TS 2 IRIS : Devoir N˚ 7
On se propose de mod´eliser la rosace plane repr´esent´ee ci-dessous qui est obtenue `a partir de transformations successives d’un motif de base.
On se place dans le plan complexe P muni d’un rep`ere orthonormal (O; −→u , −→v ) L’unit´e graphique est le cm.
Une courbe de B´ezier est associ´ee `a n+1 points de d´efinition successifs M0, M1, . . . Mk, . . . Mn d’affixes respectives z0, z1, . . . zk, . . . zn comme ´etant l’ensemble des points M(t) d’affixe z(t) telle que : z(t) =
n
X
k=0
Cnktk(1−t)n−kzk o`u t est une variable r´eelle de l’intervalle [ 0 ; 1 ]
x y
O ~i
~j F0
F1
F2
F3
F4 F5
(F0)
(F00)
•
•A0
B0•
Partie A
R´ealisation du motif de base1) La courbe (F
0)
Soit (F0) la courbe de B´ezier associ´ee aux points de d´efinition successifs O (0 ; 0) ; A0 (3 ; 12) ; B0 (0 ; 9)
a) Montrer qu’une repr´esentation param´etrique de (F0) est : x = f(t) = 6t−6t2
y = g(t) = 24t−15t2 t ∈[ 0 ; 1 ]
b) Etudier les variations des fonctions´ f etg sur [0; 1].
Montrer que la droite (OA0) est tangente en O `a (F0) et que la droite (B0A0) est tangente enB0 `a (F0). Repr´esenter (F0).
2) La courbe (F
00)
Soit (F00) la courbe de B´ezier associ´ee aux points de d´efinition successifs O (0 ; 0) ; A00 (a; b) ; B0 (0 ; 9) o`ua et b appartiennent `aR.
a) D´eterminer a etb pour que :
– (F00) admette une tangente parall`ele `a l’axe des ordonn´ees au point d’abscisse −1.
– (F00) admette (B0A0) comme tangente en B0.
b) Ces conditions ´etant r´ealis´ees, en d´eduire que (F00) admet une repr´esentation param´etrique de la forme :
x = −4t+ 4t2
y = 14t−5t2 t ∈[ 0 ; 1 ] Montrer que la droite (OA00) est tangente en O `a (F00).
Montrer que les points A00, B0 et A0 sont align´es et que la droite (A00A0) est tangnte en B0 aux courbes (F0) et (F00).
Repr´esenter (F00).
On appelle «feuille F0» le motif obtenu par r´eunion des deux courbes (F0) et (F00).
Partie B
R´ealisation de la formeLa forme graphique que l’on veut r´ealiser est compos´ee de 6 feuilles F0,F1, . . .F5. La feuille F0 est le motif de base d´efini `a la partie A.
Pour k entier 1 6 k 6 5, la feuille Fk est la transform´ee de la feuille Fk−1 par une similitude S de centre O, de rapportR, et d’angleα.
R est un r´eel strictement positif et α un r´eel de l’intervalle ]0;π[.
1) D´ etermination de la similitude S
a) Calculer les param`etresR, etαde la similitude, sachant que, dans le rep`ere pr´ec´edent, le pointB3 a pour coordonn´ees
0 ;−243 64
b) V´erifier que S est l’application qui, `a tout point M d’affixe z, associe le point M0 d’affixe z0 telle que : z0 = 3
8(1 +i√ 3)×z
c) En d´eduire les coordonn´ees (x0; y0) du point M0 en fonction des coordonn´ees (x; y) du point M.
2) R´ ealisation
On se propose de repr´esenter la forme (F) sur un ´ecran graphique.
On dispose, `a cet effet, de la proc´edure BZ(x0, y0, x1, y1, x2, y2) permettant de tracer la courbe de B´ezier admettant comme points de d´efinition successifs les points M0, M1 et M2 de coordonn´ees respectives (x0;y0), (x1;y1) et (x2;y2).
a) Proposer un algorithme relatif `a la proc´edure T R(x, y, x0, y0) permettant de calculer les coordonn´ees (x0;y0) du pointM0 transform´e de M(x;y) par la similitudeS.
b) Proposer un algorithme permettant de r´ealiser la forme (F) en partant de la feuille F0 et en utilisant les proc´edures BZ etT R pr´ec´edentes.
TS 2 IRIS : Devoir N˚ 7 (Solution)
On se propose de mod´eliser la rosace plane repr´esent´ee ci-dessous qui est obtenue `a partir de transformations successives d’un motif de base.
