2éme Bac PC-3 2020/2021 etude-generale.com
Matiére : Mathématiques Professeur : Yahya MATIOUI
Correction du devoir Masion N 1 17/02/2021
Probléme d’analyse
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que : f(x) = 1
x(1 lnx)
et soit (Cf)la courbe représentative de la fonction f dans un repére orthonormé (O;!i ;!j ) (unité 2cm)
Partie 01
1. Montrons que : Df = ]0; e[[]e;+1[:
Df = fx2R= x 0 et 1 lnx6= 0g
= fx2R= x 0 et lnx6= 1g
= fx2R= x 0 et x6=eg
= ]0; e[[]e;+1[ a) Calculons limx !e+f(x) et limx !e f(x):
lim
x !e+f(x) = lim
x !e+
1
x(1 lnx) = 1
0 = 1
Car : si x !e+ alors x e, de plus lnx 1 donc 1 lnx 0:
Interprétation géométrique.
(Cf) admet une asymptote verticale d’équation x=e:
De même, on calcule limx !e f(x): On obtient : lim
x !e
f(x) = lim
x !e
1
x(1 lnx) = 1
0+ = +1 Car : si x !e alors x e, de plus lnx 1 donc 1 lnx 0:
Interprétation géométrique.
(Cf) admet une asymptote verticale d’équation x=e:
b) Calculons limx !+1f(x):
x lim!+1f(x) = lim
x !+1
1
x(1 lnx) = 0 Car : lim
x !+1x(1 lnx) = 1
Interprétation géométrique.
(Cf)admet une asymptote horizontale d’équation y= 0 au voisinage de +1: c) Montrons que : limx !0+f(x):
lim
x !0+
f(x) = lim
x !0+
1
x(1 lnx) = lim
x !0+
1
x xlnx = 1
0+ = +1 Car : lim
x !0+x xlnx= 0+ Interprétation géométrique.
(Cf) admet une asymptote verticale d’équation x= 0:
a) La fonction f est dérivable sur Df. Calculons f0(x) pour tout x2Df: f0(x) = ( 1
x(1 lnx))0
= [x(1 lnx)]0 [x(1 lnx)]2
= (1 lnx) +x( x1) x2(1 lnx)2
= (1 lnx) 1 x2(1 lnx)2
= lnx
x2(1 lnx)2
comme x2(1 lnx)2 0alors le signe de f0(x)est celui de lnxpour tout x2Df: Or, on sait d’après le cours que :
lnx 0; pour tout x2]0;1] et lnx 0; pour tout x2[1;+1[
Donc, on déduit que pour tout x 2 ]0;1] on a f0(x) 0. Ce qui signi…e que la fonction f est décroissante sur ]0;1]: Par ailleurs pour tout x2[1; e[[]e;+1[; on a f0(x) 0. Ce qui sign…e que la fonction f est croissante sur chacun des deux intervalles [1; e[ et ]e;+1[:
Partie 02
Soit g la fonction numérique dé…nie sur ]0;+1[ par : g(x) = 1 x2(1 lnx)
et soit (Cg) la courbe représentative de la fonction g dans un repére orthonormé (voir
…gure).
2 3 4 5 6
-1 2 3 4 5
-1
0 1
1
x y
1. a) D’après le graphe on voit que la courbe (Cg)coupe l’axe des abscisses en deux points di¤érents. Ce qui signi…e que l’équation (E) :g(x) = 0admet deux solutions dans l’intervalle ]0;+1[:
b) Montrons que l’équation (E) admet une solution telle que : 2;2 2;3:
* La fonction g est continue sur ]2;2; 2;3[, en e¤et, g s’écrit comme la somme de deux fonctions :
u:x7 !1 x2 et v:x7 !x2lnx
u est une fonction polynôme continue sur R et surtout sur ]2;2; 2;3[:
La fonction v est continue sur ]2;2; 2;3[ comme le produit de deux fonctions continues sur ]0;+1[ (x7 !lnx et x7 !x2):
Alors, la fonction g est continue sur ]2;2; 2;3[ comme la somme de deux fonctions continues ]2;2; 2;3[:
* On a d’après le tableau des valeurs que : g(2;2) g(2;3) 0:
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation (E), admet une solution dans ]2;2; 2;3[:
Autrement dit :
9 2]2;2; 2;3[= g( ) = 0 a) Soit x2Df, on a
f(x) x = 1
x(1 lnx) x
= 1 x2+x2lnx x(1 lnx)
= 1 x2(1 lnx) x(1 lnx)
= g(x)
x(1 lnx)
b) Pour montrer que la courbe (Cf) coupe la droite ( ) : y = x en deux points, il su¢ t de montrer que l’équation f(x) =x admet deux solutions.
