2éme BAC PC-3 2020/2021 Lycée Al Kadi Ayad Salé
Matiére : Mathématiques Professeur : Yahya MATIOUI
Devoir Surveillé N 1 (S2) 26/02/2021
Durée 1H Problème d’analyse (20 POINTS)
Partie 01 (5pts)
Soit g la fonction numérique dé…nie sur ]0;+1[ par : g(x) = x 2 lnx 1. a) Calculer g0(x) pour tout x de ]0;+1[. (1pt)
b) Montrer que g est décroissante sur ]0;2] et croissante sur [2;+1[: (2pts) 2. a) Déduire que :g(x) 0 pour tout x de l’intervalle ]0;+1[: (1;25pts)
b) Montrer que : (8x2]0;+1[) : lnxx2 1:(0;75pt) Partie 02 (15 pts)
On considère la fonction numérique f dé…nie sur l’intervalle ]0;+1[ par : f(x) = x (lnx)2
1. a) Calculer limx !0+f(x), et interpréter géométriquement le résultat obtenu. (1;5pts) b) Montrer que : (8x2]0;+1[); (lnx)x 2 = 4(lnppx
x )2;puis déduire limx !+1(lnxx)2:(1pt) c) Déduire de ce qui précéde que : limx !+1f(x) et limx !+1f(x)x : (1;5pts)
d) Calculer limx !+1(f(x) x), puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
e) Étudier la position relative de (Cf) (la courbe représentative de la fonction f) et la droite ( ) d’équation y=x sur l’intervalle ]0;+1[: (1pt)
2. a) Montrer que pour tout x de ]0;+1[
f0(x) = g(x) x
puis montrer que f est strictement croissante sur ]0;+1[: (2pts) b) Dresser le tableau de variations de la fonction f: (1pt)
3. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique dans ]0;+1[;puis véri…er que 1e 12:(2;5pts)
4. Déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle ]0;+1[:(1pt)
5. Tracer le droite ( ) et la courbe (Cf) dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ). (1;5pt) 6. Justi…er puis détreminer les primitives de la fonction h:x ! lnxx+x2 sur l’intervalle
]0;+1[: (1pt)
Pr : Yahya MATIOUI
