CP coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, donner les coordonnées des points d'intersection

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Exercice 1 ES

Trinôme du second degré, sommet de la parabole, intersection avec axe des abscisses.

Soit P la fonction définie par Px=–2x²6x8

1. Déterminer les coordonnées de S sommet de la parabole C_P représentant la fonction P. 2. Donner l'allure de C_P.

3. C_P coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, donner les coordonnées des points d'intersection.

Correction:

1. D'après le cours, S a pour coordonnées ^{– b}^2a^;^P^^{– b}²^a^ avec comme notation =– b 2a ^et

=P^–²^b^a. Dans le cas présent, a=–2 , b=6 et c=8 donc =– 6

2×–2=3

2^et=P³²

donc =–2³2²^6^×³28=–2×9

498=25

2 . Ainsi S³2;25 2 

remarque : au passage, on obtient la forme canonique de P : Px=–2^{x –}³2²^²⁵2 . 2. Allure de C_P.

On connaît S d'où sa position dans le plan par rapport à l'axe des abscisses.

La valeur de a dans l'expression de Px est négative donc la parabole est "tournée" vers le bas.

3. Du fait du schéma ci-contre, C_Pcoupe l'axe des abscisses en deux points. Pour calculer leurs coordonnées, on utilise le

discriminant =b²–4ac=6²–4×–2×8=100 . Le fait que  soit strictement positif confirme qu'il existe deux solutions à l'équation –2x²6x8=0 .

Les solutions sont : x₁=– b^

2a =–6100

2×–2 =–610

–4 =–1 et x₂=–6–10 –4 =–16

–4 =4

Coordonnées des deux points d'intersection de C_P avec l'axe des abscisses : –1; 0 et 4 ; 0