Soit x2Df:
f(x) =x () f(x) x= 0 () g(x)
x(1 lnx) = 0 () g(x) = 0
d’après la question 1partie2 on sait que l’équation g(x) = 0admet deux solutions 1 et : (g( ) = 0 et g(1) = 0): Ce qui signi…e que l’équation f(x) = x admet deux solutions 1 et : Autrement dit la courbe (Cf) coupe la droite ( ) : y = x en deux points d’abscisses 1 et :
c) à partir de la courbe (Cg) on déduit que le signe de la fonction g est négative sur l’intervalle [1; ]: Autrement dit :
8x2[1; ]; g(x) 0 D’autre part, on sait que
f(x) x= g(x) x(1 lnx)
et comme x dans l’intervalle [1; ] alors g(x) 0. De plus
1 x () 0 lnx ln () 1 ln 1 lnx 1
et on a 1 ln 0; donc x(1 lnx) 0. Ensuite x(1 ln )g(x) 0, ce qui signi…e que pour tout x2[1; ] on a
f(x) x 0
2. La courbe représentative de la fonction f dans un repére orthonormé (O;!i ;!j ):
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2
2 3 4 5
-1
-2
-3
0 1
1
x y
3. La fonction f admet des primitives sur Df; car elle est continue sur Df:
f(x) = 1
x(1 lnx)
=
1 x
1 lnx
= (1 lnx)0 (1 lnx) Donc
F(x) = lnj1 lnxj+k comme 1 lnx 0, pour tout x2[1; ]; alors on obtient
F(x) = ln(1 lnx) +k Partie 03
1. On considère la suite (un) dé…nie par : u0 = 2 et un+1 =f(un); 8n2N a) Montrons que pour tout n 2N, 1 un
Initialisation : si n= 0, on a u0 = 2 et comme 1 u0 . Alors l’encadrement est vrai pour n = 0:
Hérédité : On suppose que 1 un , montrons que : 1 un+1 :
On sait que la fonction f est croissante sur [1; e[, et comme [1; ] [1; e[ ,alors la fonction f est croissante sur [1; ]:
Donc
1 un =) f(1) f(un) f( ) =) 1 un+1 car : f( ) = (1 ln )g( ) = (1 ln )0 = 0:
Donc, d’après le principe de récurrence on déduit que 8n2N; 1 un
b) On sait que pour tout x2[1; ]; on a f(x) x 0: Comme un 2[1; ]; alors on pose x=un on aura f(un) un 0 puisque f(un) = un+1; alors on obtient
un+1 un 0
Ce qui montre que la suite (un) est décroissante, et comme elle est minorée par 1 et décroissante, alors elle est convergente.
c) Calculons la limite suivante : limn !+1un: On a
* La suite (un) est dé…nie par : un+1 =f(un):
* La fonction f est continue sur [1; ]
* f([1; ]) [1; ] et u0 2[1; ]: (Question 1)
* La suite (un) est convergente.
Donc, la limite de la suite (un) est la solution de l’équation f(x) = x; et d’aprés la question 2 a= on sait que cette équation admet deux solutions distinctes sur l’intervalle [1; ] telles que:
x1 = 1 et x2 =
Comme la suite (un) est décroissante pour tout n 2 N, alors on prend la premiére solution x1 = 1:
Ce qui signi…e que :
n lim!+1un = 1
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
etude generale:com