On se place dans le plan complexe P muni d’un rep`ere orthonormal (O; −→u , −→v ) L’unit´e graphique est le cm.
Une courbe de B´ezier est associ´ee `a n+1 points de d´efinition successifs M0, M1, . . . Mk, . . . Mn
d’affixes respectives z0, z1, . . . zk, . . . zn comme ´etant l’ensemble des points M(t) d’affixe z(t) telle que : z(t) =
n
X
k=0
Cnktk(1−t)n−kzk o`u t est une variable r´eelle de l’intervalle [ 0 ; 1 ]
Partie A
R´ealisation du motif de base1) La courbe (F
0)
Soit (F0) la courbe de B´ezier associ´ee aux points de d´efinition successifs O (0 ; 0) ; A0 (3 ; 12) ; B0 (0 ; 9) a) Montrer qu’une repr´esentation param´etrique de (F0) est . . . Calcul des polynˆomes de B´ezier : Bn,k =Cnktk(1−t)n−k
B0,2(t) = t0(1−t)2 = 1−2t+t2 B1,2(t) = 2t1(1−t)1 = 2t−2t2 B2,2(t) = t2(1−t)0 = t2
z0(t) = (1−2t+t2)×0 + (2t−2t2)×(3 + 12i) + (t2)×(9i) Ce qui donne bien :
x = f(t) = 6t−6t2
y = g(t) = 24t−15t2 t∈[ 0 ; 1 ] b) Etudier les variations des fonctions´ f etg sur [0; 1].
f0(t) = 6 (1−2t) g0(t) = 6 (4−5t)
t 0 1
2
4
5 1
x(t) 0 → 3
2 ← 24
25 ← 0
x0(t) 6 + 0 − −185 − −6
y0(t) 24 + 9 + 0 − −6
y(t) 0 ↑ 33
4 ↑ 48
5 ↓ 9
y0(t)
x0(t) 4 l ↔ 1
Montrer que la droite (OA0) est tangente en O `a (F0) et que la droite (B0A0) est tangente enB0 `a (F0). Repr´esenter (F0).
−−→OA0 = 3
12
est le vecteur directeur de la droite (OA0) qui est bien tangente enO `a (F0) car le vecteur tangent en ce point est :
x0(0) y0(0)
= 6
24
= 2−−→
OA0
La droite (B0A0) d’´equation y=x+ 9 est bien tangente en B0 `a (F0) car son coefficient directeur est celui de la tangente en ce point : y0(1)
x0(1) = −6
−6 = 1
2) La courbe (F
00)
Soit (F00) la courbe de B´ezier associ´ee aux points de d´efinition successifs O (0 ; 0) ; A00 (a; b) ; B0 (0 ; 9) o`ua et b appartiennent `aR.
a) D´eterminer a etb pour que :
– (F00) admette une tangente parall`ele `a l’axe des ordonn´ees au point d’abscisse −1.
– (F00) admette (B0A0) comme tangente en B0.
On utilise encore les polynˆomes de Bn,k pour d´eterminer les ´equations de (F00) z0(t) = (1−2t+t2)×0 + (2t−2t2)×(a+bi) + (t2)×(9i) Ce qui donne :
x(t) = 2a t−2a t2
y(t) = 2b t+ 9t2−2b t2 et
x0(t) = 2a(1−2t) y0(t) = 2b+ 18t−4b t La tangente est parall`ele `a l’axe des ordonn´ees si x0(t) = 0, c’est `a dire pour t = 1
2 et dans ce cas : x
1 2
=−1, c’est `a dire a− a
2 =−1 et donc : a=−2 Le point B0 est atteint pour la valeur t= 1 du param`etre.
Le coefficient directeur de la tangente est y0(t)
x0(t) = 2b+ 18t−4b t
8t−4 , en ce point ce doit ˆetre celle du coefficient directeur de la droite (B0A0), c’est `a dire 1.
On a : y0(1)
x0(1) = 1 ce qui donne 2b+ 18−4b
8−4 = 1 donc : b= 7 Donc : (F00) a pour ´equations :
x(t) = −4t+ 4t2
y(t) = 14t−5t2 et x0(t) = 8t−4
y0(t) = 14−10t
b) Ces conditions ´etant r´ealis´ees, en d´eduire que (F00) admet une repr´esentation param´etrique de la forme :
x = −4t+ 4t2
y = 14t−5t2 t ∈[ 0 ; 1 ] Montrer que la droite (OA00) est tangente en O `a (F00).
