemple :

Soit 1

f : x 1

−x

֏

Le développement limité à l’ordre 2 de f en 0 est ^{1+ +x x2+o x}

( )

²

On obtient

( )

01

f x ∼ ,

( )

10

f x − ∼x et

( )

²

0

1

f x − −x∼x Reprenons l’exemple précédent

Soit f : x֏e^x On a vu

Pour h voisin de 0, ^f

(

^{1+ =h}

)

^{e1+h= × = + +e eh e eh eh}₂^{2 +eh}₆^{3+o h}

( )

³

1 1

x= + ⇔ = −h h x

Pour x voisin de 1, ^{f x}

( )

^{= +e e x}

(

^{− +1}

)

^e

(

^x−₂¹

)

^{2 +e}

(

^x−₆¹

)

^3+ox→1

( (

^x−1

)

³

)

( ) ( ) ( )

²

( ) ( )

²

( )

³

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 6

x x x x x x x

e e,e e e x ,e e e x e − ,e e e x e − e −

− − − − − − − − −

∼ ∼ ∼ ∼

Une forme normalisée (si elle existe) d’un développement limité d’une fonction en a permet d’obtenir des équivalents en a

C’est une des premières applications des développements limités Nous étudierons précisément leurs applications en fin de leçon

7 3) Opérations sur les développements limités

a) Combinaisons linéaires de développements limités

Si f etg sont deux fonctions admettant des développements limités à l’ordre n au voisinage de 0 Alors il en est de même pour la fonction f +g

Alors il en est de même, pour tous complexes λ etµ , pour les fonctions λf ^, µ^{g et} λ^f +µ^g Démonstration :

Pout tout x au voisinage de 0, ^{f x}

( )

^{=P x}

( )

^{+o x}

( )

^{n etg x}

^{( )}

^{=Q x}

^{( )}

^{+o x}

( )

ⁿ

Alors on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

n n

de degré n o( x )

f x g x P x Q x o x o x

≤ =

+ = + + +

(La partie régulière de la somme s’obtient en additionnant les parties régulières des développements limités de f etg )

Et

( ) ( ) ( )

n

n de degré n o( x )

f x P x o x

λ λ λ

≤ =

= +

Exemples :

• Donner le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de ^{f : x֏ex+ln}

(

^1+x

)

Réponse :

( )

^{1 2 3}

( )

³

2

f x = + x+x +o x

• Donner le développement limité en 1 d’ordre 3 de x ¹ 1 f : x e

x

− −

֏

8 b) Produit de développements limités

Si f etg sont deux fonctions admettant des développements limités à l’ordre n au voisinage de 0 Alors il en est de même pour la fonction f×g

Démonstration :

Pout tout x au voisinage de 0, ^{f x}

( )

^{=P x}

( )

^{+o x}

( )

^{n etg x}

^{( )}

^{=Q x}

^{( )}

^{+o x}

( )

ⁿ

Alors on a : ^{f x}

( )

^{×g x}

( )

^{=P x Q x}

( ) ( )

^{+P x o x}

( ) ( )

^{n +Q x o x}

^{( )} ( ) ( ) ( )

^{n +o xn o xn}

Les fonctions polynomiales P etQ sont bornées au voisinage de 0, donc

( ) ( ) ( )

^{n n}

^{( )} ( ) ( )

^{n n}

P x o x =o x ,Q x o x =o x et de plus ^{o x}

( ) ( ) ( ) ( )

^{n o xn =o x2n =o xn}

On peut écrire

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ⁿ

de degré 2n

f x g x P x Q x o x

≤

× = + , il faut alors tronquer à l’ordren le produit PQ pour obtenir le développement limité à l’ordre n def×g

Exemple : donner le développement limité à l’ordre 3 en 0 de 1

1 1

x

e x

f : x e

x= x×

+ +

֏

c) Composition de développements limités (admis)

