Devoir (la fonction logarithme et les suites)

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2éme Bac PC-3 www.etude-generale.com 2020/2021 Lycée Al Kadi Ayad Salé

Matiére : Mathématiques Professeur : Yahya MATIOUI

Devoir de Maison N 1 (Semestre 2) 15/02/2021

Préparation au devoir surveillé N 1 Problème d’analyse

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que : f(x) = 1

x(1 lnx)

et soit (C_f)la courbe représentative de la fonction f dans un repére orthonormé (O;!i ;!j ) (unité 2cm)

Partie 01

1. Montrer que : D_f = ]0; e[[]e;+1[:(D_f est l’ensemble de dé…nition de la fonction f):

a) Calculer lim_x _!_e⁺f(x) et lim_x _!_e f(x) puis interpéter géométriquement les deux résultats obtenus.

b) Calculer lim_x _!₊₁f(x) et en déduire que la courbe (C_f) admet une asymptote au voisinage de +1 que l’on déterminera.

c) Montrer que lim_x _!₀⁺f(x) = +1 et donner une interprétation géométrique à ce résultat.

2. a) Montrer que pour tout x de Df:

f⁰(x) = lnx x²(1 lnx)²

b) Montrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle ]0;1] et croissante sur chacun des deux intervalles [1; e[ et ]e;+1[:

c) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur D_f: Partie 02

Soit g la fonction numérique dé…nie sur ]0;+1[ par : g(x) = 1 x²(1 lnx)

et soit (C_g) la courbe représentative de la fonction g dans un repére orthonormé (voir

…gure).

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2 3 4 5 6 -1

2 3 4 5

-1

0 1

1

x y

1. a) Déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation (E)suivante:g(x) = 0 ; x2]0;+1[:

b) On donne le tableau de valeurs suivant :

x 2,1 2,2 2,3 2,4

g(x) 0;14 0;02 0,12 0,28

Montrer que l’équation (E) admet une solution telle que : 2;2 2;3:

2. a) Véri…er que : f(x) x= _{x(1 ln}^g(x)_x) pour tout x de D_f:

b) Montrer que la droite ( ) d’équation y =x coupe la courbe (C_f) aux deux points d’absisses 1 et :

c) Déterminer, à partir de (C_g), la signe de la fonction g sur l’intervalle [1; ] et montrer que f(x) x 0 pour tout x de [1; ]:

3. Tracer, la courbe (C_f) et la droite ( ) dans le repére orthonormé (O;!i ;!j ):

4. Déterminer les primitives de la fonction f sur D_f: Partie 03

On considère la suite numérique (u_n) dé…nie par :

u₀ = 2 et u_n+1 =f(u_n) pour tout n2N a) Montrer par récurrence que 1 u_n pour tout n de N: b) Montrer que la suite (u_n) est décroissante.

c) En déduire que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

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FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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