Le coefficient directeur de la droite (OA00) est −7
2 et le coefficient directeur de tangente enO `a (F00) est : y0(0)
x0(0) = 14
−4 =−7 2
Montrer que les points A00, B0 et A0 sont align´es et que la droite (A00A0) est tangnte en B0 aux courbes (F0) et (F00).
La droite (A0B0) est tangente `a (F0) en B0 et aussi `a (F00) en B0. On a aussi la droite (A00B0) est tangente `a (F00) en B0.
Donc la droite (A00A0) est tangnte enB0 aux courbes (F0) et (F00) Repr´esenter (F00).
On appelle «feuille F0» le motif obtenu par r´eunion des deux courbes (F0) et (F00).
Voir la figure en annexe
Partie B
R´ealisation de la formeLa forme graphique que l’on veut r´ealiser est compos´ee de 6 feuilles F0,F1, . . .F5. La feuille F0 est le motif de base d´efini `a la partie A.
Pour k entier 1 6 k 6 5, la feuille Fk est la transform´ee de la feuille Fk−1 par une similitude S de centre O, de rapportR, et d’angleα.
R est un r´eel strictement positif et α un r´eel de l’intervalle ]0;π[.
1) D´ etermination de la similitude S
a) Calculer les param`etresR, etαde la similitude, sachant que, dans le rep`ere pr´ec´edent, le pointB3 a pour coordonn´ees
0 ;−243 64
B0 a pour affixe 9i et B3 a pour affixe −243
64 i, donc : (R eiα)3 ×9i=−243 64 i
R3e3iα =−27 64 =
3 4
3
eiπ donc :
α = π 3
R = 3
4
b) V´erifier que S est l’application qui, `a tout point M d’affixe z, associe le point M0 d’affixe z0 telle que : z0 = 3
8(1 +i√ 3)×z
R eiα = 3 4
1 2+i
√3 2
!
= 3
8(1 +i√
3) donc : S : z 7−→z0 = 3
8(1 +i√ 3)×z
c) En d´eduire les coordonn´ees (x0; y0) du point M0 en fonction des coordonn´ees (x; y) du point M.
(x0 +i y0) = (x+i y)×3
8(1 +i√ 3)
x0 = 3
8(x−y√ 3) y0 = 3
8(x√ 3 +y) Pour information :
B0 B1 B2 B3 B4 B5
x 0 −27√ 3
8 −81√ 3
32 0 729√
3 512
2187√ 3 2048
y 9 27
8 −81
32 −243
64 −729 512
2187 2048 x 0 −5,85 −4,38 0 2,47 1,85 y 9 3,38 −2,53 −3,80 −1,42 1,07
2) R´ ealisation
On se propose de repr´esenter la forme (F) sur un ´ecran graphique.
On dispose, `a cet effet, de la proc´edure BZ(x0, y0, x1, y1, x2, y2) permettant de tracer la courbe de B´ezier admettant comme points de d´efinition successifs les points M0, M1 et M2 de coordonn´ees respectives (x0;y0), (x1;y1) et (x2;y2).
a) Proposer un algorithme relatif `a la proc´edure T R(x, y, x0, y0) permettant de calculer les coordonn´ees (x0;y0) du pointM0 transform´e de M(x;y) par la similitudeS.
x0 ←0,375(x−y√
3); y0 ←0,375(x√
3 +y);
b) Proposer un algorithme permettant de r´ealiser la forme (F) en partant de la feuille F0 et en utilisant les proc´edures BZ etT R pr´ec´edentes.
// Initialisation
x0 ←0; y0 ←0; x1 ←3; y1 ←12; x2 ←0; y2 ←9; x31 ← −2; y3 ←7;
// Trac´e de F0
BZ(x0, y0, x1, y1, x2, y2); BZ(x0, y0, x3, y3, x2, y2);
R´ep´eter 5 fois :
// Similitude surA1 `aA5 x0 ←0,375(x1−y1√
3); y0 ←0,375(x1√
3 +y1); x1 ←x0; y1 ←y0; // Similitude surB1 `aB5
x0 ←0,375(x2−y1√
3); y0 ←0,375(x2√
3 +y2); x2 ←x0; y2 ←y0; // Similitude surA01 `aA05
x0 ←0,375(x3−y1
√3); y0 ←0,375(x3
√3 +y3); x3 ←x0; y3 ←y0; // Trac´e de F1 `aF5
BZ(x0, y0, x1, y1, x2, y2); BZ(x0, y0, x3, y3, x2, y2);
x y
O ~i
~j B1
B2
B3
B4 B5
•
•
•
•
•
• F0
(F0)
(F00)
•
•A0
B0•
A00•