Soit f : D_f →K une fonction admettant en 0 un développement limité d’ordre n et vérifiant

0 0

lim f =

Soit g : D_g →K une fonction admettant en 0 un développement limité d’ordre n avec ^{f D}

( )

^{f ⊂Dg}

Alors g f admet en 0 un développement limité d’ordre n Exemples :

• Donner les développements limités en 0 d’ordre n des fonctions f suivantes : 1

1

f : x ; f : x e x

x

−

֏ − ֏

9

• Donner le développement limité en 0 d’ordre 4 de f : x֏e^{sin x}

Réponse : ^{esin x= + +1 x x}₂^2−x₈^{4+o x}

( )

⁴

Soit f : D_f →K une fonction admettant en 0 un développement limité d’ordre n 0 et vérifiant

0

lim f =L

Soit g : D_g →K une fonction admettant en L un développement limité d’ordre n avec ^{f D}

( )

^{f ⊂Dg}

Alors g f admet en 0 un développement limité d’ordre n

• Donner le développement limité en 0 d’ordre 4 de ^{f : x֏ln cos x}

( )

Réponse : ^{ln cos x}

( )

^=−x₂²⁻₁₂^{x4 +o x}

( )

⁴

10 d) Quotient de développements limités Proposition 1

Si la fonction f admet en 0 un développement limité d’ordre n et a pour limite 0 en 0, alors 1 1+ f et 1

1−f admettent un développement limité d’ordre n en 0 En effet la fonction 1

1±f est la composée g f avec 1 g : x 1

±x

֏ , avec

0 0

lim f = (premier théorème de composition)

Exemple :

Déterminer le développement limité en 0 d’ordre 3 de 1 f : x 1

sin x

֏ + Réponse :^{f x}

( )

^{= − +1 x x2−5}₆^{x3+o x}

( )

³

Proposition 2

Si f etg sont deux fonctions admettant des développements limités à l’ordre n au voisinage de 0 Si g a une limite L non nulle en 0

Alors f

g admet un développement limité à l’ordre n en 0 Démonstration :

Si g a une limite non nulle en 0, g ne s’annule pas au voisinage de 0, la fonction f

g est bien définie au voisinage de 0

On peut écrire, au voisinage de 0,

( ) ( )

( )

( )

1

1 1

f x f x

g x L g x

L

= ×

 

 

− − 

Notons

( )

1 g x

u : x

− L

֏ , la fonction u admet un développement limité à l’ordre n en 0 et

0 0

lim u=

alors (proposition 1) 1

1−u admet un développement limité à l’ordre n en 0

11 Finalement, par produit, f

g admet un développement limité à l’ordre n en 0 Exemple :

Déterminer le développement limité en 0 d’ordre 5 de tan

Réponse : ^{3 2 5}

( )

⁵

3 15

x x

tan x= +x + +o x (à connaitre)

e) Intégration d’un développement limité

Soit I un intervalle contenant 0 et f : I→K une fonction continue possédant un développement limité à l’ordre n en 0 de partie régulière

0 n

k k k

P : x a x

∑

=

֏

Toute primitive F de f surI admet un développement limité à l’ordre

(

ⁿ+¹

)

en 0 de partie

régulière ¹

( )

0

1 0

n k k k

Q : x a x F

k

+

=

+ +

∑

֏

Démonstration :

Il existe une fonction ϕ définie sur I telle que

( ) ( )

0 n

k n

k k

x I , f x a x x ϕ x

=

∀ ∈ =

∑

+ ^avec 0

^{( )}

0

x

limϕ x

→ =

La fonction f est continue sur I ainsi que sa partie régulière (fonction polynomiale), il en est donc de même pour la fonction ^x֏xnϕ

( )

^x , on peut donc intégrer et écrire :

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0

0

x n x

k n

k k

x I , a t t ϕ x dt f t dt F x F

=

 

 

 

∀ ∈

∫



∑

+  =

∫

= −

Ce qui donne

( ) ( )

¹

( )

0 0

0 1

n x

k n

k k

x I ,F x F a x t t dt

k ⁺ ϕ

=

∀ ∈ − = +

∑

+

∫

Il reste à montrer que

( ) ( )

¹

0

x n n

t ϕ t dt=o x ⁺

∫

^{et alors}

^{( ) ( )}

¹

^{( )}

¹

0

0 1

n

k n

k k

x I ,F x F a x o x

k

+ +

=

∀ ∈ = + +

∑

+

12

0

( )

0

x

limϕ x

→ = : ∀ > ∃ > ∀ ∈ε ^0, α ^{0, x I , x}− =^{0 x} ≤ ⇒α ϕ

( )

^x − =⁰ ϕ

( )

^x ≤ε Si x ≤α alors, pour tout t entre 0 et x , t ≤α et donc ϕ

( )

^t ≤ε

Alors de plus si x^≤α 0

x> ⇒

( ) ( )

¹

0 0 0 1

x x x n

n n n x

t t dt t t dt t dt

ϕ ^≤ ϕ ^≤ε ⁼ε n ⁺

∫ ∫ ∫

+ ^{, alors}

0

( )

1 1

x n

n

t t dt x n

ϕ ε

+ ≤ ⇒

+

∫ ( ) ( )

¹

0

x n n

t ϕ t dt=o x ⁺

∫

0

x< ⇒

( )

⁰

( )

⁰

( )

⁰

( ) ( )

^{1 0 1}

0 1 1

n x n

n n n n

x x x

x

t x

t t dt t t dt t t dt t dt

n n

ϕ ϕ ϕ ε ε ε

+ +

 − 

 

= ≤ ≤ − = − +  = +

∫ ∫ ∫ ∫

^,

alors

0

( )

1 1

x n

n

t t dt n x

ϕ ε

+ ≤ ⇒

+

∫ _{( ) ( )}

1

0

x n n

t ϕ t dt=o x ⁺

∫

Exemple 1 :

Déterminons le développement limité à l’ordre n en 0 de ^{f : x}֏^ln

(

¹+^x

)

Déterminons d’abord le développement limité à l’ordre

(

ⁿ−¹

)

en 0 de 1 x 1

+x

֏

( ) ( )

1

1 2 1 1

0

1 1

1

n

k n n n

k

x o x x x ... x o x

x

− − − −

=

= + = + + + + +

−

∑

En substituant x par

( )

−^x ; ce qui est légitime puisque si x est voisin de 0 alors

( )

−^x l’est aussi

Il vient ¹

( ) ( )

^{1 2}

^{( )}

^{1 1}

( )

¹

0

1 1 1 1

1

n k k n n n n

k

x o x x x ... x o x

x

− − − − −

=

= − + = − + − + − +

+

∑

La fonction 1 x 1

+x

֏ est continue sur

]

− +∞^1,

[

, en intégrant

(

¹

) ( )

^{1 2}

( )

^{1 1}

( )

2

n n n

x x

ln x ln x ... o x

n + = + − + + − − +

Soit

( ) ( )

¹

( )

^{2 3}

^{( )}

¹

( )

1

1 1 1

2 3

n k n

k n n n

k

x x x x

ln x o x x ... o x

k n

− −

=

+ =

∑

− + = − + − + − + Exemple 2 :

Déterminons le développement limité à l’ordre 5 en 0 de arctan Réponse : ^{arctan x= −x x}₃^{3 +x}₅^{5 +o x}

( )

⁵ (à connaître)

13 Exercices :

1) Déterminer le développement limité à l’ordre 6, au voisinage de 0, de la fonction

( )

²

: arccos

f x֏ x

2) Déterminer le développement limité à l’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction dérivée de la fonction ^{f x: ֏arctan}

(

^x+1

)

.En déduire le développement limité à l’ordre 4, au voisinage de 0, de la fonction f